При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний

ВВЕДЕНИЕ

Начертательная геометрия, изучаемая студентами заочной формы обучения в первом семестре, является первой частью дисциплины «Инженерная графика» и её теоретической базой.

Данное учебно-методическое пособие посвящено именно этой части дисциплины. Вторая её часть будет отражена в последующих работах.

При изучении курса необходимо ознакомиться с программой, приобрести учебную литературу и тщательно продумать календарный план самостоятельной работы, согласуя его с учебным графиком и и планами по другим учебным дисциплинам первого курса. В этом плане начертательной геометрии следует уделить особое место, учитывая, что наряду с изучением теории необходимо ознакомиться с решением типовых задач каждой темы курса и выполнить контрольные работы.

Цели и задачи изучения дисциплины – уметь точно и аккуратно выполнять графические построения при решении конкретных графических задач. Правильно построенные самостоятельные занятия по начертательной геометрии разрешат трудности в изучении этой дисциплины и научат студента представлять всевозможные сочетания геометрических форм в пространстве. Начертательная геометрия способствует развитию пространственного воображения, умению «читать» чертежи, с помощью чертежа передавать свои мысли и правильно понимать мысли другого, что крайне необходимо инженеру.

При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний:

1) Начертательную геометрию нужно изучать последовательно и систематически.

2) В начертательной геометрии следует избегать механического запоминания теорем, формулировок, решений задач. Такое запоминание непрочно. Студент должен разобраться в теоретическом материале и уметь применить его как общую схему к решению конкретных задач. Свои знания надо проверить ответами на вопросы включённых в это пособие контрольно-измерительных материалов и решением задач.

3) Каждую тему курса желательно прочитать дважды. При первом чтении изучается материал темы. При повторном чтении рекомендуется вести конспект, записывая в нём основные положения теории и порядок решения типовых задач.

4) В курсе начертательной геометрии решению задач должно быть уделено особое внимание. Решение задач является наилучшим средством более глубокого постижения положений теории. Прежде, чем приступить к решению задачи, надо понять её условие и чётко представить себе схему решения.

5) В начальной стадии изучения курса начертательной геометрии полезно прибегать к моделированию изучаемых геометрических форм и их сочетаний. Значительную помощь оказывают зарисовки воображаемых моделей, а также их простейшие макеты.

 

АВТОР-СОСТАВИТЕЛЬ:

Печенкина

Татьяна Владимировна

Старший преподаватель

 

СОАВТОРЫ:

Семено

Валерий Акимович

Доцент

 

 

Вильданова

Римма Гиниятовна

Старший преподаватель

 

 

Щеглова

Рима Азгаровна

доцент

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

По дисциплине

Начертательная геометрия является наукой о графических изображениях. Различные инженерные сооружения их отдельные конструкции, архитектурные… Изображения на чертежах выполняется по правилам начертательной геометрии, поэтому изучение ее имеет большое значение в…

Содержание дисциплины

1. Общие положения и геометрические модели в ортогональных проекциях

(72 часа)

- центральное, параллельное, ортогональное проецирование;

- образование двухкартинного и трехкартинного комплексного чертежа;

- конкурирующие точки;

- ортогональные проекции геометрических объектов и позиционные задачи;

- изображение прямой на комплексном чертеже;

- прямые частного положения;

- следы прямой;

- определение натуральной величины отрезка прямой;

- взаимное положение двух прямых;

- теорема о проецировании прямого угла;

- изображение плоскости на комплексном чертеже;

- главные линии плоскости;

- взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости;

- следы плоскости;

- плоскости частного положения;

- параллельность прямой линии и плоскости;

- параллельность плоскостей;

- перпендикулярность прямой и плоскости;

- пересечение прямой линии с плоскостью;

- пересечение двух плоскостей;

- кривые линии;

- проекционные свойства плоских кривых;

- ортогональная проекция окружности;

- образование, задание и изображение поверхностей;

- линейчатые поверхности;

- гранная поверхность;

- коническая и цилиндрическая поверхности;

- поверхности вращения;

- поверхности вращения второго порядка;

- пересечение поверхности с плоскостью;

- конические сечения;

- пересечение поверхностей;

- способ вспомогательных секущих плоскостей-посредников;

- способ вспомогательных секущих концентрических сфер-посредников;

- особые случаи пересечения поверхностей второго порядка.

