Ортогональная проекция окружности - раздел Науковедение, При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний Как Известно, Параллельной Проекцией Окружности Является Кривая, Называемая Э...
Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то очевидно, что ортогональной проекцией окружности будет тоже эллипс. Так, проецируя окружность, расположенную в плоскости S с центром в точке D, ортогонально на плоскость П¢, получим эллипс с центром в точке D¢ в соответствии с рисунком 1.3.28.
Рассмотрим в окружности два взаимно перпендикулярных диаметра AB и CD, причём АВ проходит по прямой уровня плоскости S (по прямой h), т.е. АВ||П¢. Следовательно, А¢В¢=АВ=d, где d – диаметр окружности. Диаметр CD как перпендикулярный к АВ, являющийся линией уровня плоскости S, называется также линией наибольшего наклонаданной плоскости к плоскости проекций П¢. Такое название объясняется тем, что среди различных прямых плоскости S линия наибольшего наклона CD, перпендикулярная к линии уровня АВ, образует наибольший угол с плоскостью проекций П¢. Угол j, образованный диаметром окружности CD и диаметром эллипса C¢D¢ как проекцией CD, является линейным углом двугранного угла наклона плоскости S к плоскости П¢. Тогда C¢D¢=CD·cosj, но CD=АВ=d, следовательно C¢D¢=d·cosj.
Как известно, взаимно перпендикулярные диаметры окружности обладают свойством сопряжённости (каждый сопряжённый диаметр делит пополам хорды, параллельные другому диаметру), это свойство при параллельном проецировании сохраняется, следовательно, диаметры А¢В¢ и C¢D¢ будут сопряжёнными диаметрами эллипса.
Но с другой стороны, эти диаметры взаимно перпендикулярны, так как являются проекциями взаимно перпендикулярных диаметров, один из которых параллелен плоскости проекций, поэтому они являются осями эллипса, причём А¢В¢ – большая ось, C¢D¢ – малая ось.
Если провести какую-нибудь прямую n, перпендикулярную к плоскости S в соответствии с рисунком 1.3.29, то такая прямая будет перпендикулярна ко всякой прямой плоскости S, в частности, будет перпендикулярна к диаметру АВ||П¢. Поэтому её ортогональная проекция n¢ на плоскость П¢ окажется прямой, перпендикулярной к проекции А¢В¢ диаметра АВ. Иначе говоря, проекция прямой, перпендикулярной к плоскости S, параллельна малой оси эллипса.
Таким образом, большая ось эллипса, являющегося ортогональной проекцией окружности, плоскость S которой составляет угол j с плоскостью проекций, параллельна проекции линии уровня плоскости Sи равна диаметру окружности, а малая ось параллельна проекции перпендикуляра к плоскости S и равна d·cosj.
Рассмотрим соотношение осей полученного эллипса:
Для данных плоскостей S и П¢ угол j и cosj – величины постоянные. Вследствие этого cosj может служить характеристикой отношения осей эллипса, которое, в свою очередь, характеризует форму эллипса.
Итак, как бы ни была расположена окружность в плоскости S, на плоскости проекций всегда будет получаться эллипс одной и той же формы. Следует отметить, что при данном угле j не только форма эллипса будет постоянной, но и расположение осей также не будет зависеть от размеров и положения окружности в плоскости S.
Если угол j увеличивать, то эллипс, имея постоянной большую ось, будет становиться всё уже. В пределе, когда угол j станет равным 90°, а cosj=0, т.е. плоскость S перпендикулярна плоскости П¢, окружность будет проецироваться в отрезок.
Если cosj=1, то плоскость S параллельна плоскости проекций и эллипс-проекция принимает форму окружности.
Рассмотрим построение окружности, расположенной в проецирующей плоскости в соответствии с рисунком 1.3.30, а.
