рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Науковедение
/
Ортогональное проецирование

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Ортогональное проецирование

Ортогональное проецирование - раздел Науковедение, При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний Параллельное Проецирование Называется Ортогональным (Прямоугольным), Если Нап...

Параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным), если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости проекций П′ (s^П’).

В ортогональной проекции очень просто устанавливать соотношение между длиной натурального отрезка и длиной его проекции.

Пусть отрезок АВ образует с плоскостью проекций П' угол f (рисунок 1.2.5). Проведём A^′ В₁параллельно АВ. Тогда

А'В'=А'В₁× cos j=АВ× cos j

Большое распространение ортогональные проекции получили в технических чертежах, т.к. позволяют особенно легко судить о размерах изображаемых предметов.

Рисунок 1.2.5 – Ортогональное проецирование

1.2.4 Образование двух- и трёхкартинного комплексного чертежа

Наиболее употребительным в практике является метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях. Комплексным чертежом называется чертёж, состоящий из нескольких связанных между собой проекций изображаемой фигуры. Метод комплексного чертежа в ортогональных проекциях называется такжеметодом Монжа.

Этот метод прост в построении и даёт большую точность при графическом решении задач. Он обеспечивает точное определение изображённой фигуры по чертежу. Недостатком метода является малая наглядность изображений.

Комплексный чертёж из двух проекций называется также двухкартинным чертежом.

Рассмотрим неподвижную систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей П₁ и П₂ в соответствии с рисунком 1.2.6. Плоскость П₁, расположенная горизонтально, называется горизонтальной плоскостью проекций. Плоскость П₂, перпендикулярная к П₁, занимает вертикальное положение и расположена перед наблюдателем. Эту плоскость называют фронтальной плоскостью проекций. На обе эти плоскости будем проецировать ортогонально точки пространства.

Предположим, что в пространстве имеется некоторая точка А. Ортогональную проекцию А₁ точки А на плоскость П₁ будем называть горизонтальной проекцией точки А, а ортогональную проекцию А₂ точки А на плоскость П₂ -фронтальной проекцией точки А. Прямые АА₁ и АА₂, при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций (AА₁^П₁, AА₂^П₂), называются проецирующими прямыми (AА₁ – горизонтально проецирующая прямая, АА₂ – фронтально проецирующая прямая). Прямая пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Её обозначают буквой x.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей плоскостью (плоскость, перпендикулярная к плоскости П₁, называется горизонтально проецирующей плоскостью, а плоскость, перпендикулярная к плоскости П₂, – фронтально проецирующей плоскостью).

Плоскость АА₁А₂ проходит через прямую АА₁, перпендикулярную к плоскости П₁, в силу чего она перпендикулярна к плоскости П₁. Аналогично плоскость АА₁А₂ перпендикулярна плоскости П₂. Следовательно, дважды проецирующая плоскость АА₁А₂ перпендикулярна к оси проекций X.

Точку пересечения плоскости АА₁А₂ с осью проекций х как точку, принадлежащую одновременно обеим плоскостям П₁ и П₂, обозначим А₁₂. Прямые A₁₂А₁ и А₁₂А₂, лежащие в плоскости АА₁А₂, перпендикулярной к оси проекций х, перпендикулярны к этой оси. Обратно, пусть А₁₂ - произвольная точка оси проекций х. Восставим из точки А₁₂ к оси два перпендикуляра: один в плоскости П₁, другой в плоскости П₂.

Рисунок 1.2.6 – Ортогональное проецирование точки

Тогда каждая пара точек А₁ и А₂, лежащих на этих перпендикулярах, определит в пространстве единственную точку А. Действительно, две пересекающиеся прямые А₁₂А₁ и А₁₂А₂ определяют плоскость А₁А₁₂А₂, перпендикулярную к оси проекций х (так как А₁₂А₁^х и А₁₂А₂^х). Но плоскость, перпендикулярная к линии х пересечения двух плоскостей П1 и П₂, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей, т.е. плоскость А₁А₁₂А₂ является проецирующей по отношению к обеим плоскостям проекций. Следовательно, перпендикуляры, восставленные в точках А₁ и А₂ соответственно к плоскостям П₁ и П₂, лежат в одной плоскости (в плоскости А₁А₁₂А₂). Точка А их пересечения и является искомой точкой пространства, определяемой данной парой точек Итак, каждой точке А соответствует пара её проекций А₁ и А₂, лежащих вместе с данной точкой А в одной плоскости, перпендикулярной к обеим плоскостям проекций П₁ и П₂, а следовательно, и к линии х их пересечения; обратно, любые две точки А₁ÎП₁ и А₂ÎП₂, лежащие в одной плоскости, перпендикулярной к оси х, определяют в пространстве единственную точку А.

Расстояние А₁А точки А от горизонтальной плоскости проекций называется высотойточки А, а её расстояние А₂А от фронтальной плоскости проекций – глубиной точки А.

Для получения плоского чертежа совмещаем плоскость проекций П₁ с плоскостью П₂ путем вращения плоскости П₁ вокруг оси X в направлении, указанном на рисунке 1.2.6 стрелками, так, чтобы передняя полуплоскость П₁ совместилась с нижней полуплоскостью П₂. В результате получим комплексный чертёжточки А (рисунок 1.2.7), состоящий из двух проекций А₁ и А₂ точки А. Обе проекции А₁ и А₂ лежат на одном перпендикуляре к оси проекций х, которую как прямую, принадлежащую одновременно обеим плоскостям проекций П₁ и П₂, будем обозначать на комплексном чертеже х₁₂. Два перпендикуляра А₁₂А₁ и А₁₂А₂ к оси х₁₂ имеют общую точку А₁₂. Прямая А₁А₂, соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже, называется линией связи. Линия связи двух проекций точки перпендикулярна к оси проекций.

ПРИМЕЧАНИЕ:контуры плоскостей проекций на комплексном чертеже не показывают.

Рисунок 1.2.7 – Комплексный чертёж точки

Плоскости проекций разбивают всё пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями. Принято нумеровать квадранты в порядке, указанном на рисунке 1.1.8, и называть их I, П, Ш, IV квадрантами.

Рисунок 1.2.8 – Квадранты пространства

Если точка лежит в I квадранте, то её горизонтальная проекция А₁, будет принадлежать передней полуплоскости П₁, а фронтальная проекция А₂ – верхней полуплоскости П₂. При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проекция А₁ точки А, лежащей в I квадранте, окажется расположенной ниже оси x₁₂ в соответствии с рисунком 1.2.9.

В зависимости от положения натуральных (проецируемых) точек в различных квадрантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже в соответствии с рисунком 1.2.9, так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит натуральная точка.

Рисунок 1.2.9 – Комплексный чертёж точек, расположенных в разных квадрантах

Двухкартинный чертёж является метрически определённым чертежом. Однако, в силу трёхмерности пространственной фигуры её комплексный чертёж становится более ясным, когда, помимо двух основных проекций, дана ещё одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плоскости проекций чаще всего применяют профильную плоскость проекций П₃ (рис. 1.2.10).

П₃^х, поэтому П₃^П₁ и П₃^П₂. Три плоскости проекций (П₁, П₂, П₃) образуют в пространстве прямоугольный трёхгранник, т.е. систему трёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Ребра трёхгранника обозначим через х, y, z.

Пусть А – некоторая точка пространства. Для определения положения точки А относительно системы плоскостей (П₁, П₂, П₃) опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций: AA_i^П_i (i=l, 2, 3). Основания этих пер-пендикуляров (точки А₁, А₂, А₃) и являются соответственногоризонтальной, фронтальной и профильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций (П₁, П₂, П₃). Проецирующие плоскости AA₁A₂, AA₁A₃ и АА₂А₃ перпендикулярны соответственно к осям х, у, z. Обозначим точки пересечения этих плоскостей с осями через А₁₂, А₁₃, А₂₃. Как прямые A₁A₁₂ и A₁₂A₂ перпендикулярны к оси x, так и две другие пары прямых A₁A₁₃, A₁₃A₃ и А₂А₂₃, А₂₃А₃ должны быть перпендикулярны соответственно к осям y и z. Расстояние точки А от профильной плоскости проекций П₃ называется широтойточки А.

Рисунок 1.2.10 – Трёхкартинный чертёж точки

Итак, A₁A=A₁₂A₂=A₁₃A₃– высота, А₂А=А_]2А₁=А₂₃A₃ – глубина, АзА=А₂₃A₂=A₁₃A₁ – широта точки А.

При построении плоского чертежа плоскость П₂ считается неподвижной, а плоскости П₁и П₃совмещаются с ней путём вращения соответственно вокруг осей х и z в направлении, в соответствии с рисунком 1.2.10. После совмещения плоскости П₁ с фронтальной плоскостью П₂ отрезки А₁А₁₂^x₁₂ и А₁₂А₂^x₁₂ окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после совмещения плоскости П₃ с плоскостью П₂ отрезки А₂А₂₃^z₂₃ и А₂₃А₃^z₂₃ расположатся на линии связи А₂А₃^z₂₃.

Рисунок 1.2.11 – Трёхпроекционный комплексный чертёж точки

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комплексный чертёж точки А в трёх ортогональных проекциях. При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям А₁А₂^x₁₂, А₂А₃^z₂₃, а отрезки А₁₂А₁ и А₂₃А₃ равны, так как А₁₂А₁₌А₂₃А₃=А₂А (рисунок 1.1.11) есть глубина точки А.

Рассмотрим квадрат А₁₃O₁₂₃А₃₁А₀. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла (Х₁₂Z₂₃_).Следовательно, линия связи, соединяющая проекции А₁ и А₂, представляет собой ломаную линию с вершиной на биссектрисе К₁₂₃угла (X₁₂Z₂₃), состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.

Таким образом, линии связи устанавливают на трёхкартинном чертеже следующим образом: А₁А₂ – вертикальная линия связи; А₂А₃ – горизонтальная линия связи; А₁А₃ – горизонтально-вертикальная линия связи; биссектриса К₁₂₃ – геометрическое место вершин ломаных линий связи в соответствии с рисунком 1.2.12.

Рисунок 1.2.12 – Линии связи на проекционном чертеже

Прямая К₁₂₃ определяется заданием трёх проекций какой-либо точки, например, точки А (А₁А₂А₃), и является постоянной прямой комплексного чертежа.

Рассмотрим трёхгранник, образованный системой плоскостей проекций (П₁,П₂,П₃). На осях x, y, z установим единицу измерения е. За начало отсчёта примем точку О пересечения трёх плоскостей проекций (вершину трёхгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рисунке 1.2.13. Тогда трёхгранник Оxyz можно рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с координатными осями: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат, Оz – ось аппликат с координатными плоскостями хОyºП₁, хОzºП₂, yОzºП₃..

Рисунок 1.2.13 – Прямоугольная система координат в пространстве

Точку А(x_A, y_A, z_A) по данным координатам х_А,,y_A_,z_A строят следующим образом: пользуясь единицей длины е, строим отрезок АА₁₂, затем отрезок А₁₂А₁, параллельный оси у, и отрезок А₁А, параллельный оси z. В результате получаем точку А(х_А, у_А, z_А).

На чертежах, применяющихся в технике, оси проекций обычно не показывают. Это означает, что плоскости проекций могут перемещаться параллельно самим себе. Однако, и при отсутствии на чертеже осей всегда можно определить по данным двум проекциям точки третью её проекцию, если на чертеже имеются три проекции хотя бы одной точки. Это достигается при помощи постоянной прямой k чертежа, являющейся биссектрисой угла, образованного ломаной линией связи в соответствии с рисунком 1.2.14. Например, известно расположение трёх проекций точки А. Это позволяет определить постоянную k₁₂₃ как биссектрису угла А₁А₀А₃. В результате линии связи становятся вполне определёнными и по каждым двум проекциям точки может быть построена третья её проекция. На рисунке 1.2.14 такое построение выполнено для точки В.

Рисунок 1.2.14 – Безосный комплексный чертёж точки

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

При изучении начертательной геометрии следует придерживаться общих указаний

Начертательная геометрия изучаемая студентами заочной формы обучения в первом семестре является первой частью дисциплины Инженерная графика и е... Данное учебно методическое пособие посвящено именно этой части дисциплины... При изучении курса необходимо ознакомиться с программой приобрести учебную литературу и тщательно продумать...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ортогональное проецирование

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

По дисциплине
«Инженерная графика» Начертательная геометрия является наукой о графических изображениях. Различные инженерные сооружения их отдельные конструкции, архитектурные

Основные обозначения
- Точки в пространстве обозначают прописными буквами латинского алфавита A, B, C, D… или арабскими цифрами 1, 2, 3, 4, 5 … - прямые или кривые линии в пространстве – с

Способы проецирования
При помощи чертежей, то есть при помощи изображений на плоскости, изучаются пространственные формы предметов и соответствующие геометрические закономерности. Разработкой способов по

Центральное проецирование
Пусть

Параллельное проецирование
Наглядность - ценное свойство центрально проекционных изображений. Однако на практике большое значение имеют и другие качества проекционных чертежей, в частности, простота построения и обратимость.

Конкурирующие точки
Точки, расположенные в пространстве на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Они проецируются на соответствующую плоскость проекций в одну точку в соответствии с ри

Изображение прямой линии на комплексном чертеже
Проекцией прямой линии как совокупности проекций всех её точек является прямая линия. Следовательно, пространственная прямая определяется на двухкартинном комплексном чертеже парой своих проекций.

Прямые частного положения
Как уже отмечалось, к прямым частного положения относятся прямые уровня, т.е. параллельные плоскости проекций (в соответствии с рисунком 1.3.1 это прямые h, f, p), и проецирующ

Следы прямой линии
Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой. Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным сл

Фронтальный след.
Горизонтальной проекцией фронтального следа F1 является точка пересечения горизонтальной проекции прямой с осью х12. Фронтальная проекция фронтального с

Определение натуральной величины отрезка прямой
Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов наклона ее к плоскостям проекций производится способом прямоугольного треугольника. Как видно из р

Взаимное положение двух прямых
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Если прямые а и b пересекаются в некоторой точке K, то на основании

Теорема о проецировании прямого угла
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения. Доказательство (рисунок

Изображение плоскости на комплексном чертеже
Плоскость можно задать: - тремя точками, не лежащими на одной прямой; - прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; - двумя пересекающимися прямыми; - двумя пара

Главные линии плоскости
К прямым, занимающим особое положение в данной плоскости, относят: 1) Горизонтали h – прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций. На комплек

Взаимопринадлежность (инцидентность) точки и плоскости
Если точка принадлежит плоскости в пространстве, то проекции этой точки принадлежат соответствующим проекциям какой-либо прямой, лежащей в данной плоскости (в соответствии с рисунком 1.3.16 прямая

Следы плоскости
Следом плоскости называется прямая её пересечения с плоскостью проекций. На рисунке 1.3.17 плоскость W задана следами l и m: l=W ∩П2 и

Плоскости частного положения
Выше было отмечено, что к плоскостям частного положения относятся плоскости уровня (параллельные плоскости проекций) и плоскости проецирующие (перпендикулярные плоскости проекций). В первом случае

Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Так, прямая l параллельна прямой b, расположенной в плоскости Q

Параллельность плоскостей
Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Так, пересекающиеся прямые с и d плоскост

Перпендикулярность прямой и плоскости
Из элементарной геометрии известно, что прямая f2, перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости. На заданной плоскости в каче

Пересечение прямой линии с плоскостью
Это есть позиционная задача, т.к. в ней определяется общий элемент данных геометрических объектов, т.е. их точка пересечения, что соответствует рисунку 1.3.24. Алгоритм решения задачи осно

Пересечение двух плоскостей
В этой позиционной задаче общим элементом данных геометрических объектов является прямая линия. Её можно построить двумя способами: с помощью плоскостей-посредников частного положения, одновременно

Кривые линии
Кривую линию можно рассматривать как след движущейся точки. Эта точка может быть отдельной точкой или точкой, принадлежащей движущейся в пространстве линии или поверхности. Кривые линии мо

Проекционные свойства плоских кривых
Допустим, что данная кривая l лежит в некоторой плоскости W. Спроецируем кривую l на плоскость проекций П¢ по направлению s в соответствии с рисунком 1.2.27.

Ортогональная проекция окружности
Как известно, параллельной проекцией окружности является кривая, называемая эллипсом. Поскольку ортогональная проекция является частным случаем параллельной, то очевидно, что ортогональной

Линейчатые поверхности
Линейчатой поверхностью называется поверхность, которая может быть образована движением прямой линии в пространстве. В зависимости от характера движения образующей

Поверхности вращения
Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо образующей при её вращении вокруг неподвижной оси. Образующая может быть как плоской, так и пр

Поверхности вращения второго порядка
При вращении кривой второго порядка вокруг её оси образуется поверхность вращения второго порядка. Рассматриваются следующие типы поверхностей второго порядка:

Пересечение поверхности с плоскостью
Это есть позиционная задача на определение для данных геометрических объектов их общего элемента, которым является кривая линия. Для её построения используются вспомогательные плоскости-по

Конические сечения
Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями. К этим линиям относятся следующие: элл

Общий алгоритм решения задачи
Пусть даны две произвольные поверхности Ф и Q. Нужно построить линию их пересечения, т.е. построить точки, которые этой линии принадлежат (рисунок 1.3.52). Чт

Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка
Поскольку поверхности второго порядка являются алгебраическими, то и линия их пересечения есть алгебраическая кривая. Так как порядок линии пересечения равен произведению порядков п

Преобразование комплексного чертежа
Решение многих пространственных задач (позиционных и метрических) на комплексном чертеже часто усложняется из-за того, что заданные геометрические объекты расположены произвольно относительно плоск

Способ замены плоскостей проекций
Отличительная особенность способа замены плоскостей проекций состоит в переходе от данной системы плоскостей, в которой заданы проекции объекта, к новой системе двух взаимно перпендикулярных плоско

Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
Применение способа замены плоскостей проекций для решения различных задач (позиционных и метрических) основывается на четырёх основных задач. Задача 1. Сделать прямую l(l1

Способ плоскопараллельного перемещения
Плоско-параллельным перемещением называется такое движение объекта, при котором все его точки перемещаются в плоскостях , параллельных между собой. При плоскопараллельном перемещении относ

Способ вращения
Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения. Действительно, если в способе плоско-параллельного перемещения точка фигуры описывала некоторую плоскую кривую

Способ вращения вокруг проецирующей оси
При решении задач способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путем вращения их вокруг некоторой оси. Если ось вращения расположить перпендикулярно к плоскости п

Основные задачи, решаемые способом вращения
Задача№1. Преобразовать прямую общего положения во фронтальную прямую уровня (рисунок 1.4.14). Рассмотрим решение задачи, вращая прямую АВ вокруг горизонтально-проецирующей прямой

Построение разверток
Разверткой поверхности называется плоская фигура, образованная последовательным совмещением поверхности с плоскостью без разрывов и складок. При развертывании поверхность рассматри

Развертка поверхности призмы
Существует два способа развертки призмы: способ «нормального сечения» и способ «раскатки». Способ «нормального сечения» используют для развертки поверхност

Развертка поверхности пирамиды
Боковые грани пирамиды – треугольники, каждый из которых может быть построен по трем сторонам. Поэтому для получения развертки пирамиды достаточно определить натуральные величины ее боковых ребер и

Развертка цилиндрической поверхности
Цилиндрические поверхности развертываются теми же способами, что и призматические. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму, а затем определяют развертк

Развертка конической поверхности
Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды в следующем порядке. Сначала в заданный конус вписывают n-угольную пирамиду (число n от мас

Аксонометрические проекции
Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта. Аксонометрический чертёж состоит только из

Стандартные аксонометрические системы
Из частных видов аксонометрических проекций, предусмотренных государственным стандартом, чаще всего используют ортогональную изометрию, и ортогональную диметрию.

Аксонометрическая проекция окружности
Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. Построение эллипсов, изображающих окружности, расположенные в координатных плоскостях или в плоскостях, им параллельных, про