Способ и устройство

Раздел описания	Содержание описания
Класс МПК	В 21 D 35/00
Название изобретения	Способ изготовления гнутых деталей и устройство для его осуществления
Область техники, к которой относится изобретение.	Предполагаемое изобретение относится к обработке металлов давлением, в частности к листовой штамповке.
Уровень техники. Характеристика аналогов изобретения и прототипа	Известен способ изготовления гнутых деталей V-образной формы, включающий постепенную вырубку по контуру, одновременную с вырубкой гибку пуансqон - матрицей, последующую калибровку полученной детали на жесткой оправке и удаление готовой детали на провал. (А.с. № 1400726 МПК В 21 D 35/00, 1988, БИ № 21).
Критика аналога и прототипа	Недостатком данного способа является образование трещин в месте соприкосновения гибочных поверхностей пуансон – матрицы, вследствие значительных усилий деформирования на заключительном этапе гибки и при калибровке
Технический результат	Техническим результатом предлагаемого изобретения является предотвращение образования трещин в месте соприкосновения гибочных поверхностей пуансон - матрицы.
Уровень техники. Характеристика аналогов изобретения и прототипа	Известно устройство для изготовления гнутых деталей V-образной формы, включающее, укрепленные на верхней плите штампа пуансон - матрицу и прижим-съемник. На нижней плите – вырубную матрицу и жесткую оправку (А.с. № 1400726 МПК В 21D 35/00, 1988, БИ № 21).
Критика аналога и прототипа	Недостатком известного устройства является образование трещин в месте соприкосновения гибочных поверхностей пуансон–матрицы, вследствие значительных усилий деформирования на заключительном этапе гибки и при калибровке. Из-за невозможности пропускания тока вдоль оси гибки для нагрева заготовки и снижения усилия деформирования на заключительном этапе гибки и при калибровке.
Технический результат	Техническим результатом предлагаемого изобретения является предотвращение образования трещин в пуансон - матрице путем снижения усилий деформирования на заключительном этапе гибки и при калибровке.
Сущность изобртения	Достигается за счет пропускания импульса тока по заготовке вдоль оси гибки и ее дифференцированного нагрева. Поставленная задача достигается тем, что в способе изготовления гнутых деталей путем вырубки по контуру, одновременно с вырубкой и гибкой вдоль оси гибки по заготовке пропускают импульс тока для дифференцированного нагрева. Завершающую гибку и в конце ее калибровку детали на жесткой оправке проводят с нагретой деталью, при этом будет предотвращено образование трещин в пуансон - матрице, так как существенно снижается сопротивление деформированию и, следовательно, повысится стойкость пуансон – матрицы. В устройстве для изготовления гнутых деталей, включающем пуансон - матрицу и прижим-съемник, последний выполнен из неэлектропроводного материала (диэлектрика) и в нем с противоположных сторон в плоскости симметрии пуансон - матрицы установлены токопроводящие контакты. Сущность изобретения заключается в следующем. Операции вырубки и гибки, в разрабатываемом способе совмещены с пропусканием импульса тока, для прямого нагрева заготовки методом электросопротивления. Подвод электрического тока к заготовке осуществляют через токопроводящие контакты, установленные в прижиме-съемнике, выполненном из неэлектропроводного материала, с противоположных сторон в плоскости симметрии пуансон - матрицы. Импульс электрического тока подводится к заготовке только в момент вырубки. Вследствие того, что по мере вырубки детали сечение заготовки между токоподводами постоянно уменьшается, при постоянстве силы тока его плотность будет увеличиваться, что будет способствовать повышению температуры нагрева участков заготовки, испытывающих максимальную деформацию при гибке и калибровке, то есть будет осуществляться дифференцированный нагрев заготовки
Перечень фигур графических изображений	На фигуре 1 показано устройство для изготовления гнутой детали V-образной формы (стадия калибровки). На фигуре 2 – сечение А-А фигуры 1. Устройство состоит из штампа, совмещенного действия 1 и блока питания с регулятором импульсов 2.
	Штамп совмещенного действия 1 содержит вырубную матрицу 3, на которую укладывают исходную заготовку 4, из которой получают гнутую деталь 5 V-образной формы. Вырубная матрица 3 установлена, как и жесткая оправка 6 на нижней плите 7 штампа 1. В нижней плите 7 имеется отверстие 8 для удаления детали 5 на провал. На верхней плите штампа 1 (условно непоказана) укреплены пуансон - матрица 9 и выполненный из неэлектропроводного материала прижим-съемник 10. С противоположных сторон в плоскости симметрии пуансон - матрицы 9 в прижиме-съемнике 10 установлены токоподводящие контакты 11. Способ осуществляется следующим образом. В начальный период хода ползуна пресса вниз происходит прижатие прижима-съемника 10 к заготовке 4 и в этот момент регулятором 2 включается импульс тока, подаваемого на токоподводящие контакты 11, установленные в прижиме-съемнике 10. По заготовке протекает ток и она начинает нагреваться. В этот же период времени происходит надрезка в полосе заготовки 4 наиболее удаленных от оси изгиба (периферийных) участков детали. При дальнейшем ходе ползуна пресса вниз пуансон - матрица 9 постепенно вырубает деталь 5 по периметру развертки. Одновременно с вырубкой будет происходить гибка ранее вырубленных участков детали. При этом сечение заготовки перпендикулярное электрическим силовым линиям будет постоянно уменьшаться. Мощность и сила тока, пропускаемого по заготовке, постоянны и поэтому плотность тока в заготовке будет постоянно увеличиваться. Это способствует повышению температуры нагрева участков заготовки, испытывающих максимальную деформацию при гибке и калибровке. Все это обеспечивает дифференцированный нагрев вырубаемой части в заготовке 4.Окончательная вырубка происходит в участках над осью гибки и линия оси гибки нагревается максимально. По окончании вырубки импульс тока прекращается. Разогретая, гнутая заготовка калибруется по форме детали на жесткой оправке 6 (фигура 2). При движении ползуна вверх жесткая оправка 6 перемещается горизонтально, открывая отверстие 8, в нижней плите 7 штампа 1, через которое деталь 5 удаляется на провал. После этого оправка 6 возвращается в рабочую зону и цикл повторяется.
Технико-экономическая эффективность	Использование предлагаемого изобретения обеспечит предотвращение образования трещин, то есть повысит стойкость пуансон - матрицы при выполнении совмещенных операций вырубки, гибки и калибровки детали V-образной формы за счет пропускания импульса тока и выполнения указанных операций на дифференцированно нагретой заготовке.
Формула изобретения	Формула изобретения 1 Способ изготовления гнутых деталей, включающий вырубку заготовки по контуру, одновременную с вырубкой гибку и в конце гибки калибровку на жесткой оправке, отличающийся тем, что одновременно с вырубкой и гибкой вдоль оси гибки по заготовке пропускают импульс тока. 2 Устройство по сп.1, включающее укрепленные на верхней плите штампа пуансон - матрицу и прижим-съемник, отличающееся тем, что прижим-съемник выполнен из неэлектропроводного материала и в нем с противоположных сторон в плоскости симметрии пуансон - матрицы установлены токоподводящие контакты.
Реферат	Реферат
Название изобретения	Способ изготовления гнутых деталей и устройство для его осуществления
Область к которой относится изобретение	Изобретение относится к обработке металлов давлением, к листовой штамповке.
Технический результат	Технический результат изобретения – предотвращение образования трещин пуансон - матрицы за счет снижения усилия деформирования
Краткое изложение сущности изобретения	Поставленная задача достигается тем, что одновременно с операциями вырубки и гибки, по заготовке пропускают импульс тока через установленные в прижиме-съемнике, выполненном из неэлектропроводного материала, токоподводящие контакты.