- преобразования комплексного чертежа;

- способ замены плоскостей проекций;

- способ плоскопараллельного перемещения;

- способ вращения вокруг проецирующей оси;

- построение разверток;

- развертка поверхностей многогранников;

- развертка поверхности призмы;

- развертка поверхности пирамиды;

- развертка развертываемых кривых поверхностей;

- развертка цилиндрической поверхности;

- развертка конической поверхности;

 

2. Геометрические модели в параллельных аксонометрических проекциях (4 часа)

- прямоугольная аксонометрия;

- стандартные аксонометрические системы;

- аксонометрическая проекция окружности.

 

 

Учебным планом по дисциплине «Начертательная геометрия» предусмотрены обзорные лекции по следующим темам (8 часов):

1. Способы проецирования. Двухкартинный и трехкартинный комплексный чертеж точки. Комплексный чертеж прямой. Определение натуральной величины отрезка методом прямоугольного прямоугольника.

2. Прямые частного положения. Взаимное положение прямых. Комплексный чертеж плоскости. Плоскости частного положения. Способы преобразования комплексного чертежа.

3. Поверхности – образование, задание и изображение. Способы вспомогательных секущих плоскостей и концентрических сфер-посредников.

4. Аксонометрические и перспективные проекции. Тени в ортогональных, аксонометрических и перспективных проекциях.

 

Обзорные практические занятия (8 часов):

1. Построение проекций точек по их координатам. Решение следующих задач: нахождение точки пересечения прямой и плоскости, нахождение прямой пересечения плоскостей, нахождение натуральных величин геометрических тел способами преобразования.

2. Построение линий пересечения поверхностей методом вспомогательных секущих плоскостей и концентрических сфер-посредников.

3. Построение теней в ортогональных проекциях. Аксонометрия, тени в аксонометрии.

4. Построение перспективы, тени в перспективе.

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДИРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

 

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ

Инженерной графики

 

Электронное учебно-методическое пособие

по дисциплине «Инженерная графика»

для студентов специальностей

«Промышленное гражданское строительство» и

«Водоснабжение и водоотведение»

заочной формы обучения с применением

дистанционных образовательных технологий

(ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ)

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
1.1	Основные обозначения
1.2	Способы проецирования
1.2.1	Центральное проецирование
1.2.2	Параллельное проецирование
1.2.3	Ортогональное проецирование
1.2.4	Образование двух- и трёхкартинного комплексного чертежа
1.2.4.1	Конкурирующие точки
1.3	Ортогональные проекции геометрических объектов и позиционные задачи
1.3.1	Изображение прямой линии на комплексном чертеже
1.3.1.1	Прямые частного положения
1.3.1.2	Следы прямой линии
1.3.1.3	Определение натуральной величины отрезка прямой
1.3.1.4	Взаимное положение двух прямых
1.3.1.5	Теорема о проецировании прямого угла
1.3.2	Изображение плоскости на комплексном чертеже
1.3.2.1	Главные линии плоскости
1.3.2.2	Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
1.3.2.3	Следы плоскости
1.3.2.4	Плоскости частного положения
1.3.2.5	Параллельность прямой и плоскости
1.3.2.6	Параллельность плоскостей
1.3.2.7	Перпендикулярность прямой и плоскости
1.3.2.8	Пересечение прямой линии с плоскостью
1.3.2.9	Пересечение двух плоскостей
1.3.3	Кривые линии
1.3.3.1	Проекционные свойства плоских кривых
1.3.3.2	Ортогональная проекция окружности
1.3.4	Образование, задание и изображение поверхностей
1.3.4.1	Линейчатые поверхности
1.3.4.2	Коническая и цилиндрическая поверхности
1.3.4.3	Поверхности вращения
1.3.4.4	Поверхности второго порядка
1.3.4.5	Пересечение поверхности с плоскостью
1.3.4.6	Конические сечения
1.3.4.7	Пересечение поверхностей
1.3.4.7.1	Общий алгоритм решения задачи
1.3.4.7.2	Примеры пересечения поверхностей
1.3.4.7.3	Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
1.4	Преобразование комплексного чертежа
1.4.1	Способы замены плоскостей проекций
1.4.2	Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
1.4.3	Способ плоскопараллельного перемещения
1.4.4	Способ вращения
1.4.4.1	Способ вращения вокруг проецирующей оси
1.4.4.2	Основные задачи, решаемые способом вращения
1.5	Построение разверток
1.5.1	Развертка поверхностей многогранников
1.5.1.1	Развертка поверхности призмы
1.5.1.2	Развертка пирамиды
1.5.2	Развертка развертываемых кривых поверхностей
1.5.2.1	Развертка цилиндрической поверхности
1.5.2.2	Развертка конической поверхности
	Геометрические модели в параллельных аксонометрических проекциях
2.1	Аксонометрические проекции
2.2	Стандартные аксонометрические системы
2.3	Аксонометрическая проекция окружности

