Сложными являются суждения, в которых можно выделить правильные части, в свою очередь являющиеся суждениями. Сложные суждения образуются как из простых, так и из других сложных суждений при помощи логических связок «если..., то...», «или», «и» и т. д.
Сложные суждения подразделяются на несколько видов, из которых мы ниже рассмотрим соединительные, разделительные, условные суждения, суждения эквивалентности и суждения с внешним отрицанием.
Соединительные суждения - это суждения, в которых утверждается, что две ситуации наличествуют одновременно. Например: «Поезд подходит к перрону и пассажиры готовятся войти в вагон». Такие утверждения могут выражаться посредством предложений, содержащих союзы «и», «да», «а» (в значении «и»). Поскольку союз «и» выражается знаком конъюнкции, такие суждения называются конъюнктивными, и имеют форму АÙВ, где А и В – это простые суждения.
Определением знака конъюнкции является таблица истинности, которая показывает зависимость истинности конъюнктивного суждения от истинности составляющих его суждений. Каждое из высказываний А и В может принимать как значение «истина», так и значение «ложь». Истинное суждение в таблице обозначается буквой и, ложное - буквой л.
| А | В | АÙВ |
| и и л л | и л и л | и л л л |
Разделительные суждения - это суждения, в которых утверждается наличие одной из двух возможных ситуаций. Например: «Сейчас идет дождь или светит солнце». Эти утверждения выражаются предложениями, содержащими союзы «или», «либо» и т.п., которые выражаются знаком дизъюнкции, поэтому они называются также дизъюнктивными. Если утверждается наличие по крайней мере одной из двух возможных ситуаций, а вторая может быть, а может и не быть, суждение нестрого разделительным, или просто дизъюнктивным. Приведенный пример является как раз таким суждением: возможны ситуации, когда только идет дождь, только светит солнце, а также когда эти явления наблюдаются одновременно. Если же утверждается наличие только одной из двух возможных ситуаций, то суждение называется строго-разделительным, или строго-дизъюнктивным. Например: «сейчас на улице или день, или ночь». Утверждения первого типа формулируются чаще всего посредством предложений с союзами «или..., или...» и «либо..., либо...», но могут выражаться и посредством предложений с одним союзом «или» («либо»). В этом случае должно быть ясно из контекста, что имеет место утверждение о наличии только одной из двух ситуаций. Если союз «или» обозначается символом Ú, называемым знаком нестрогой дизъюнкции или просто знаком дизъюнкции, то союз «или..., или...» - символом Ú , называемым знаком строгой дизъюнкции.
Для случаев нестрогой и строгой дизъюнкции существуют различающиеся таблицы истинности.
Таблица нестрогой дизъюнкции:
| А | В | АÚВ |
| и и л л | и л и л | и и и л |
Таблица строгой дизъюнкции:
| А | В | АÚВ |
| и и л л | и л и л | л и и л |
Союз «или» может быть как двухместным, так n-местным, в суждении может предполагаться выбор более чем из двух альтернатив: «Вы можете пойти в музей, или в кино, или в театр, или на выставку». В данном случае дизъюнктивное суждение является истинным, если истинно только одно из простых суждений.
Условные суждения- это суждения, в которых утверждается, что наличие одной ситуации детерминирует наличие другой. Чаще всего условные суждения выражаются предложениями с союзом «если..., то...», где та часть суждения, которая находится между словом «если» и словом «то», является основанием, а часть суждения, которая находится после слова «то», является следствием. В условных суждениях ситуация, описываемая основанием, является достаточным условием для ситуации, описываемой следствием.
Поясним приведенное выше утверждение. Условия бывают необходимые и достаточные. Условие называется необходимым для данного явления, ситуации и т. д., если при его отсутствии это явление, ситуация и т. д. не происходит. Например, наличие топлива в бензобаке автомобиля является необходимым условием для того, чтобы его двигатель мог работать. Условие называется достаточным для данного события, если всякий раз, когда имеется это условие, событие происходит. Например, наличие льда на дороге является достаточным условием для того, чтобы автомобиль при торможении занесло. Условия могут быть достаточными, но не необходимыми, например, как в приведенном выше примере: во-первых, автомобиль может занести на мокрой дороге во время дождя, во-вторых, это событие может произойти вследствие изношенного протектора покрышек и т.д.; необходимыми, но не достаточными, как в примере с наличием топлива, так как для того, чтобы двигатель заработал, нужно еще как минимум наличие работоспособного зажигания; необходимыми и достаточными, например делимость числа n на 2 и 3 является необходимым и достаточным условием его делимости на 6.
Союз «если..., то» в условном суждении обозначается стрелкой «®».
В современной логике распространено импликативное суждение (от латинского implico - тесно связываю), которое является упрощением, моделью отношений реальности, описываемых условным суждением. В этом случае союз «если..., то...» обозначается знаком импликации « É ». Основание импликативного суждения называется антецедентом, а следствие - консеквентом.
Таблица истинности для импликации:
| А | В | АÉВ |
| и и л л | и л и л | и л и и |
В случае импликации не учитывается связь по смыслу между предшествующим и последующим суждениями, поэтому сложное условное суждение в этом случае будет ложным, только когда антецедент является истинным, а консеквент ложным. Здесь оказывается нарушенным требование, предъявляемое к рассуждениям: при истинности посылок заключение не должно быть ложным. В случаях, когда антецедент ложен, а консеквент истинен и когда ложны как антецедент, так и консеквент, суждение в целом считается истинным.
Суждение эквивалентности - это суждение, в котором утверждается одновременное наличие или одновременное отсутствие двух ситуаций. Суждения эквивалентности выражаются, как правило, посредством союзов «если и только если..., то...» и «тогда и только тогда..., когда...». Как и в условных суждениях, в суждениях эквивалентности выделяют основание и следствие, которые связаны между собой следующим образом: основание выражает достаточное и необходимое условие для ситуации, описываемой следствием, и наоборот, событие, описываемое следствием, также является достаточным и необходимым условием для события, описываемого основанием. Например, «Если и только если число четное, то оно делится на два». Союз «если и только если..., то...» в суждении эквивалентности обозначается символом « « ».
В логике исследуются суждения материальной эквивалентности, которые являются упрощением, моделью отношений реальности, описываемых суждением эквивалентности. В этом случае союз «если и только если..., то...» обозначается символом « º ».
Таблица истинности для суждений эквивалентности:
| А | В | АºВ |
| и и л л | и л и л | и л л и |
Суждение с внешним отрицанием - это суждение, в котором содержится информация об отсутствии некоторой ситуации. Такие суждения чаще всего представлены выражением «неверно, что». Внешнее отрицание обозначается символом « Ø », который называется знаком отрицания.
Таблица истинности для суждений с внешним отрицанием:
| А | ØА |
| и л | л и |