x | Nx |
½ | |
Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значении аргументов.
Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики.
этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х ® у) ® (), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (x)- тавтологии.
Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Рейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.
т-значиая система Поста (Рт )1
Система американского математика и логика Э. Л. Поста (1897- 1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1, 2, ..., т (при т 2), где т -конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т - 1, включая их самих.
Пост вводит два вида отрицания (N 1x и N 2х) соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.
Первое отрицание определяется двумя равенствами:
1. [N 1x]=[x]+1 при [х]т-1.
2. [N 1m]=1.
Второе отрицание определяется одним равенством:
[N 2 x]=m-[x]+1
Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.
______________________________
'См.: PoslE.L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43. №3.
Этапы развития логики как науки и основные
направления современной символической логики
X | N 1x | N 2 x |
m | ||
m – 1 | ||
m –2 | ||
m – 3 | ||
. | . | . |
. | . | . |
. | . | . |
m – 1 | m | |
m |
Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не являются тавтологиями.
Трехзначная система Р3 Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при m = 3: первое отрицание обозначается через ( ~ 3 р ), второе отрицание - через ( 3 р), конъюнкция через (р.3 р),дизъюнкция - через
рv3 р),импликация - через (р 3 q), эквиваленты - через ( р 3 q ).
р | ~3 p | ≈3 p |
Пояснения | Первое отрицание | Второе отрицание |
q \ p | р.3 q | рv3q | р 3q | р 3 q . | |||||||||||||
Пояснения | max(p,q) | min(p,q) | (3 р) v3q | (р 3q)^3(qp) | |||||||||||||
Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 “истина” и 3 “ложь”, то из таблиц системы Р3 Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.
В системе Р3 тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.
Две бесконечнозначные системы Гетмановой:
“Логика истины” и “Логика лжи”
Бесконечнозначная “Логика истины” как обобщение многозначной системы Поста
Исходя из т-значной системы Э. Л. Поста автор этого учебника А. Д. Гетманова построила бесконечнозначную систему Gxo. J В ней значениями истинности являются: 1 (“истина”), 0 (“ложь”) и все дробные числа в интервале от 1 до 0, построенные в форме (1/2)k и в форме (1/2)k*(2k - 1), где k-целочисленный показатель. Иными словами, значениями истинности являются: 1, 1/2 , 1/4, 3/4 , 1/8, 7/8, 1/16, 15/16,….., (1/2)k, (1/2)k*(2k-1),….,0.
Операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция в Gxo- определены следующими равенствами:
1. Отрицание: [х0 р]=1-[p]
2. Дизъюнкция: [р v х0 q ] = max([p], [q]).
3. Конъюнкция: [р х0q] = min([p],[qj).
4. Импликация: [р = х0х0 q] = [х0 p v q].
5. Эквиваленция: [р х0q] = [(р х0q) х0 (q х0 р)]
Отрицание в системе Gxo является обобщением второго (симметричного) отрицания т-значной логики Поста. Посредством именно этого отрицания строятся конъюнкция, импликация
и эквиваленция в системе Gхо . Система Gхо , построенная предложенным способом, имеет множество тавтологий. (Тавтология принимает значение 1).
Тавтологии в бесконечнозначной “Логике истины” (т. е. в Gхо) являются тавтологиями в двузначной логике, ибо Gхо является обобщением системы Р Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики. Из системы Gхо вычленяются G3 ,G4 .,G5,G6,...,Gn ,т.е. любая конечнозначная “Логика истины”.
Об интерпретации системы Gхо
В системе Gхо между крайними значениями истинности: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”) лежит бесконечное число значений истинности: 1/2,1/4,3/4,1/8, 7/8 и т. д. Процесс познания осуществляется таким образом, что мы идем от незнания к знанию, от неполного, неточного знания к более полному и точному, от относительной истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком смысле) складывается из бесконечной суммы относительных истин. Если значению истинности, равному 1, придать семантический смысл абсолютной истины, а значению 0 - значение лжи (заблуждения, отсутствия знания), то промежуточные значения истинности отразят процесс достижения абсолютной истины как бесконечный процесс, складывающийся из познания относительных истин, значениями которых в системе Gхо являются 1/2,1/4,3/4,1/8, 7/8 и т. д. Чем ближе значение истинности переменных (выражающих суждения) к 1, тем большая степень приближения к абсолютной истине. Так осуществляется процесс познания: от незнания к знанию, от явления к сущности, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т. д. Этот бесконечный процесс познания и отражает бесконечнозначная система Gхо, построенная автором как обобщение двузначной классической логики, характеризующей процесс познания в рамках оперирования лишь предельными значениями истинности - “истина” и “ложь”. Такова семантическая интерпретация системы Gхо (“Логика истины”), вскрывающая ее роль в процессе познания истины.