Пусть окружность с центром в точке О и радиусом R лежит во фронтально проецирующей плоскости S(S2). Выберем два взаимно перпендикулярных диаметра окружности АВ и CD, из которых АВ||П2, а CD||П1. Таким образом, диаметр CD совпадает с горизонталью плоскости S, а АВ – с линией наибольшего наклона к плоскости П1.
Рисунок 1.3.30 - Окружность в проецирующей плоскости
Тогда проекциями диаметра АВ будут служить отрезки А1В1 и А2В2=АВ=2R, диаметр CD спроецируется на П2 в точку С2ºD2=0, а на плоскость П1 в отрезок С1D1=CD=2R.
Таким образом в данном случае фронтальной проекцией окружности является отрезок прямой длиной 2R, горизонтальной проекцией – эллипс,
большой осью которого служит отрезок С1D1, малой осью – отрезок А1В1. Заметим, что малая ось А1В1 эллипса совпадает с проекцией n1 перпендикуляра n к плоскости S. Промежуточные точки эллипса можно построить при помощи двух концентрических окружностей, проведённых на осях С1D1 и А1В1 как на диаметрах.
Аналогично строят проекции окружности, расположенной в горизонтально проецирующей плоскости Q(Q1), в соответствии с рисунком 1.3.30, б.
Начертательная геометрия изучаемая студентами заочной формы обучения в первом семестре является первой частью дисциплины Инженерная графика и е... Данное учебно методическое пособие посвящено именно этой части дисциплины... При изучении курса необходимо ознакомиться с программой приобрести учебную литературу и тщательно продумать...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Ортогональная проекция окружности
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
По дисциплине
«Инженерная графика»
Начертательная геометрия является наукой о графических изображениях.
Различные инженерные сооружения их отдельные конструкции, архитектурные
Основные обозначения
- Точки в пространстве обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D… или арабскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5 …
- прямые или кривые линии в пространстве – с
Способы проецирования
При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические закономерности. Разработкой способов по
Параллельное проецирование
Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость.
Ортогональное проецирование
Параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным), если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости проекций П′ (s^П’).
В о
Конкурирующие точки
Точки, расположенные в пространстве на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Они проецируются на соответствующую плоскость проекций в одну точку в соответствии с ри
Изображение прямой линии на комплексном чертеже
Проекцией прямой линии как совокупности проекций всех её точек является прямая линия. Следовательно, пространственная прямая определяется на двухкартинном комплексном чертеже парой своих проекций.
Прямые частного положения
Как уже отмечалось, к прямым частного положения относятся прямые уровня, т.е. параллельные плоскости проекций (в соответствии с рисунком 1.3.1 это прямые h, f, p), и проецирующ
Следы прямой линии
Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой.
Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным сл
Фронтальный след.
Горизонтальной проекцией фронтального следа F1 является точка пересечения горизонтальной проекции прямой с осью х12.
Фронтальная проекция фронтального с
Определение натуральной величины отрезка прямой
Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскостям проекций производится способом прямоугольного треугольника.
Как видно из р
Взаимное положение двух прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
Если прямые а и b пересекаются в некоторой точке K, то на основании
Теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.
Доказательство (рисунок
Изображение плоскости на комплексном чертеже
Плоскость можно задать:
- тремя точками, не лежащими на одной прямой;
- прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
- двумя пересекающимися прямыми;
- двумя пара
Главные линии плоскости
К прямым, занимающим особое положение в данной плоскости, относят:
1) Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. На комплек
Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
Если точка принадлежит плоскости в пространстве, то проекции этой точки принадлежат соответствующим проекциям какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости (в соответствии с рисунком 1.3.16 прямая
Следы плоскости
Следом плоскости называется прямая её пересечения с плоскостью проекций. На рисунке 1.3.17 плоскость W задана следами l и m: l=W ∩П2 и
Плоскости частного положения
Выше было отмечено, что к плоскостям частного положения относятся плоскости уровня (параллельные плоскости проекций) и плоскости проецирующие (перпендикулярные плоскости проекций). В первом случае
Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Так, прямая l параллельна прямой b, расположенной в плоскости Q
Параллельность плоскостей
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, пересекающиеся прямые с и d плоскост
Перпендикулярность прямой и плоскости
Из элементарной геометрии известно, что прямая f2, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
На заданной плоскости в каче
Пересечение прямой линии с плоскостью
Это есть позиционная задача, т.к. в ней определяется общий элемент данных геометрических объектов, т.е. их точка пересечения, что соответствует рисунку 1.3.24.