 

4.5 Контрольные вопросы

4.5.1 Дать общие сведения об изобретениях?

4.5.2 Перечислить предложения по которым изобретение не может быть патентоспособным?

4.5.3 Какие существуют признаки изобретения?

4.5.4 Перечислите из каких разделов состоит патент на изобретение и их сущность?

 

4.6 Содержание отчета

4.6.1 В отчете ответить на вопросы 4.5.1-4.5.4;

4.6.2 На полученную ранее модернизированную модель составить описание изобретения (в качестве примера использовать п. 4.4).

 

Практическая работа5. Планирование эксперимента

 

5.1 Цель работы: Приобретение навыков ориентации в уровнях планирования входных параметров и выходных значений и в составлении матрицы планирования.

 

5.2 Характеристика планирования эксперимента.

Исследование является экспериментом, если входные переменные изменяются исследователем в точно учитываемых условиях, позволяя управлять ходом опытов и воссоздавать их результаты каждый раз при повторении с точностью до случайных ошибок.

Планирование и анализ эксперимента представляет собой важную ветвь статистических методов, разработанную для решения разнообразных задач, возникающих перед исследователями. В одном случае необходимо обнаружить и проверить причинную связь между входными переменными (факторами) и выходными переменными (откликами), в другом – отыскать оптимальные условия ведения процесса или сравнить изучаемые объекты и т.д.