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Основные обозначения

- прямые или кривые линии в пространстве – строчными буквами латинского алфавита a, b, c, d… - плоскости и поверхности – прописными буквами греческого алфавита α,… - плоскости проекций при образовании комплексного чертежа – прописными буквами греческого алфавита с соответствующими…

Способы проецирования

При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические… Поэтому к чертежам предъявляется ряд требований, наиболее существен­ными из… 1 Чертёж должен быть наглядным, т.е. он должен давать пространственное представление изображаемого предмета.

Центральное проецирование

Рисунок 1.2.1 – Центральное проецирование Для проецирования точки А пространства на плоскость P' надо провести через эту… В том случае, если точка А совпадает с центром проекций S, становится неопределённой не только проецирующая прямая, но…

Параллельное проецирование

Задаём некоторую плоскость П′, являющуюся плоскостью проекций, и направление проецирования s, не параллельное плоскости проекций П′ в…     Рисунок 1.2.2 – Параллельное проецирование

Ортогональное проецирование

В ортогональной проекции очень просто устанавливать соотношение ме­жду длиной натурального отрезка и длиной его проекции. Пусть отрезок АВ образует с плоскостью проекций П' угол f (рисунок 1.2.5).… А'В'=А'В1× cos j=АВ× cos j

Конкурирующие точки

Для увеличения наглядности чертежа прибегают к некоторой условной видимости. Её можно определить с помощью конкурирующих точек. Будем считать, что…  

Ортогональные проекции геометрических объектов и позиционные

Задачи

Изображение прямой линии на комплексном чертеже

В начертательной геометрии различают прямые общего и частного положения. Прямые, наклонённые ко всем плоскостям проекций, называются прямыми общего…     Рисунок 1.3.1 – Положение прямой относительно… Прямые частного положения разделяются на проецирующие прямые(перпендикулярные плоскости проекций) и на прямые уровня…

Прямые частного положения

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонталью и обозначается на чертеже через h. Так как все точки горизонтали… Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П2, называется фронталью и… Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой и обозначается на чертеже через р.…

Следы прямой линии

Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой Н, с фронтальной плоскостью – фронтальным… Пусть прямая АВ общего положения пересекает плоскость П1 в точке Н и плоскость…

Фронтальный след.

Фронтальная проекция фронтального следа F2 строится на фронтальной проекции прямой при помощи вертикальной линии связи, проведенной из F1. Рассмотрим на примере принцип построения следов прямой АВ на комплексном… Для построения горизонтального следа прямой продолжим А2В2 до пересечения с осью х12. Точка пересечения будет…

Определение натуральной величины отрезка прямой

Как видно из рисунка 1.3.7, длину отрезка прямой АВ можно определить из прямоугольного треугольника АВ1В1, в котором: катет АВ1=А1В1 (проекция… от плоскости П1 (Δz=zА-zВ). Угол φ в этом же треугольнике определяет…  

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если прямые а и b пересекаются в некоторой точке K, то на основании свойства…  

Теорема о проецировании прямого угла

Доказательство (рисунок 1.3.11). По условию АВ^ВС и АВ//П1. На основании прямоугольного проецирования АВ^ВВ1, следовательно,… По условию АВ//А1В1, следовательно А1В1┴γ, т.е. и к прямой В1С1… Из теоремы следует, что если одна сторона прямого угла является прямой уровня, то прямой угол проецируется без…

Изображение плоскости на комплексном чертеже

- тремя точками, не лежащими на одной прямой; - прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; - двумя пересекающимися прямыми;

Главные линии плоскости

1) Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. На комплексном чертеже фронтальная проекция… Рисунок 1.3.13

Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости

Прямая А-2 является фронталью плоскости треугольника АВС (горизонтальная проекция этой прямой А121 параллельна воображаемой оси проекций х12). Точка… Очевидно, через каждую точку плоскости можно провести одну горизонталь и одну…  

Следы плоскости

Точка М, принадлежащая одновременно обеим плоскостям проекций, должна, очевидно, лежать на обоих следах плоскости W. Следовательно, следы плоскости… Нетрудно видеть, след на горизонтальной плоскости проекций П1 является не чем…  