Алгоритм решения задачи осно
Пересечение двух плоскостей
В этой позиционной задаче общим элементом данных геометрических объектов является прямая линия. Её можно построить двумя способами: с помощью плоскостей-посредников частного положения, одновременно
Кривые линии
Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности.
Кривые линии мо
Проекционные свойства плоских кривых
Допустим, что данная кривая l лежит в некоторой плоскости W. Спроецируем кривую l на плоскость проекций П¢ по направлению s в соответствии с рисунком 1.2.27.
Линейчатые поверхности
Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая может быть образована движением прямой линии в пространстве. В зависимости от характера движения образующей
Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо образующей при её вращении вокруг неподвижной оси.
Образующая может быть как плоской, так и пр
Поверхности вращения второго порядка
При вращении кривой второго порядка вокруг её оси образуется поверхность вращения второго порядка.
Рассматриваются следующие типы поверхностей второго порядка:
Пересечение поверхности с плоскостью
Это есть позиционная задача на определение для данных геометрических объектов их общего элемента, которым является кривая линия.
Для её построения используются вспомогательные плоскости-по
Конические сечения
Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями.
К этим линиям относятся следующие: элл
Общий алгоритм решения задачи
Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок 1.3.52).
Чт
Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков п
Преобразование комплексного чертежа
Решение многих пространственных задач (позиционных и метрических) на комплексном чертеже часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоск
Способ замены плоскостей проекций
Отличительная особенность способа замены плоскостей проекций состоит в переходе от данной системы плоскостей, в которой заданы проекции объекта, к новой системе двух взаимно перпендикулярных плоско
Способ плоскопараллельного перемещения
Плоско-параллельным перемещением называется такое движение объекта, при котором все его точки перемещаются в плоскостях , параллельных между собой.
При плоскопараллельном перемещении относ
Способ вращения
Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения.
Действительно, если в способе плоско-параллельного перемещения точка фигуры описывала некоторую плоскую кривую
Способ вращения вокруг проецирующей оси
При решении задач способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг некоторой оси.
Если ось вращения расположить перпендикулярно к плоскости п
Основные задачи, решаемые способом вращения
Задача№1. Преобразовать прямую общего положения во фронтальную прямую уровня (рисунок 1.4.14).
Рассмотрим решение задачи, вращая прямую АВ вокруг горизонтально-проецирующей прямой
Построение разверток
Разверткой поверхности называется плоская фигура, образованная последовательным совмещением поверхности с плоскостью без разрывов и складок. При развертывании поверхность рассматри
Развертка поверхности призмы
Существует два способа развертки призмы: способ «нормального сечения» и способ «раскатки».
Способ «нормального сечения» используют для развертки поверхност
Развертка поверхности пирамиды
Боковые грани пирамиды – треугольники, каждый из которых может быть построен по трем сторонам. Поэтому для получения развертки пирамиды достаточно определить натуральные величины ее боковых ребер и
Развертка цилиндрической поверхности
Цилиндрические поверхности развертываются теми же способами, что и призматические. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму, а затем определяют развертк
Развертка конической поверхности
Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды в следующем порядке. Сначала в заданный конус вписывают n-угольную пирамиду (число n от мас
Аксонометрические проекции
Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта.
Аксонометрический чертёж состоит только из
Стандартные аксонометрические системы
Из частных видов аксонометрических проекций, предусмотренных государственным стандартом, чаще всего используют ортогональную изометрию, и ортогональную диметрию.
Аксонометрическая проекция окружности
Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, про
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов