Математическая логика

В XIX в. появляется математическая логика. Немецкий фило­соф Г. В. Лейбниц (1646-1716) - величайший математик и круп­нейший философ XVII в. - по праву считается ее основопо­ложником, Лейбниц пытался создать универсальный язык, с помощью которого споры между людьми можно было бы разре­шать посредством вычисления. При построении такого исчисления Лейбниц исходил из своего “Основного принципа разу­ма”, который гласил, что во всех истинных предложениях, общих или частных, с необходимостью или случайно предикат содер­жится в субъекте. Он хотел всякому понятию дать числовую ха­рактеристику и установить такие правила оперирования с эти­ми числами, которые позволили бы не только доказывать вообще

_________________________

'См.: Васильев Н. А. Воображаемая логика. М., 1989; Бажанов В. А. Ни­колай Александрович Васильев. М., 1988. (Эта книга- первая научная био­графия Н. А. Васильева, написанная на основе ранее неизвестных и непубли­ковавшихся материалов).

 

все истины, доступные логическому доказательству, но и открывать новые. В последнем обстоятельстве он видел особую слугу своей всеобщей характеристики. Лейбниц говорит о как о чудесном общем языке, имеющем свой словарь (т. е. характеристические числа, отнесенные к понятиям) и свою грамматику (правила оперирования с этими числами). Лейбниц хотел построить арифметизированное логическое исчисление в некоторой вычисляющей машины (алгоритма). Однако этого ему сделать не удалось.

В этой концепции Лейбница неприемлемо прежде всего что все содержание наших понятий якобы может быть выражено их характеристическими числами. Несостоятельным было и представление Лейбница о том, что человеческое мышление может быть полностью заменено вычисляющей машиной. ..

Лейбниц полагал, что математику можно свести к логике, а логику считал априорной наукой. Сторонников такого обоснования математики называют логицистами — представителями субъективно-идеалистического направления (считающего пер­вичным сознание человека) в обосновании математики.

Лейбниц является предшественником логицизма в том смысле, что он предложил сведение математики к логике и математи­зацию логики: построение самой логики как некоторой арифме­тики или буквенной алгебры. Но Лейбниц был предшественникам логицизма и в том, что пытался создать арифметизированное логическое исчисление, о котором мы говорили.

Покажем, как это делал Лейбниц. Возьмем такой категорический силлогизм:

 

+70, -30 +10, -3

Всякий мудрый есть благочестивый.

+70, -33 +8, -11

Некоторые мудрые богаты.

+8, -11 +10, -3

Некоторые богатые благочестивы.

 

 

Сверху над понятием написан выбранный наудачу правиль­ный (по Лейбницу) набор характеристических чисел для терми­нов посылок. Истинность общеутвердительного суждения “Все S суть Р” (первая посылка) выражается тем, что обе характери­стики субъекта делятся на соответствующие характеристики предиката, т. е. 70 (точно, без остатка) делится на 10, а - 33 де­лится на - 3, и числа, стоящие на диагоналях, - взаимно про­стые, т. е. + 70 и - 3 так же, как

-33 и + 10, взаимно простые числа. Истинность частноутвердительного суждения, по Лейбницу, должна выражаться таким правилом: числа, стоящие на диагоналях, должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь об­щих делителей, кроме единицы.

+70,-33 +8,-11

Посылка “Некоторые мудрые богаты” имеет такие числа:

т. е. на обеих диагоналях стоят взаимно простые числа.

И заключение этому правилу также удовлетворяет, ибо на диа­гоналях стоят взаимно простые числа:

Истинность общеотрицательного суждения “Ни одно S не есть Р” у Лейбница выражалась тем, что по крайней мере на одной диагонали стоят не взаимно простые числа. Истинность частноотрицательного суждения выражалась тем, что по край­ней мере одна из характеристик субъекта не делится на соот­ветствующую характеристику предиката.

 

 

Чтобы воспользоваться исчислением Лейбница, нужно рассуждение облечь в форму силлогизма и посмотреть, правильный он или неправильный. Однако построенная Лейбницем система удовлетворяла этому требованию только в применении к правильным, по Аристотелю, построенным силлогизмам. Автором в стоящего учебника доказано, что все 19 правильных, по Аристотелю, модусов силлогизма окажутся правильными и по критерию Лейбница. Но в отношении неправильных модусов категоричес­кого силлогизма Аристотеля дело обстоит по-иному. Всегдаможно построить такой пример, когда при разных правильных набоpax числовых характеристик для посылок получаются разные оценки заключения: в одних случаях оно оказывается истинным, в других - ложным.

Исчисление Лейбница, таким образом, не выдержало провер­ки, что, конечно, заметил и сам Лейбниц, перешедший в дальнейшем к построению буквенного исчисления по образцу алгебры. Но тоже неудачно.

Однако в этих замыслах Лейбница не все было неверно. Сам по себе метод арифметизации в математической логике играет весьма существенную роль как вспомогательный прием. Внем состоит, например, сущность метода, с помощью которого известный австрийский математик и логик К. Гёдель доказал неосуществимость лейбницевой мечты о создании такой всеобщей характеристики, которая позволит заменить все человеческое мышление вычислениями.

