Аксонометрические проекции - раздел Науковедение, При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний Способ Получения Однопроекционного Обратимого Чертежа Называется Аксо...
Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта.
Аксонометрический чертёж состоит только из одной параллельной проекции данного объекта, дополненной проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесён изображаемый объект.
Выберем в пространстве некоторую прямоугольную систему осей координат Оxyz (натуральную систему) и точку А, жёстко связанную с этой системой. Отложим на каждой из осей координат отрезок е, который назовём натуральным масштабом, и обозначим полученные отрезки соответственно через ех, еy, еz в соответствии с рисунком 2.1
Измерив, расстояние точки до координатных плоскостей единичным отрезком е, получим три натуральные координаты точки, которые определяют её положение относительно данной системы координат.
Спроецируем параллельно по заданному направлению s точку А вместе с системой отнесения на некоторую плоскость П¢, которая называется аксонометрической (картинной) плоскостью проекций. Тогда О¢ x¢ y¢ z¢ – аксонометрическая система координат; проекции единичных отрезков на оси O¢x¢, O¢y¢, O¢z¢, обозначенные через е¢х, е¢y, e¢z – аксонометрические масштабы; А¢ – аксонометрическая проекция точки А; А1 – аксонометрическая проекция проекции точки А на координатную плоскость хОу, она называется вторичной проекцией.
В зависимости от направления проецирования получают параллельную косоугольнуюили прямоугольнуюаксонометрию.
Положение точки А относительно системы координат Охуz определяется её натуральной координатной ломаной ОАхА1А. Зная натуральные единичные отрезки, определим натуральные координаты точки А:
При параллельном проецировании величины отношений отрезков прямой сохраняются, отсюда основное свойство аксонометрических проекций:
аксонометрические координаты точки, измеренные аксонометрическими масштабами, численно всегда равны координатам точки
Рисунок 2.1 – Аксонометрический чертёж
Аксонометрические проекции принято подразделять на триметрические, когда все три аксонометрических масштаба различны, диметрические, когда равны два из них, и изометрические, когда все три масштаба одинаковы.
Для большего удобства построений в аксонометрии вводится понятие показателей искажения.Показателем искажения называют отношение аксонометрического масштаба к соответствующему натуральному.
Обозначив через
p показатель искажения по оси
х, через
q – показатель искажения по оси
y и через
r – показатель искажения по оси
z, можно написать:
Триметрические проекции: p¹r¹q, диметрические проекции: p=r¹q, изометрические проекции: p=r=q.
Показатели искажения в косоугольной аксонометрии связаны следующей зависимостью:
p2+q2+r2=2+ctg2j,
где j - угол наклона направления проецирования к плоскости проекций П¢.
Так как обычно мы рассматриваем предметы, расположенные прямо перед глазом, то прямоугольная (ортогональная) аксонометрия в большей степени, чем косоугольная, удовлетворяет условию наглядности изображения. В прямоугольной аксонометрии угол j=90º, ctgj=0, тогда зависимость показателей искажения следующая:
p2+q2+r2=2.
Все темы данного раздела:
По дисциплине
«Инженерная графика»
Начертательная геометрия является наукой о графических изображениях.
Различные инженерные сооружения их отдельные конструкции, архитектурные
Основные обозначения
- Точки в пространстве обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D… или арабскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5 …
- прямые или кривые линии в пространстве – с
Способы проецирования
При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические закономерности. Разработкой способов по
Центральное проецирование
Пусть
Параллельное проецирование
Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость.
Ортогональное проецирование
Параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным), если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости проекций П′ (s^П’).
В о
Конкурирующие точки
Точки, расположенные в пространстве на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Они проецируются на соответствующую плоскость проекций в одну точку в соответствии с ри
Изображение прямой линии на комплексном чертеже
Проекцией прямой линии как совокупности проекций всех её точек является прямая линия. Следовательно, пространственная прямая определяется на двухкартинном комплексном чертеже парой своих проекций.
Прямые частного положения
Как уже отмечалось, к прямым частного положения относятся прямые уровня, т.е. параллельные плоскости проекций (в соответствии с рисунком 1.3.1 это прямые h, f, p), и проецирующ
Следы прямой линии
Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой.
Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным сл
Фронтальный след.
Горизонтальной проекцией фронтального следа F1 является точка пересечения горизонтальной проекции прямой с осью х12.
Фронтальная проекция фронтального с
Определение натуральной величины отрезка прямой
Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскостям проекций производится способом прямоугольного треугольника.
Как видно из р
Взаимное положение двух прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться.
Если прямые а и b пересекаются в некоторой точке K, то на основании
Теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.
Доказательство (рисунок
Изображение плоскости на комплексном чертеже
Плоскость можно задать:
- тремя точками, не лежащими на одной прямой;
- прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
- двумя пересекающимися прямыми;
- двумя пара
Главные линии плоскости
К прямым, занимающим особое положение в данной плоскости, относят:
1) Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. На комплек
Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
Если точка принадлежит плоскости в пространстве, то проекции этой точки принадлежат соответствующим проекциям какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости (в соответствии с рисунком 1.3.16 прямая
Следы плоскости
Следом плоскости называется прямая её пересечения с плоскостью проекций. На рисунке 1.3.17 плоскость W задана следами l и m: l=W ∩П2 и
Плоскости частного положения
Выше было отмечено, что к плоскостям частного положения относятся плоскости уровня (параллельные плоскости проекций) и плоскости проецирующие (перпендикулярные плоскости проекций). В первом случае
Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Так, прямая l параллельна прямой b, расположенной в плоскости Q
Параллельность плоскостей
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, пересекающиеся прямые с и d плоскост
Перпендикулярность прямой и плоскости
Из элементарной геометрии известно, что прямая f2, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости.
На заданной плоскости в каче
Пересечение прямой линии с плоскостью
Это есть позиционная задача, т.к. в ней определяется общий элемент данных геометрических объектов, т.е. их точка пересечения, что соответствует рисунку 1.3.24.
Алгоритм решения задачи осно
Пересечение двух плоскостей
В этой позиционной задаче общим элементом данных геометрических объектов является прямая линия. Её можно построить двумя способами: с помощью плоскостей-посредников частного положения, одновременно
Кривые линии
Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности.
Кривые линии мо
Проекционные свойства плоских кривых
Допустим, что данная кривая l лежит в некоторой плоскости W. Спроецируем кривую l на плоскость проекций П¢ по направлению s в соответствии с рисунком 1.2.27.
Ортогональная проекция окружности
Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то очевидно, что ортогональной
Линейчатые поверхности
Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая может быть образована движением прямой линии в пространстве. В зависимости от характера движения образующей
Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо образующей при её вращении вокруг неподвижной оси.
Образующая может быть как плоской, так и пр
Поверхности вращения второго порядка
При вращении кривой второго порядка вокруг её оси образуется поверхность вращения второго порядка.
Рассматриваются следующие типы поверхностей второго порядка:
Пересечение поверхности с плоскостью
Это есть позиционная задача на определение для данных геометрических объектов их общего элемента, которым является кривая линия.
Для её построения используются вспомогательные плоскости-по
Конические сечения
Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями.
К этим линиям относятся следующие: элл
Общий алгоритм решения задачи
Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок 1.3.52).
Чт
Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков п
Преобразование комплексного чертежа
Решение многих пространственных задач (позиционных и метрических) на комплексном чертеже часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоск
Способ замены плоскостей проекций
Отличительная особенность способа замены плоскостей проекций состоит в переходе от данной системы плоскостей, в которой заданы проекции объекта, к новой системе двух взаимно перпендикулярных плоско
Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
Применение способа замены плоскостей проекций для решения различных задач (позиционных и метрических) основывается на четырёх основных задач.
Задача 1. Сделать прямую l(l1
Способ плоскопараллельного перемещения
Плоско-параллельным перемещением называется такое движение объекта, при котором все его точки перемещаются в плоскостях , параллельных между собой.
При плоскопараллельном перемещении относ
Способ вращения
Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения.
Действительно, если в способе плоско-параллельного перемещения точка фигуры описывала некоторую плоскую кривую
Способ вращения вокруг проецирующей оси
При решении задач способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг некоторой оси.
Если ось вращения расположить перпендикулярно к плоскости п
Основные задачи, решаемые способом вращения
Задача№1. Преобразовать прямую общего положения во фронтальную прямую уровня (рисунок 1.4.14).
Рассмотрим решение задачи, вращая прямую АВ вокруг горизонтально-проецирующей прямой
Построение разверток
Разверткой поверхности называется плоская фигура, образованная последовательным совмещением поверхности с плоскостью без разрывов и складок. При развертывании поверхность рассматри
Развертка поверхности призмы
Существует два способа развертки призмы: способ «нормального сечения» и способ «раскатки».
Способ «нормального сечения» используют для развертки поверхност
Развертка поверхности пирамиды
Боковые грани пирамиды – треугольники, каждый из которых может быть построен по трем сторонам. Поэтому для получения развертки пирамиды достаточно определить натуральные величины ее боковых ребер и
Развертка цилиндрической поверхности
Цилиндрические поверхности развертываются теми же способами, что и призматические. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму, а затем определяют развертк
Развертка конической поверхности
Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды в следующем порядке. Сначала в заданный конус вписывают n-угольную пирамиду (число n от мас
Стандартные аксонометрические системы
Из частных видов аксонометрических проекций, предусмотренных государственным стандартом, чаще всего используют ортогональную изометрию, и ортогональную диметрию.
Аксонометрическая проекция окружности
Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, про
Новости и инфо для студентов