Методологические проблемы
применения многозначных логик для моделирования систем с наличием элемента неопределенности. (О применении многозначных логик в социологии).
Многозначные логики используются при моделировании систем с наличием элемента неопределенности. Простейшим примером применения трехзначной логики является голосование:
“за”, “против”, “воздержался” или ответы на вопросы: “да”, “нет”, “затрудняюсь ответить”.
Более сложной методологической проблемой является применение многозначных логик при построении социологических анкет. Обычно дается ряд ответов на один вопрос. Ответы формулируются приблизительно так: “да”, “нет”, “скорее да, чем нет”, “скорее нет, чем да”, “удовлетворен в значительной степени”, “мало удовлетворен” и т. д. Все эти ответы включают значительный элемент неопределенности, что затрудняет выявление мнения людей в ходе социологического опроса (или анкетирования).
Автор считает возможным использовать многозначные логики с различными значениями истинности, т. е., например, 6-ти, или 8-ми, или 9-ти, или 12-значные логики. Составляющий анкету социолог должен предлагать конкретные значения истинности суждений, т. е. предусмотреть точные оценки, которые даст сам человек, работающий с анкетой. Например, в 9-значнои логике значениями истинности будут следующие: 1,15/16,7/8,3/4,1/2 ,1/4 ,1/8, 1/16, 0.
Если человек, например, при ответе на вопрос: “Удовлетворен ли он своим трудом?”им полностью удовлетворен, то в соответствующем разделе он напишет 1, если же он полностью не удовлетворен, то напишет значение 0. Если он почти удовлетворен (согласен), то напишет либо 15/16 либо 7/8; если же он почти не удовлетворен, то напишет 1/16 или 1/8. Если он не знает ответа или думает неопределенно, то напишет 1/2.
При обработке информации на ЭВМ на основе данных числовых характеристик ответов можно получить более точные знания о мнении в репрезентативной выборке любого вида (стихийной, квотной, вероятностной и других, когда применяется неполная индукция)или во всей генеральной совокупности (т. е. при сплошном обследовании, когда применяется полная индукция).
Бесконечнозначная система Fхо - “Логика лжи”
Аристотель охарактеризовал ложь так: ложное говорит тот, “кто думает обратно тому, как дело обстоит с вещами”'. Ложь может быть не только измышлением о том, чего не было, но и сокрытием или отрицанием того, что было. Ложь бывает непреднамеренной (паралогизм) или преднамеренной (софизм). В мышлении ложь формулируется в виде суждений. Иногда понятие “ложь” употребляется как синоним понятия “заблуждение”. Ведь и ложь, и заблуждение - формы неистинного знания. Причины возникновения заблуждений сходны с теми, которые порождают ложь: ограниченность общественно-исторической практики, абсолютизация отдельных моментов процесса познания, нарушение логических правил доказательств, человеческие эмоции, догматический стиль мышления и др. Однако в отличие от лжи заблуждение выступает как неотъемлемый момент процесса познания, диалектически связанный с истиной.
Существует специфика логического подхода к понятию “ложь”. В двузначной логике отрицание истинного суждения дает ложное суждение и наоборот. Сложнее обстоит дело в многозначных логиках. В трехзначных логиках имеется три значения истинности: “истина”, “ложь”, “неопределенно”; при этом неистинное суждение может быть как ложным суждением, так и неопределенным. В т-значной логике Поста допускается т значений истинности, предельными из которых являются “истина” и “ложь”. В бесконечнозначной “Логике истины” Gхо между 1 и 0 лежит бесконечное число значений истинности.
Автор построила бесконечнозначную систему “Логики лжи” -Fxo (от англ. false - ложь), которая отражает бесконечный процесс познания, идущий от незнания не к истине, а к заблуждению. В результате человек приходит к ложным суждениям - в юридической деятельности (неверно построенные версии в процессе расследования преступления), медицинской практике (постановка ошибочного диагноза), в научном творчестве (выдвижение ложных гипотез) и других сферах человеческой деятельности. Степень заблуждения бывает различной и может доходить до абсурда. Причем
_______________________
'Аристотель. Метафизика // Соч.: в 4-х т.М. 1976. Т. 1. С. 250.
процесс возможного заблуждения потенциально бесконечен, что отражено в системе Fхо .
Система Fхо имеет свою интерпретацию. Ее значения истинности отражают степень заблуждения, возникшего в результате либо умышленной дезинформации, либо незнания, либо неправильного истолкования результатов эксперимента, либо допущения логических ошибок, либо по другим причинам.