Ложной была именно метафизическая идея Лейбница о сведении всего человеческого мышления к некоторому матема­тическому исчислению. Поэтому были ложны и вытекающие из нее следствия.

Интенсивное развитие математическая логика получила в ра­ботах Д. Буля, Э. Шрёдера, С. Джевонса, П. С. Порецкого и дру­гих логиков.

Английский логик Джордж Буль (1815-1864) разрабатывал алгебру логики - один из разделов математической логики. Пред­метом его изучения были классы (как объемы понятий), соотно­шения между ними и связанные с этим операции. Буль перено­сит на логику законы и правила алгебраических действий.

В работе “Исследование законов мысли”', которая оказала боль­шое влияние на развитие логики. Буль ввел в логику классов в качестве основных операций сложение (“+”), умножение (“ * ” или пропуск знака) и вычитание (“-”). В исчислении классов сло­жение соответствует объединению классов, исключая их общую часть, а умножение - пересечению. Вычитание Буль рассматри­вал как действие, противоположное (opposite) сложению, - отде­ление части от целого, то, что в естественном языке выражается словом “кроме” (except).

Будь ввел в свою систему логические равенства, которые он записывал посредством знака “ = ”, соответствующего связке “есть”. Суждение “Светила суть солнца и планеты” в виде равенства им записывается так: х = у + z, откуда следует, что х - z =у. Согласно Булю, в логике, как и в алгебре, можно пере­носить члены из одной части равенства в другую с обратным знаком. Будь открыл закон коммутативности для вычитания: х-у = -у+х и закон дистрибутивности умножения относи­тельно вычитания: z(x - у} = zx - zy. Он сформулировал общее правило для вычитания: “Если от равных вычесть равные, то остатки будут равными. Из этого следует, что мы можем скла­дывать или вычитать равенства и употреблять правило транспозиции точно так же, как в общей алгебре”².

Предметом исследования ученого были также высказывания (в традиционной логике их называют суждениями). В исчислении вы­сказываний, по Булю, сложение (“ + ”) соответствует строгой дизъ­юнкции, а умножение (“ * ” или пропуск знака) - конъюнкции.

Чтобы высказывание записать в символической форме, Буль составляет логическое равенство. Если какой-либо из терминов высказывания не распределен он вводит термин V для обозна­чения класса, неопределенного в некотором отношении. Для того чтобы выразить частноотрицательное суждение, например: “Не­которые люди не являются благоразумными”, Буль сначала пред­ставляет его в форме: “Некоторые люди являются неблагоразум­ными”, а затем выражает в символах обычным способом.

______________________

'См.: Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854.

²Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 36.

 

По Булю, существует три типа символического выражения суждений: Х=VY(только предикат не распределен):

Х= Y (оба термина - субъект и предикат - распределены);

VX = VY (оба термина не распределены).

Диалектика соотношения утверждения и отрицания в поня­тиях и суждениях у Буля такова: без отрицания не существует утверждения и, наоборот, во всяком утверждении содержится отрицание. Утверждения и отрицания связаны с универсальным классом: “Сознание допускает существование универсума не априори, как факт, не зависящий от опыта, но либо апостерио­ри, как дедукцию из опыта, либо гипотетически, как основание возможности утвердительного рассуждения”'.

Различая живой разговорный язык и “язык” символический, Буль подчеркивал, что язык символов - лишь вспомогательное средство для изучения человеческого мышления и его законов.

Немецкий математик Эрнст Шредер (1841-1902) собрал и обобщил результаты Буля и его ближайших последователей. Он ввел в употребление термин “Logikkalkul” (логическое исчисле­ние), новые по сравнению с Булем символы. В основу исчисле­ния классов он положил не отношение равенства, как это было у Буля, а отношение включения класса в класс, которое обозначал как а b. Знак “ + ” Буль использовал для обозначения объеди­нения классов, исключая их общую часть, т. е. симметрическую разность (см. рис. 26), а у Шредера знак “+”

обозначает объеди­нение классов без исключения их общей части.

 

 

Рис. 26

____________________

'Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logik and Probabilities. London, 1854. P. 85.

 

Пропуском знака Шрёдер обозначает операцию пересечения классов, например, ab.

Во взглядах Э. Шрёдера на отрицание можно отметить много интересного и нового по сравнению со взглядами Буля. Под отри­цанием а₁, класса а Шрёдер понимает его дополнение до 1¹.

Если классов больше двух, то Шрёдер оперировал с ними по сфор­мулированным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один являет­ся отрицанием другого, то произведение “исчезает”, т. е. равно 0. Например, abc • ab₁ cd₁ = 0, так как имеется b и b₁,.

Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один, который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна 1:

a+b+c₁ +a+c+d₁ =1.

Значительное внимание Шрёдер уделил анализу структуры отрицательных суждений. Отрицательную частичку он прила­гает к предикату, т. е. вместо “А не есть В” он берет “А есть не-В”, Так, суждение “Ни один лев не является травоядным”, если следовать идеям Шрёдера, надо заменить на суждение “Все львы являются нетравоядными”.

Класс а₁, как отрицание класса а Шрёдер считает очень не­определенным. И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие “несражающийся” (в армии) охватывает: са­перов, полковых ремесленников, служащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, но не сражаются.