Плоскости частного положения

Все точки плоскостей уровня одинаково удалены от соответствующих плоскостей проекций.     На рисунке 1.3.18 представлены примеры задания… Рисунок 1.3.18 – Плоскости уровня

Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Так, прямая l параллельна прямой b, расположенной в… l||Q (прямая l параллельна плоскости Q).     На комплексном чертеже это условие обеспечивается параллельностью соответствующих…

Параллельность плоскостей

    Рисунок 1.3.22 – Параллельность плоскостей  

Перпендикулярность прямой и плоскости

На заданной плоскости в качестве двух пересекающихся прямых удобно выбирать линии уровня – горизонталь или фронталь. В этом случае можно… Теорема. Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо и… Задача. Построить проекции перпендикуляра l, опущенного из точки D(D1,D2) на плоскость общего положения Σ(АВС)…

Пересечение прямой линии с плоскостью

Алгоритм решения задачи основывается на следующем способе: 1) через прямую линию проводят вспомогательную проецирующую… 2) находят линию пересечения вспомогательной плоскости с данной

Пересечение двух плоскостей

    Рисунок 1.3.25 – Пересечение двух плоскостей общего положения   Пример построения линии пересечения двух плоскостей способом секущих плоскостей посредников представлен на рисунке…

Кривые линии

Кривые линии могут быть образованы пересечением кривой поверхности плоскостью (в общем случае), взаимным пересечением двух поверхностей, из которых… Законом образования кривой линии называется совокупность условий, определяющих… Например, эллипс может быть образован движением точки в плоскости, при котором в каждый данный момент сумма расстояний…

Проекционные свойства плоских кривых

      Рисунок 1.3.27 – Проекционные свойства плоских кривых

Ортогональная проекция окружности

Рассмотрим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD, причём АВ проходит по прямой уровня плоскости S (по прямой h), т.е.… Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством…  

Образование, задание и изображение поверхностей

Начертательная геометрия пользуется преимущественно кинематическимспособом образования поверхностей. Это означает, что поверхность образуется непрерывным перемещением линии (образующей) в пространстве по определённому закону. Тогда и сама поверхность будет непрерывной. Образующая может или сохранять свою форму при изменении положения, или непрерывно изменять и форму, и положение в пространстве.

Принадлежность поверхности некоторому классу описывается такими элементами, которые однозначно определяют её форму и размеры.

Совокупность элементов поверхности (параметров), выделяющих данную поверхность из всего класса поверхностей, к которому она принадлежит, будем называть определителем поверхности.

Например, конус вращения полностью задаётся осью и образующей в соответствии с рисунком 1.3.31. Поэтому определительконической поверхности Q будет записан так: Q(i,l).

Задание оси i и образующей l конуса вращения позволяет построить этот конус. На нём можно провести любую другую прямолинейную образующую (l¹,l²,…) или окружность (q,m) поверхности, а также отметить произвольную её точку (М). Заметим, что этот способ задания конуса не является единственным.

Исходя из определителя поверхности конуса вращения, для задания конуса на чертеже достаточно задать проекции элементов определителя: i(l₁,i₂) и l(l₁,l₂) в соответствии с рисунком 1.3.32. Такой способ графического задания поверхности является метрически определёнными позволяет решать любые задачи на поверхности, а также её реконструировать.

 

Рисунок 1.3.31 – Конус вращения

 

Закон перемещения в пространстве кривой (образующей), описывающий поверхность, удобно задавать некоторыми неподвижными кривыми, по которым скользит движущаяся образующая. Эти кривые, называемые направляющими линиями, часто входят в состав определителя поверхности.

Таким образом, на любой кинематической поверхности можно выделить два семейства кривых линий: семейство образующих (l) и семейство направляющих (m), каждое из которых покрывает всю поверхность и состоит из каких-либо линий (плоских или пространственных) в соответствии с рисунком 1.3.33.

Если поменять местами образующие и направляющие, т.е. принять m за образующие, а l – за направляющие, то в результате получится та же поверхность W.

Из кривых l¹,l²… и m¹,m²…, принадлежащих к указанным двум семействам линий, может быть составлен каркаскинематической поверхности.

Если учесть непрерывность перемещения образующей, а, следовательно, и непрерывность самой поверхности, то можно сделать очень важный для теории кинематических поверхностей вывод о том, что через любую точку поверхности можно провести пару кривых, принадлежащих двум различным семействам линий на поверхности.

Простейшей и основной задачей, входящей в виде элемента в решение любой более сложной задачи, является построение проекций точки, принадлежащей поверхности.