Значениями истинности в “Логике лжи” являются: - 1 (ложь, заблуждение), 0 (незнание, отсутствие знания) и все дробные числа в интервале от 0 до - 1, построенные по определенной форме. То есть:
- 1, - 1/2, - 1/4 , - 3/4, - 1/8, - 1/16, - 15/16,.... - (1/2)k, - (1/2)k *(2k - 1),..., 0
(где k - натуральное число).
Логические операции в Fхо определены следующими равенствами:
1. Отрицание: [ù x0 р]= - 1- [р] = - (1+[p])
2. Дизъюнкция: [px0 q]=max([p],[q]).
3. Конъюнкция: [p& x0 q]=min([p],[q]).
4. Импликация: [р →px0 q]=[ ù x0 p x0 q]
5. Эквиваленция: [рx0 q ] = [(p→ x0 q )& x0 (q→ x0 p)].
Тавтология (закон логики) принимает значение 0. Например, тавтологией является правило снятия двойного отрицания.
Из бесконечнозначной системы Fхо вычленяются конечнозначные системы, F2 ,F3 ,F4 ,….. Fn.
Закон исключенного третьего, закон непротиворечия и их отрицания в трехзначной “Логике лжи” (Fхо) не являются тавтологиями, ибо в колонках, соответствующих этим формулам, присутствуют значения или –1/2 или как –1/2 , так как и - 1, а тавтологией является формула, принимающая лишь значение 0. Если
эти законы не являются тавтологиями в трехзначной системе “Логика лжи”, то они не будут тавтологиями и в четырехзначной системе “Логика лжи” (F4) и в F5, и т. д. (т. е. в любой конечнозначной “Логике лжи”) и в бесконечнозначной “Логике лжи” Fхо.
Система Fхо и другая построенная автором бесконечнозначная логика Gхо в совокупности охватывают оба направления в процессе познания - как в сторону истины, так и, к сожалению, в сторону лжи, заблуждения.
§ 6. Законы исключенного третьего и непротиворечия в неклассических логиках (многозначных, интуиционистской, конструктивных)
В главе IV “Законы (принципы) правильного мышления” была проанализирована специфика действия закона исключенного третьего при наличии “неопределенности” в познании, сделан вывод, что закон этот применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией: или - или, истина - ложь. Во многих неклассических логических системах формулы, соответствующие законам исключенного третьего и непротиворечия, не являются тавтологиями.
Ниже приведена таблица (см. с. 430), в которой знаком “ + ” обозначено то, что в указанной логической системе закон непротиворечия и закон исключенного третьего, т. е. формулы и , являются тавтологиями (или выводимыми формулами), и соответственно знаком “ - ”, когда не являются. Рассмотрено, кроме того, отрицание закона непротиворечия, выражающееся формулой , и отрицание закона исключенного третьего, выражающееся формулой . В этих формулах имеется в виду та форма отрицания, которая принята в указанной логической системе.
В интуиционистской и конструктивных логиках закон исключенного третьего для бесконечных множеств “ не работает ”. Осуществимость в конструктивной математике понимается как потенциальная осуществимость конструктивного процесса, дающего в результате один из членов дизъюнкции, который должен
Вид логической системы | Закон исключенного третьего a | Закон непротиворечия | Отрицание закона исключенного третьего | Отрицания закона непротиворечия | Формальное противоречие |
1. Двузначная классическая логика | + | + | - | - | - |
2. Трехзначная логика Лукасевича | - | - | - | - | - |
3. Трехзначная логика Рейтинга | - | + | - | - | - |
4. Трехзнач-ная логика Рейхенба-ха: а)цикличе-ское отрицание | - | - | - | - | - |
б) диаметраль-ное отрицание | - | - | - | - | - |
в) полное отрицание | + | + | - | - | - |
5. т-значная логика Поста: а)первое отрицание | - | - | - | - | - |
б)второе отрицание | - | - | - | - | - |
6. Конструктив-ная логика Маркова | - | + | - | - | - |
7. Конструктив-ная логика Гливенко | - | + | - | - | - |
8. Конструктив-ная логика Колмогорова | - | + | - | - | - |
9. Интуиционистская логика Гейтинга | - | + | - | - | - |
истинным. Но так как для бесконечных множеств нет алгоритма распознавания, что является истинным: а или не-а, то конструктивная логика отвергает закон исключенного третьего в пределах конструктивной математики.
Итак, из таблицы видно, что формула a, соответствующая закону исключенного третьего, из рассмотренных 12 видов отрицания не является тавтологией, или доказуемой формулой, для 10 видов.