Опираясь на законы де Моргана, Шрёдер проводит анализ язы­ка разговорной речи. Выражение с а₁,b₁, в речи означает, что “ка­ждое с есть не- а и (одновременно) не-b”. Для него можно выбрать другое выражение: “Каждое с не есть ни a, ни b”. Это конъюнктив­ное суждение, примером которого может быть: “Каждая рыба - не птица и не млекопитающее”. Другое суждение: “Никакая рыба не есть птица и млекопитающее” - означает в символическом виде с (аb)₁,, что эквивалентно, на основании правила де Моргана,

___________________

¹См.: Schroder E. Vorlesungenuber die Algebra der Logic. Bd. 1. Leipzig, 1890. S. 302.

 

с a₁, +b₁. Так называемое отрицательное по связке суждение “ни а, ни b не есть с” представляется в виде а + b c₁) .

Шрёдер формулирует правила (или требования) научной клас­сификации:

1. Между родом и суммой его видов должно быть тождество.

2. Все виды должны быть дизъюнктивными, т. е. должны ис­ключать друг друга и попарно в произведении давать 0.

3. Для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Используя отрицание. Шредер показал, как классифициру­емый род делится на виды и подвиды.

В логическом исчислении, доведенном до наибольшей просто­ты, Шредер признает три основных действия: сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию), умножение и отрицание. Однако вычитание он считает небезусловно выполнимой операцией.

Автор данного учебника признает вполне приемлемой в логике классов операцию вычитания классов. Но понимает ее принципи­ально иначе, чем Буль и Шредер. Буль и Шредер считали, что в разности а - b b должно полностью входить в а, если же b> аилиаи b - несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В от­личие от Буля и Шредера мы допускаем возможной (т. е. выполни­мой) разность всяких двух классов а и b, из которых b можети небыть частью а; в качестве следствий мы учитываем случаи вычи­тания, когда классы а и b являются пустыми или универсальными.

Наиболее известные работы английского логика Стенли Джевонса (1835-1882) - “Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method” (London, 1874) и “Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive” (London, 1870).

В качестве логических операций Джевонс признавал конъюнк­цию, нестрогую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обрат­ных логических операций - вычитания и деления. Классы он обозначал буквами А, В, С..., а их дополнения до универсального класса, обозначаемого 1, или их отрицания -соответственно кур­сивными буквами а, b, с... 0 обозначает у него нулевой (пустой) класс; связка в суждении заменяется знаком равенства.

Большое значение Джевонс придавал принципу замещения (или подстановки), который формулируется им так: если только существует одинаковость, тождество или сходство, то все, что

 

верно об одной вещи, будет верно и о другой. Этот принцип игра­ет важную роль в умозаключении. Для обозначения отношения одинаковости (или тождества) Джевонс употребляет знак “ = ”.

Обозначив положительные и отрицательные термины соответ­ственно через А и а, В и b, Джевонс записывает закон непротиворечия как Аа = 0. Критерием ложности заключения, по Джевонсу, является наличие в нем противоречия, т. е. утверждения и отрицания одного и того же положения, что записывается, напри­мер, как наличие Аа, Вb, АВСа.

Джевонс считал, что утвердительные суждения можно пред­ставлять в отрицательной форме. Но он напрасно категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а раз­личие (т. е. отрицательные суждения) неспособно быть основа­нием умозаключения. Джевонс не отрицал, что утверждение и от­рицание, сходство и различие, равенство и неравенство представ­ляют пары одинаково основных отношений; но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утверждение, сходство или равенство, словом, какой-нибудь вид тождества.

Согласно законам диалектики, тождество и различие являют­ся двумя сторонами единого предмета или процесса. Отражение отношений тождества и различия, имеющихся в самих предме­тах действительного мира, находит свое выражение и в мышле­нии в формах умозаключений. Поэтому отбросить различие, выражающееся в отрицательных суждениях, и все свести только к тождеству, выражающемуся в утвердительных суждениях, нель­зя, да и нет в этом необходимости. Единство противоположно­стей - тождества и различия - неразрывно.

Интересны и оригинальны взгляды Джевонса на категориче­ский силлогизм с двумя отрицательными посылками. Джевонс утверждает, что его принцип умозаключения ясно отличает слу­чаи, когда оно оказывается правильным, от тех случаев, когда оно неправильно. Он приводит пример умозаключения:

Все, что не металлично, не способно к сильному магнитному влиянию.

Уголь не металличен.

Уголь не способен к сильному магнитному влиянию.

 

 

Здесь из двух отрицательных посылок получается истинное отрицательное заключение. Джевонс считает; что там, где возможно подставлять тождественное вместо тождественного, допустим вывод заключения из двух отрицательных посылок.

Джевонс внес значительный вклад в алгебру логики, особенно в проблему отрицания классов и отрицательных суждений.

Следующий этап в развитии математической логики связан с именем русского логика, математика и астронома Платона Сергеевича Порецкого (1846-1907). Его работы' существенно обобщают и развивают достижения Буля, Джевонса и Шредера.

Анализируя понятия, Порецкий различает две формы: форму, обладающую данным признаком, обозначаемую буквами а, b, с..., и форму,им не обладающую, обозначаемую а, b,с…, и т. д.² Фор­мы совместного обладания или необладания несколькими при­знаками записывает так: a,a₁ ,b,b₁ (без особого знака между бу­квами). Современное пересечение классов Порецкий называет операцией реализирования (умножения), обозначая ее “ • ”, а опе­рацию объединения классов - абстрагированием (сложением), обозначая ее “ ? ”, т. е. знаком вопроса; 0 и 1 обозначают пустой класс и универсальный. Порецкий вводит операцию отрицания классов (отрицание а обозначается через а₁,) - это дополнение к классу а. Для каждого данного а его отрицание, т. е. о,, может быть различно. Это определяется избранным универсальным клас­сом. Так, если за 1, т. е. универсум, принять англичан, а за а класс артистов, то а₁, означает англичан-не-артистов, но если 1 обозна­чает класс людей, то a₁, обозначает людей-не-артистов и т. д.

Заслуга Порецкого в том, что он рассматривал логические опе­рации не только над отдельными логическими классами, но и над логическими равенствами. Порецкий считает, что если два класса состоят из одних и тех же предметов, т.е. имеют равные объемы и могут отличаться только формой, то они равны между собой. Со­единяя равные классы знаком “ = ”, мы получаем логическое

_______________________

 

'См.: Порецкий П. С. Решение общей задачи теории вероятностей при по­мощи математической логики. Казань, 1887, и др.

²Порецкий П. С. О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1884. С. III.

 

равенство. Равенством логических классов русский логик назы­вает полную их тождественность, т. е. одинаковость их логичес­кого содержания, считая, что все их различие может состоять только в способе их происхождения. Примером такого равенст­ва является закон де Моргана: (m + n), = т₁ • n₁. Если классы а и b равны, то и их отрицания, т. е. классы а и b, также равны. По его мнению, отрицание всякого равенства приводит к новому равенству, тождественному первоначальному.

По мнению Порецкого, операция отрицания неприменима к системам равенств. К соединению двух и более равенств в одно новое равенство применимы лишь две логические операции: сло­жение и умножение отдельных частей равенств, причем предварительно каждое отдельное равенство может быть в слу­чае надобности заменено его отрицанием.

В созданной им теории логики Порецкий подчеркивал взаи­мосвязь двух проблем: выведения следствия из заданной систе­мы посылок и нахождения тех посылок, из которых данное логическое равенство может быть получено в качестве следствия. Несколько подробнее остановимся на методе нахождения всех простых следствий из данных посылок, который в теории логи­ки получил название метода Порецкого - Блэйка (его предложил американский математик Блэйк' на основе работы Порецкого).

Простым следствием из данных посылок называется дизъюнк­ция каких-либо букв или их отрицаний, являющаяся логическим следствием из этих посылок, и притом таким, которое не погло­щается никаким более сильным следствием такого же вида. (Мы говорим, что а сильнее b, если из а следует b, но из b не следует а). Все простые следствия из данных посылок можно получить, выполнив преобразования следующих пяти типов:

1) привести конъюнкцию посылок к конъюнктивной нормаль­ной форме (КНФ). КНФ есть конъюнкция из дизъюнкции элемен­тарных высказываний или их отрицаний, эквивалентная данно­му выражению, т. е. если есть импликация, то ее надо заменить на дизъюнкцию по формуле (а → b= b);

_______________________

'См.: Blake A. Canonical Expressions in Boolean Algebra. Chicago, 1938.

 

2) произвести все операции “отбрасывания”, т. е. члены вида a x (или а • х • ) можно исключить, так как этот член тождественно истинен;

3) использовать законы выявления, т. е. формулы

ах ^ b= ах ^ b^ аb; или ax b= ax bab;

4) произвести все “поглощения” на основании законов поглощения:

а ^ (a b) = а и а (а ^ b)= а;

5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании законов идемпотентности).

В результате получится силлогистический многочлен, который будет содержать все простые следствия из данных посы­лок, и только простые следствия. Они интереснее, чем обычные логические следствия, так как зависят от меньшего числа пара метров (элементарных высказываний).

Покажем это на конкретном примере. Из данных трех посы­лок, имеющих соответственно, формы (1) q →, (2) p q и (3) r, требуется вывести все разные (неэквивалентные между собой) формы простых логических следствий. Для решения задачи выполним следующие операции:

1. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим вы­ражение в КНФ:

(q →) ^ (p q) ^ r = () ^ (p q) ^ r

или в другой записи

pq ^ r.

2. В полученной КНФ к членам 1 и 3 применяем закон выяв­ления, получаем

^ pq ^ r = ^ pq ^

Затем ко второму и четвертому членам снова применяем этот же закон.

 

^ pq ^ r ^ = ^ pq ^ r ^ ^ p

3. Произведем операции “поглощения”. Первый член () поглощается четвертым (), поэтому отбрасываем первый член, а второй член (pq) поглощается пятым членом (p). В результате этого получим

^ pq ^ r ^ ^ p =r ^ ^ p

Вывод: при данных посылках суждения r и р истинны, а суж­дение q ложно, т. е. если суждениями выражены некоторые собы­тия, то событие r и событие р наступят, а событие q не наступит.

Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирую­щее влияние на развитие алгебраических теорий и в наши дни.

В XX в. математическая логика развивалась в трудах Ч. С. Пир­са и Дж. Пеано.

Американский логик Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914) внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концеп­ций и явился основоположником новой науки - семиотики (об­щей теории знаков). В работах Пирса содержится тенденция к расчленению семиотики на прагматику (анализирует отношение знака к его исследователю), семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками).

Пирс пишет о том, что реальное можно определить как не­что, свойства которого независимы от того, что о них мыслят. Наиболее общим подразделением знаков он считал такие: изоб­ражения (icons), индексы (indices) и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.

Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на од­ной операции, этим предвосхитив результаты М. X. Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной операции, которая вошла в историю логики подименем ее создателя - штрих Шеффера). Единственной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой дизъюнкции.

Пирсу принадлежат работа по логике “Studies in Logic” и другие.

 

 

Достижения Джузеппе Пеано (1858-1932), итальянского мате­матика, явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей придали Буль, Шредер, Порецкий и Пирс, к современ­ной форме математической логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитомном “Формуляре математики”'.

Пеано ввел следующие, употребляющиеся и ныне, символы:

а) “ ” - знак принадлежности элемента к классу;

б) “” - знак включения одного класса в другой класс;

в) “” - знак объединения классов;

г) “” - знак для обозначения операции пересечения классов.

Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического мето­да явилась его система из пяти аксиом для арифметики нату­ральных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.

На заключительном этапе своей научной деятельности Пеа­но приступил к систематическому изложению логики как осо­бой. по его мнению, математической дисциплины.

Далее развитие математической логики осуществлялось по мно­гим направлениям, а также в проблемном плане. Это было обу­словлено необходимостью дальнейшего освоения как классиче­ской и неклассической логик, так и возникшими трудностями в обосновании математики.

Краткому освещению основных направлений в современной логике посвящены последующие разделы данной главы.

§ 2. Развитие логики в связи с проблемой обоснования математики

Немецкий математик и логик Готтлоб Фреге (1848-1925) пред­принял попытку свести математику к логике. С этой целью в пер­вой своей работе по математической логике “Исчисление поня­тий” (“Begriffsschrift”) он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в “Ос­нованиях арифметики” (“Grundlagen der Arithmetik”), книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получи-

____________________

'См.: Peano G. Fonnulaire de Mathematiques. V. 5. Turin, 1895-1905.

ла широкую известность. Здесь Фреге определяет число, прина­длежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия счи­таются равночисленными, если множества, выражающие их объ­емы, можно поставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например, понятие “вершина треугольника” равно­численно понятию “сторона треугольника”, и каждому из них принадлежит одно и то же число 3, являющееся объемом поня­тия “вершина треугольника”.

Если Лейбниц только наметил программу сведения матема­тики к логике, то Г. Фреге предпринял попытку сведения до­вольно значительной части арифметики к логике, т. е. произвел некоторую математизацию логики'. Символические обозначения, принятые им, очень громоздки, и поэтому мало кто полностью прочитал его “Основные законы арифметики”. Впрочем, и сам Фреге особенно не рассчитывал на это. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики в первой половине XX в. Об этом своем произведении Фреге писал: “В моих “Основаниях арифметики” (1884) я пытался привести аргументы в пользу того, что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта, ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об “Ос­новных законах арифметики - А. Г.) это должно быть подтвер­ждено тем, что простейшие законы арифметики здесь выводят­ся только с помощью логических средств”².

Итак, Фреге полагал, что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых мо­жно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что та­ким образом он и сделал арифметику частью логики. Фреге не подозревал, однако, что построенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел.

В послесловии к “Основным законам арифметики” Фреге пи­сал по этому поводу: “Вряд ли есть что-нибудь более нежела­тельное для автора научного произведения, чем обнаружение по

 

______________________

'См.: Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. V. I. Jena, 1893. V. II. 1903.

²Ibid.V. 1. 1893. S. 1.

 

завершении его работы, что одна из основ его здания оказывает­ся пошатнувшейся. В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги бли­зилось к концу”'. Противоречием, который обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств (см. с. 226-227 учебника).

Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле по­стоянного, строго фиксированного множества, не содержащего в себе никакой неопределенности или расплывчатости. Ведь именно через этот объем он и определил основное понятие мате­матики - понятие числа.

Вслед за Г. Фреге очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Бер­тран Рассел (1872-1970). Он также автор ряда работ из областей истории, литературы, педагогики, эстетики, естествознания, со­циологии и др. Труды Рассела по математической логике оказа­ли большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логи­ком и математиком А. Уайтхедом² Рассел разработал оригиналь­ную систему символической логики в фундаментальном трех­томном труде “Principia Mathematica”³. Выдвигая идею сведения математики к логике, Рассел считает, что если гипотеза относит­ся не к одной или нескольким частным вещам, но к любому пред­мету, то такие выводы составляют математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем мы говорим, ни того, верно ли то, что мы говорим.

Рассел делит математику на чистую и прикладную. Чистая математика, по его мнению, есть совокупность формальных выводов, независимых от какого бы то ни было содержания, т. е. это класс высказываний, которые выражены исключительно в терминах переменных и только логических констант. Рассел не только вполне уверен в том, что ему удалось свести математику к такого рода предложениям, но делает из этого утверждения

_______________________

 

'ibid. V. II S. 253.

²См.: УайтхедА. Н. Избранные работы по философии//Пер. с англ. М., 1990.

³См.: RusselB.. and WhiteheadA. N. Principia Mathematica. London, 1910-1913.

 

вывод о существовании априорного знания, считает, что “мате­матическое познание нуждается в посылках, которые не базиро­вались бы на данных чувства”'.

От чистой математики Рассел отличает прикладную математи­ку, которая состоит в применении формальных выводов к матери­альным данным.

Для того чтобы показать, что чистая математика сводится к логике, Рассел берет систему аксиом арифметики, сформулиро­ванную Пеано, и пытается их логически доказать, а три неопре­деляемые у Пеано понятия: “нуль”, “число”, “следующее за” - определить в терминах своей логической системы. Все натураль­ные числа Рассел также считает возможным выразить в терми­нах логики, а следовательно, свести арифметику к логике. А так как, по его мнению, вся чистая математика может быть сведена к арифметике, то математика может быть сведена к логике. Рас­сел пишет: “Логика стала математической, математика логичес­кой. Вследствие этого сегодня совершенно невозможно провес­ти границу между ними. В сущности это одно и то же. Они различаются, как мальчик и мужчина; логика - это юность мате­матики, а математика - это зрелость логики”². Рассел считает, что не существует пункта, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую - математика.

Но в действительности математика несводима к логике. Предметы изучения этих наук различны. Нами ранее были ука­заны характерные черты, присущие логике как науке (см. с.141-142). У математики другие задачи и функции.

В большом труде “Principia Mathematica” есть две стороны. Первая - заставляющая видеть в нем один из основных истоков современной математической логики. Все, что связано с этой сто­роной Principia Mathematica, получило в дальнейшем такое раз­витие в математической логике, которое сделало эту новую об­ласть науки особенно важной для решения не только труднейших

____________________

'Russel B. The Philosophical Importance of Mathematical Logik. // “Monist”. V. XXIII. 1913. № 4. P. 489.

²Russel B. Introduction to Mathematical Philosophy. London, 1924. P. 194.

 

задач теоретической математики и ее обоснования, но и целого ряда весьма важных для практики задач вычислительной матема­тики и техники.

Другая сторона этого произведения - точнее, даже не самого этого произведения, а философских “обобщений”, делаемых логицистами со ссылкой на него, - принадлежит уже к области по­пыток использовать его для “доказательства” положения, что математика-де сводится к логике. Именно эта сторона сомнительна, и ее опровергает дальнейшее развитие науки, которое обнаружи­ло, что попытка Рассела безуспешна. И это не случайно. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совсем удачно построил свою систему. Дело в том, что вообще нельзя построить формаль­ную “логическую систему” с точно перечисленными и эффективно выполнимыми правилами вывода, в которой можно было бы фор­мализовать всю содержательную арифметику. Это обстоятельство представляет собой содержание известной теоремы австрийского математика и логика К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики', из которой следует непосредственно, что определе­ние математических понятий в терминах логики хотя и обнару­живает некоторые их связи с логикой, тем не менее не лишает их специфически математического содержания. Формализованная система имеет смысл лишь при наличии содержательной науч­ной теории, систематизацией которой данная формализованная система должна служить.

Однако Г. Фреге и Б. Рассел в своем логическом анализе при­шли к ряду интересных результатов, относящихся к понятиям “предмет”, “имя”, “значение”, “смысл”, “функция”, “отношение” и др. Особо следует подчеркнуть значение разработанной Рассе­лом теории типов (простой и разветвленной), цель которой состо­ит в том, чтобы помочь разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории Рассела состоит в том, что она является конструктивной теорией.

_____________________

Godel К. Ober formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme // Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte der Preussische Academic der Wssenschaft. Vol. 38. Berlin, 1930.

 

***

Одним из оснований деления логики служит различие приме­няемых в ней принципов, на которых базируются исследования. В результате такого деления имеем классическую логику и неклассические логики. В. С. Меськов выделяет такие осново­полагающие принципы классической логики:

“1) область исследования составляют обыденные рассужде­ния, рассуждения в классических науках;

2) допущение о разрешимости любой проблемы;

3) отвлечение от содержания высказываний и от связей по смыслу между ними;

4) абстракция двузначности высказываний”'. , Неклассические логики отступают от этих принципов. К ним относятся интуиционистская логика, конструктивные логики, многозначные, модальные, положительные, паранепротиворечи-вые и другие логики, к изложению которых мы переходим.

§ 3. Интуиционистская логика

Интуиционистская логика построена в связи с развитием ин­туиционистской математики. Интуиционистская школа основа­на в 1907 г. голландским математиком и логиком Л. Брауэром (1881-1966)², но некоторые ее идеи выдвигались и ранее.

Интуиционизм - философское направление в математике и логике, отказывающееся от использования абстракции актуаль­ной бесконечности, отвергающее логику как науку, предшест­вующую математике, и рассматривающее интуитивную ясность и убедительность (“интуицию”) как последнюю основу матема­тики и логики. Интуиционисты свою интуиционистскую мате­матику строят с помощью финитных (конечных) средств на ос­нове системы натуральных чисел, которая считается известной из интуиции. Интуиционизм включает в себя две стороны - фи­лософскую и математическую.

_______________________

'Меськов В. С. Очерки по логике квантовой механики. М., 1986. С. 9.

²Brouwer L. E. J. Intuitionism and Formalism // Bulletin of American Math­ematical Society. 1913. Vol. 20. The Effect of Intuitionism on Classical Algebra of Logic // Proceedings of the Royal Irish Academy. 1955. Vol. 57. P. 113-116.

 

Математическое содержание интуиционизма изложено в ряде работ математиков. Ведущие представители отечественной шко­лы конструктивной математики отмечают положительное зна­чение некоторых математических идей интуиционистов.

В целом конструктивная математика существенно отличает­ся от интуиционистской, но, как указывал советский математик-конструктивист А. А. Марков, конструктивное направление име­ет точки соприкосновения с интуиционистской математикой. Конструктивисты сходятся с интуиционистами в понимании дизъюнкции и в силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе с тем кон­структивисты считают неприемлемыми методологические ос­новы интуиционизма.

Если математический аспект интуиционизма имеет рациональ­ный смысл (в этой связи предпочтительнее говорить об интуицио­нистской математике или интуиционистской логике, а не об ин­туиционизме), то второй его аспект - философско-методологический - совершенно неприемлем.

Брауэр считал, что чистая математика представляет собой сво­бодное творение разума и не имеет никакого отношения к опыт­ным фактам. У интуиционистов единственным источником ма­тематики оказывается интуиция, а критерием приемлемости математических понятий и выводов является “интуитивная яс­ность”. Но интуиционист Гейтинг вынужден был признаться в том, что понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным; можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности.

Основой происхождения математики в конечном итоге явля­ется не какая-то “интуитивная ясность”, а отражение в созна­нии пространственных форм и количественных отношений действительного мира. Гейтинг, как и Брауэр, в гносеологии субъ­ективный идеалист. Он считает, что математическая мысль не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями'.

Еще в 1936 г. советский математик А.Н. Коломогоров подверг критике субъективно-идеалистические основы интуиционизма,

____________________

'Cм: Гейтинг А. Интуиционизм // Пер. с англ. М., 1965. С. 17.

 

заявив, что невозможно согласиться с интуиционистами, когда они говорят, что математические объекты являются продуктом конструктивной деятельности нашего духа, ибо математичес­кие объекты являются абстракциями реально существующих форм независимой от нашего духа действительности. Интуиционисты не признают практику и опыт источником формиро­вания математических понятий, методов математических по­строений и методов доказательств.

Особенности интуиционистской логики вытекают из характер­ных признаков интуиционистской математики.

В современной классической математике часто прибегают к косвенным доказательствам. Но их почти невозможно ввести в интуиционистскую математику и логику, так как там не призна­ются закон исключенного третьего и закон →а и которые участвуют в косвенных доказательствах. Но закон непротиворе­чия представители как интуиционистской, так и конструктив­ной логики считают неограниченно применимым.

Закон исключенного третьего для бесконечных множеств в интуиционистской логике не проходит потому, что р требу­ет общего метода, который по произвольному высказыванию р позволил бы получать доказательство, либо доказательство от­рицания. Гейтинг считает, что так как интуиционисты не рас­полагают таким методом, то они не вправе утверждать и прин­цип исключенного третьего. Покажем это на таком примере. Возьмем утверждение: “Всякое целое число, большее единицы, либо простое, либо сумма двух простых, либо сумма трех про­стых”. Неизвестно, так это или не так в общем случае, хотя в рассмотренных случаях, которых конечное число, это так. Суще­ствует ли число, которое не удовлетворяет этому требованию? Мы не можем указать такое число и не можем вывести противо­речие из допущения его существования.

Эта знаменитая проблема X. Гольдбаха была поставлена им в 1742 г. и не поддавалась решению около 200 лет. Гольдбах высказал предположение, что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Для нечетных чисел это предположение было доказано только в 1937 г. советским математиком академиком

 

И. М.Виноградовым; все достаточно большие нечетные числа представимы в виде суммы трех простых чисел. Это - одно из крупнейших достижений современной математики.

Брауэр первый наметил контуры новой логики. Идеи Брауэра формализовал Гейтинг, в 1930 г. построивший интуиционистское исчисление предложений с использованием импликации, конъ­юнкции, дизъюнкции и отрицания на основе 11 аксиом и двух правил вывода - modus ponens и правила подстановки. Гейтинг утверждает, что хотя основные различия между классической и интуиционистской логиками касаются свойств отрицания, эти логики не совсем совпадают и в формулах без отрицания. Он от­личает математическое отрицание от фактического: первое выра­жается в форме конструктивного построения (выполнения) определенного действия, а второе говорит о невыполнении действия (“невыполнение” чего-либо не является конструктивным дейст­вием). Интуиционистская логика имеет дело только с математи­ческими суждениями и лишь с математическим отрицанием, ко­торое определяется через понятие противоречия, а понятие противоречия интуиционисты считают первоначальным, выража­ющимсяили приходящимся в форме 1 = 2. Фактическое отрица­ние не связано с понятием противоречия.