 

 

Рисунок 1.3.32 – Задание конуса вращения элементами определителя

 

Рисунок 1.3.33 – Каркас поверхности

 

Общий метод заключается в том, что для построения второй проекции, например, М₂ точки М, лежащей на поверхности и заданной проекцией М₁, проводят через эту проекцию точки М линию l(l₁), принадлежащую одному из семейств линий на поверхности. Затем строят вторую проекцию l₂ этой линии и проводят через точку М₁ линию связи. Вторая проекция М₂ точки М будет лежать в пересечении проведённой линии связи с линией l₂. Выбор линии того или другого семейства основывается на графической простоте этой линии. На рисунке 1.3.32 использована прямолинейная образующая l¢.

Задание на чертеже кинематических поверхностей, определяемых несколькими точками или линиями, сводится к заданию проекций этих точек и линий. При этом надо иметь в виду некоторые условия, дополняющие чертёж.

Рассмотрим, например, образование поверхности цилиндра вращения. Определитель этой поверхности Q в соответствии с рисунком 1.3.34, а состоит из оси i(i₁,i₂) и образующей l(l₁,l₂): Q(i,l).

Цилиндр может быть образован также вращением кривой b, лежащей на его поверхности, или поступательным перемещением окружности m: m¹,m²,m³…(поверхность переноса). В этих случаях определитель должен быть обозначен: Q(i,b), Q(i,m).

Кинематическая поверхность может быть образована также движением образующей поверхности, а не линии, как это было до сих пор. При этом движущаяся поверхность образует множество поверхностей, называемое семейством.

Из дифференциальной геометрии известно, что поверхность, касающаяся в каждой своей точке некоторой поверхности данного семейства, называется огибающей данного семейства.

Так, цилиндр вращения может быть образован как огибающая однопараметрического семейства сфер (L¹, L², L³…) с центрами О¹, О², О³…, расположенными на прямой i – оси цилиндра (рисунок 1.3.34, б).

 

Рисунок 1.3.34 – Способы образования цилиндра вращения

 

Этот цилиндр будет касаться сфер по окружностям больших кругов (m¹,m²,m²…), называемых характеристиками. Определитель поверхности

Q(i, R_L), где R_L – радиус образующей сферы.

На практике из всех возможных способов образования поверхности и вида образующих линий выбирают наиболее простые и удобные для решения задач.

Одним из основных требований, предъявляемых к чертежам в начертательной геометрии, наряду с обратимостьючертежа является его наглядность. Графическое задание поверхности проекциями элементов её определителя обеспечивает обратимость чертежа, но не обеспечивает его наглядности. Поэтому для увеличения наглядности изображения поверхности во многих случаях указывают на чертеже наряду с проекциями определяющих поверхность точек и линий также и очертаниеповерхности на плоскостях проекций.

Предположим, что некоторая произвольная поверхность W проецируется на плоскость проекций П¢ в соответствии с рисунком 1.3.35. Тогда можно выделить те проецирующие лучи, которые будут касаться поверхности W и образовывать некоторую проецирующую цилиндрическую поверхность.

Линия l касания проецирующей поверхности и заданной называется контурной линией. Линия l¢ пересечения проецирующей поверхности с

плоскостью П¢ называется очертанием данной поверхности W.

Очертание поверхности получается, таким образом, как проекция контурной линии на данную плоскость проекций.

Очертание поверхности является границей видимостичастей поверхности на данной плоскости. Оно отделяет область расположения проекций точек поверхности от всех других точек плоскости проекций. Поэтому при изображении поверхности на комплексном чертеже проекцию контурной линии на других плоскостях будем называть линией видимости.

 

 

Рисунок 13.35 – Очертание поверхности

 

На рисунке 1.3.36 изображена в двух проекциях сфера, очертания которой на плоскостях проекций П₁ и П₂ есть окружности q₁ и m₂. На другие плоскости проекций эти окружности проецируются в виде линий видимости q₂ и m₁ соответственно.

Рисунок 1.3.36 – Очертания и линии видимости сферы

На практике в различных областях техники получили широкое распространение следующие классы кинематических поверхностей:

1) поверхности вращения, которые образуются вращением произвольной

образующей вокруг неподвижной оси, в частности, поверхности вращения

второго порядка;

2) поверхности второго порядка общего вида;

3) линейчатые поверхности, которые могут быть образованы движением

прямолинейной образующей;

4) винтовые поверхности, образуемые винтовым движением произвольной

образующей, и, в частности, линейчатые винтовые поверхности – геликоиды;

5) циклические поверхности, которые могут быть образованы движением

окружности постоянного или переменного диаметра.