Проблемами интуиционистской логики занимаются также фи­лософы К. Н. Суханов, М. И. Панов, А. Л. Никифоров и др.

§ 4. Конструктивные логики

Конструктивная логика, отличная от логики классической, сво­им рождением обязана конструктивной математике. Конструк­тивная математика может быть кратко охарактеризована как аб­страктная умозрительная наука о конструктивных процессах и на­шей способности их осуществлять. В результате конструктивно­го процесса возникает конструктивный объект, т. е. такой объект, который задается эффективным (точным и вполне понятным) спо­собом построения (алгоритмом).

Конструктивное направление (в математике и логике) ограни­чивает исследование конструктивными объектами и проводит его в рамках абстракции потенциальной осуществимости (реализуемо­сти), т. е. игнорирует практическое ограничение наших возможностей построений в пространстве, времени, материале.

 

Между идеями конструктивной логики советских исследовате­лей и некоторыми идеями интуиционистской логики (например, в понимании дизъюнкции, в отказе от закона исключенного третье­го) имеются точки соприкосновения.

Однако между конструктивной и интуиционистской логика­ми имеются и существенные отличия.

1. Различные объекты исследования. В основу конструк­тивной логики, которая является логикой конструктивной мате­матики, положена абстракция потенциальной осуществимости, а в качестве объектов исследования допускаются лишь констру­ктивные объекты (слова в определенном алфавите).

В основу интуиционистской логики, которая является логи­кой интуиционистской математики, положена идея “свободно становящейся последовательности”, т. е. строящейся не по ал­горитму, которую интуиционисты считают интуитивно ясной.

2. Обоснование интуиционистской математики и логикидается с помощью идеалистически истолкованной интуиции, а обоснование конструктивной математики и логики дается на базе математического понятия алгоритма (например, нормального алгоритма А. А. Маркова) или эквивалентного ему понятия рекурсивной функции.

3. Различные методологические основы. Методологической основой конструктивного направления в математике является признание практики источником познания и критерием его ис­тинности (в том числе и научного). Это положение сохраняет свою силу и для таких наук, как логика и математика, хотя здесь практика входит в процесс познания лишь опосредованно, в ко­нечном счете.

Интуиционисты же считают источником формирования ма­тематических понятий и методов первоначальную “интуицию”, а критерием истинности в математике - “интуитивную ясность”.

4. Различные интерпретации¹. А. Н. Колмогоров интерпретировал интуиционистскую логику как исчисление задач. А. А. Марков

________________________

'Интерпретация (в математической логике) - распространение исходных положений какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исходные положения которой определяются независимо от формаль­ной системы.

 

интерпретировал логические связки конструктивной логики как прилагаемые к потенциально осуществимым конструктивным процессам (действиям).

Интуиционистская логика Л. Брауэра и А. Рейтинга интерпре­тируется ими как исчисление предложений (высказываний), при­чем область высказываний у них ограничивается математичес­кими предложениями.

5. Отличие ряда логических средств. Представители узко-конструктивной логики признают в качестве принципа: если име­ется алгоритмический процесс и удалось опровергнуть, что он продолжается бесконечно, то, следовательно, процесс закончит­ся. Некоторые из представителей конструктивной логики дока­зывают этот принцип в уточненной форме.

Представители интуиционистской логики не признают дан­ного принципа.

Конструктивные исчисления высказываний В. И. Гливенко и А. Н. Колмогорова

Первыми представителями конструктивной логики были математики А. Н. Колмогоров (1903-1987) и В. И. Гливенко (1897-1940). Первое исчисление, не содержащее закон исключенного третьего, было предложено в 1925 г. А. Н. Колмого­ровым в связи с его критикой концепции Л. Брауэра, а в даль­нейшем развито В. И. Гливенко. Позже было опубликовано исчисление Гейтинга, которое Колмогоров интерпретировал как исчисление задач, что породило содержательное истолко­вание исчислений, не пользующихся законом исключенного третьего, а это, в свою очередь, легло в основу всех дальней­ших, подлинно научных исследований таких исчислений.

Введя понятия “псевдоистинность” (двойное отрицание суждения) и “псевдоматематика” (“математика псевдоистинно­сти”), Колмогоров доказал, что всякий вывод, полученный с помощью закона исключенного третьего, верен, если вместо каж­дого суждения, входящего в его формулировку, поставить суж­дение, утверждающее его двойное отрицание. Тем самым он показал, что в “математике псевдоистинности” законно приме­нение принципа исключенного третьего.

 

Колмогоров различает две логики суждений – общую и част­ную. Различие между ними заключается в одной аксиоме ® А, которая имеется лишь среди аксиом частной логики. Интересна диалектика соотношения содержания и областей применения этих логик: содержание частной логики суждений богаче, чем общей, так как частная логика дополнительно включает аксиому ® А, но область применения ее уже. Из системы частной логики мож­но вывести все формулы традиционной логики суждений.

Какова же область применения частной логики суждений? Все ее формулы верны для суждения типа А^. , в том числе для всех финитных и для всех отрицательных суждений, т. е. область применимости ее совпадает с областью применимости фор­мулы двойного отрицания ®А. (Символами А^. ,В^. ... обозна­чены произвольные суждения, для которых из двойного отрица­ния следует само суждение).