Следует отметить, что отдельные поверхности могут быть отнесены не к одному, а к нескольким классам.

Линейчатые поверхности

Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая может быть образована движением прямой линии в пространстве. В зависимости от характера…     Если прямолинейная образующая при своём… Рисунок 1.3.37 – Линейчатые гранные поверхности

Поверхности вращения

Образующая может быть как плоской, так и пространственной кривой. В частном случае это может быть прямая линия. Для задания поверхности вращения… Поверхность симметрична относительно любой меридиональной плоскости, а все… Если поверхность вращения расположить так, чтобы её ось i была перпендикулярна к плоскости проекций П1, то все…

Поверхности вращения второго порядка

Рассматриваются следующие типы поверхностей второго порядка: а) сфера, которая образуется вращением окружности вокруг собственной оси в… б) параболоид вращения, образуемый вращением параболы вокруг собственной оси в соответствии с рисунком 1.3.42;

Пересечение поверхности с плоскостью

Для её построения используются вспомогательные плоскости-посредники частного положения, одновременно пересекающие данные поверхность и плоскость. … Построение линии b пересечения фронтально проецирующей плоскости Q с… Построение линии пересечения гранной поверхности с плоскостью выполнено в соответствии с рисунком 1.3.49.

Конические сечения

К этим линиям относятся следующие: эллипс,парабола,гипербола,окружность,две прямые.     Рассмотрим, при каких условиях получается то…  

Общий алгоритм решения задачи

Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок… Чтобы построить такие точки, надо данные поверхности пересечь одновременно… l = Г ∩ Ф,

Примеры пересечения поверхностей

 

Пример 1. Построить линию пересечения кругового конуса со сферой (рисунок 1.3.53).

Рисунок 1.3.53 – Пересечение конической и сферической поверхностей

 

Задача решается способом секущих плоскостей-посредников. Следует отметить, что у обеих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, которая проходит через ось симметрии конуса и центр симметрии сферы. Эта плоскость обозначена Ф(Ф₁). Она определяет опорные точки 1(1₂) – высшую и 2(2₂) – низшую. Горизонтальные проекции этих точек 1₁ и 2₁ расположены соответственно на линии Ф₁. К опорным следует отнести и точки А, В, определяющие видимость линии пересечения данных поверхностей на горизонтальной плоскости проекций П₁. Эти точки находятся в плоскости экватора Γ(Γ₂) сферической поверхности, которая пересекает конус по окружности радиуса R, а сферу по экватору. В пересечении горизонтальных проекций этих линий получаем точки А₁ и В₁. Фронтальные проекции А₂ и В₂ точек видимости А и В определяются соответственно на линии Γ₂.

Далее определяем нужное количество промежуточных (произвольных, случайных) точек, используя для этого вспомогательные горизонтальные плоскости-посредники, одна из которых Γ¢(Γ¢₂) показана на чертеже. С её помощью построены точки 3 и 4. Плоскость Γ¢(Γ¢₂) пересекает конус и сферу по соответствующим окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскость П₁. Их пересечение позволяет определить первоначально горизонтальные проекции 3₁, 4₁ точек 3 и 4, а затем по линии связи фронтальные проекции этих точек соответственно на линии Γ¢₂.

Построенные точки соединяют на обеих проекциях с учётом видимости плавной кривой с помощью лекала.

На фронтальной проекции половина кривой находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая её часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть кривой, на которой находятся точки 1, А, В, расположенные выше экватора сферы. Очерковая образующая фронтальной проекции конуса между точками 1 и 2 находится внутри сферы и изображена поэтому сплошной тонкой линией. Точно так же изображена часть линии очерка сферы, находящаяся внутри конуса. На горизонтальной проекции тонкой линией показана часть окружности экватора, находящаяся внутри конуса.

Пример 2. Построить линию пересечения двух конических поверхностей вращения (рисунок 1.3.56).

В данном случае в качестве вспомогательных поверхностей используются концентрические сферы. Но прежде чем рассмотреть решение этой задачи, остановимся на одном частном случае пересечения поверхностей вращения.

Пусть две такие поверхности имеют общую ось, т.е. являются соосными. В этом случае они будут пересекаться по окружностям, число которых равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.

Пусть одна поверхность образуется вращением меридиана m(m₂), а другая – вращением меридиана n(n₂) около общей оси i(i₂) (рисунок 1.3.54). При этом общие точки А(А₂), В(В₂), С(С₂) меридианов образуют окружности, общие для данных поверхностей, и число таких окружностей равно числу точек пересечения меридианов.

Рисунок 1.3.54 – Образование соосных поверхностей вращения

 

Рисунок 1.3.55 – Пересечение соосных поверхностей вращения

 

Предположим, что некоторая поверхность вращения пересекается со сферой, причём центр сферы находится на оси этой поверхности. При таком условии сфера будет соосной с поверхностью, и в пересечении получается окружность (рисунок 1.3.55).

Свойство сферы, имеющей центр на оси поверхности вращения, пересекать поверхность по окружностям является основой способа концентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется при следующих условиях:

1) пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

2) оси поверхностей пересекаются;

3) пересекающиеся оси образуют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

В рассматриваемом примере (рисунок 1.3.56) оси вращения данных конусов i, l пересекаются в точке О(О₁, О₂) и образуют общую плоскость симметрии Ф(Ф₁), параллельную фронтальной плоскости проекций П₂.

Вначале определяем опорные точки. Это наивысшая точка 1 и наинизшая точка 2, которые расположены в общей плоскости симметрии Ф(Ф₁) и получаются в пересечении главных меридианов данных конусов. Исходя из этого отмечаем фронтальные проекции 1₂ и 2₂ точек 1 и 2. Горизонтальные проекции 1₁ и 2₁ этих точек отмечаем на линии l₁ ≡ Ф₁. К опорным отнесём и точки, полученные при помощи вспомогательной секущей сферы наименьшего радиуса, проведённой из точки О₂. Для определения этого радиуса нужно из точки О₂ провести две нормали к очерковым линиям поверхностей и выбрать большую из них. Если в качестве радиуса вспомогательной сферы взять меньшую нормаль, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечётся. В данном примере с помощью сферы наименьшего радиуса построены точки А и А^¢. Эта сфера (на чертеже она изображается окружностью) касается конуса с осью вращения i, а конус с осью вращения l пересекает. И касание, и пересечение осуществляются по окружностям, которые на фронтальной проекции изображаются отрезками. В их пересечении получаются точки А₂ ≡ А^¢₂.

Рисунок 1.3.56 – Способ концентрических сфер

 

Горизонтальные проекции А₁, А^'₁ точек А и А^' построены при помощи окружности-параллели конуса с осью i, по которой вспомогательная сфера наименьшего радиуса касается этого конуса. Точки 3 и 4 видимости линии пересечения данных поверхностей на плоскости П₁ также относятся к опорным точкам. Они определяются при помощи плоскости Γ(Γ₂), проведённой через ось вращения l второго конуса. Эта плоскость пересекает конус с осью i по окружности m(m₂, m₁), а второй конус – по образующим q и q₁, которые совпадают с его осью. Горизонтальные проекции 3₁, 4₁ точек видимости 3 и 4 получаются в пересечении окружности m₁ с линиями q₁ и q^'₁.

Фронтальные проекции 3₂ ≡ 4₂ этих точек определяются на линии l₂ ≡ Γ₂. На плоскости П₁ видимыми являются точки, расположенные на линии пересечения выше плоскости Γ(Γ₂). Это точки 1, А, А^', 3 и 4. Промежуточные точки линии пересечения определены с помощью сфер, проведённых из центра О₂, радиусы которых больше радиуса R_min – радиуса наименьшей сферы, но меньше радиуса наибольшей сферы, которая может быть проведена через наиболее удалённую точку 2₂ линии пересечения.

Ввиду того, что точка 2 определяется с помощью общей плоскости симметрии Ф(Ф₁), нет необходимости использовать сферу наибольшего радиуса. Определение промежуточных точек линии пересечения можно видеть на примере построения точек 5 и 6. Фронтальные проекции 5₂, 6₂ этих точек получены в пересечении линий a₂ и b₂, которыми изображаются фронтальные проекции соответствующих окружностей a и b как принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере-посреднику, соосной с данными поверхностями. Горизонтальные проекции 5₁, 6₁ точек 5 и 6 построены при помощи окружности-параллели а конуса с осью i.

Вспомогательные сферы-посредники могут быть и эксцентрическими, т.е. имеющими различные центры. Они применяются при следующих условиях:

1) из двух пересекающихся поверхностей одна является поверхностью вращения, а другая имеет семейство круговых сечений;

2) оси поверхностей в общем случае не пересекаются;

3) поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

 

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка

Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии… Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской… Рассмотрим пример (рисунок 1.3.57). Круговой конус и цилиндр второго порядка имеют общее круговое основание m(m1, m2).…

Преобразование комплексного чертежа

Задание на чертеже прямых и плоскостей частного положения значительно упрощает решение задач и делает его выполнимым при помощи простых замеров или… Чертёж можно преобразовать, изменяя относительное расположение… 1) заменой данной системы плоскостей проекций новой системой так, чтобы неподвижный в пространстве объект оказался в…

Способ замены плоскостей проекций

Замена плоскостей проекций осуществляется последовательно. Рассмотрим замену одной плоскости проекций. Пусть дана одна пара плоскостей…  

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Задача 1. Сделать прямую l(l1,l2) общего положения прямой уровня в новой системе плоскостей проекций.     Зададим на чертеже прямую l общего положения…  

Способ плоскопараллельного перемещения

При плоскопараллельном перемещении относительно горизонтальной плоскости проекций П1 все точки объекта перемещаются в горизонтальных плоскостях… При плоскопараллельном перемещении относительно фронтальной плоскости проекций…

Способ вращения

Действительно, если в способе плоско-параллельного перемещения точка фигуры описывала некоторую плоскую кривую, параллельную плоскости проекции, то…  

Способ вращения вокруг проецирующей оси

Если ось вращения расположить перпендикулярно к плоскости проекций, то траектория вращения точки на эту плоскость проецируется окружностью, а угол… На рисунке 1.4.13 данная точка А повернута вокруг горизонтально проецирующей… 1) Через точку А проведена плоскость вращения Ρ┴i;

Основные задачи, решаемые способом вращения

Рассмотрим решение задачи, вращая прямую АВ вокруг горизонтально-проецирующей прямой i1. Чтобы прямая АВ преобразовалась во фронтальную прямую… Рисунок 1.4.14 – Решение первой основной задачи способом вращения

Построение разверток

Основные свойства разверток: - прямая на поверхности переходит в прямую на развертке; - параллельные прямые на поверхности переходят в параллельные прямые на развертке;

Развертка поверхностей многогранников

При построении разверток многогранников определяют натуральную величину всех его граней (плоских многоугольников). При этом используют различные способы преобразования чертежа. Выбор тех или иных способов зависит от вида многогранника и его расположения относительно плоскостей проекций.

 

Развертка поверхности призмы

Существует два способа развертки призмы: способ «нормального сечения» и способ «раскатки». Способ «нормального сечения» используют для развертки поверхности призм общего… Пример выполнения развертки трехгранной призмы общего положения способом «нормального сечения» рассмотрим в задаче…

Развертка поверхности пирамиды

Развертка пирамиды осуществляется в следующем порядке: 1) Определяют истинную величину боковых ребер пирамиды любым из известных… 2) Для построения развертки боковых граней пирамиды строят натуральную величину одной из них, ограниченную…

Развертка развертываемых кривых поверхностей

Развертка цилиндрической поверхности

Если эта поверхность – прямой круговой цилиндр, то данную задачу целесообразней решить способом «нормального сечения» На рисунке 1.5.8 изображен усеченный прямой круговой цилиндр. Так как нижнее… Для построения точки C0 развертки откладывается отрезок B0D0 равный длине отрезка B1D1. Остальные точки развертки…

Развертка конической поверхности

В данном примере выполнено построение развертки наклонного эллиптического конуса, заданного круговым основанием, лежащим в горизонтальной плоскости,… Рисунок 1.5.10 – Развертка боковой поверхности

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ

Аксонометрические проекции

Аксонометрический чертёж состоит только из одной параллельной проекции данного объекта, дополненной проекцией пространственной системы координат, к… Выберем в пространстве некоторую прямоугольную систему осей координат Оxyz… Измерив, расстояние точки до координатных плоскостей единичным отрезком е, получим три натуральные координаты точки,…

Стандартные аксонометрические системы

Ортогональная изометрия. В изометрии показатели искажения по всем трём осям одинаковы, т.е. p=q=r. Аксонометрические оси в ортогональной изометрии… В ортогональной изометрии 3р2=2 или p=q=r=0,82. На практике для удобства…  

Аксонометрическая проекция окружности

В ортогональной приведенной изометрии малые оси эллипсов параллельны аксонометрическим осям, перпендикулярным тем плоскостям проекций, в которых…     В ортогональной приведённой диметрии большая… Рисунок 2.3.1 – Ортогональная приведённая изометрия окружности