Под планированием эксперимента понимается процедура выбора числа опытов и условий их проведения, необходимых для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Все переменные, определяющие изучаемый объект, изменяются одновременно по специальным правилам. Результаты эксперимента представляются в виде математической модели, обладающей определенными статистическими свойствами, например минимальной дисперсией оценок параметров модели.

Большое количество экспериментальных задач формулируются как задачи по определению оптимальных условий процессов, оптимального состава смазочного материала и т.д. Составляя план и благодаря оптимальному расположению точек в факторном пространстве и линейному преобразованию координат, удается преодолеть недостатки классического регрессионного анализа, в частности, обеспечить корреляцию между коэффициентами уравнения регрессии [8].

Выбор плана определяется постановкой задачи исследования и особенностями объекта исследования.

Планирование эксперимента позволяет варьировать (изменить) одновременно все факторы и получать количественные оценки как основных факторов, так и эффектов взаимодействия между ними, причем получаемые результаты характеризуются меньшей ошибкой, чем традиционные методы однофакторного исследования.

Планирование многофакторных экспериментов с сокращением перебора вариантов является мощным средством повышения эффективности исследований и уменьшения затрат времени и средств на эксперимент.

5.2.1 Полный факторный эксперимент.

При планировании по схеме полного факторного эксперимента реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях.

Количество опытов по плану определяется по формуле:

, (5.1)

где N – число опытов в плане;

n – количество уровней (преимущественно два);

k – число факторов.

 

Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру. Верхний и нижний уровни, как правило, устанавливают экспериментально предварительными опытами. Исходя из значений этих параметров, определяют центр плана и шаг варьирования по формулам

(5.2)

 

(5.3)

где - значение исследуемого параметра в центре плана, на верхнем и нижнем уровнях, соответственно;

- шаг варьирования.

 

При поведении экспериментов пользоваться натуральной системой координат не всегда удобно, поэтому в планах используют безразмерную систему координат, переход к которой осуществляют по формуле

, (5.4)

где i – 1, 2, 3, …, k.

 

В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний уровень –1, координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат осей.

Кодированный план полного факторного эксперимента 2³ геометрически может быть представлен в виде куба, восемь вершин которого представляют восемь экспериментальных точек.

Планирование эксперимента рассмотрим при исследовании интенсивности изнашивания образца. Изменяемые факторы рассмотрим на примере нагрузки в зоне соприкосновения деталей, вязкости смазочного материала и температуры в зоне контакта.

В таблице 5.1 показаны области исследований варьируемых параметров.

В качестве выходного (наблюдаемого, регистрируемого) параметра принимают фиксируемый параметр, например, интенсивность изнашивания (таблица 5.2).

 

Рисунок 5.1 – Схематическое представление плана полного факторного эксперимента 2³

 

Таблица 5.1 - Области исследований варьируемых параметров

Уровни параметра	Параметры
Степень нагрузки	Вязкость смазочного материала	Температура в зоне контакта
Система	Система	Система
натуральная Z1, H	кодированная X1	натуральная Z2, мм2/с	кодированная X2	натуральная Z3, 0С	кодированная X3
Верхний уровень		+1		+1		+1
Нижний уровень		-1		-1		-1
Основной (нулевой) уровень
Шаг варьирования		-		-		-

 

Таблица 5.2 – Матрица планирования

№ опыта	Кодированные параметры	Выходные параметры
Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Y1	Y2
	+1	-1	-1	-1	-1	Y11	Y21
	+1	+1	-1	-1	-1	Y12	Y22
	+1	-1	+1	-1	-1	Y13	Y23
	+1	+1	+1	-1	-1	Y14	Y24
	+1	-1	-1	+1	-1	Y15	Y25
	+1	+1	-1	+1	-1	Y16	Y26
	+1	-1	+1	+1	-1	Y17	Y27
	+1	+1	+1	+1	-1	Y18	Y28
	+1	-1	-1	-1	+1	Y19	Y29

Продолжение таблицы 5.2

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4	Y1	Y2
	+1	+1	-1	-1	+1	Y110	Y210
	+1	-1	+1	-1	+1	Y111	Y211
	+1	+1	+1	-1	+1	Y112	Y212
	+1	-1	-1	+1	+1	Y113	Y213
	+1	+1	-1	+1	+1	Y114	Y214
	+1	-1	+1	+1	+1	Y115	Y215
	+1	+1	+1	+1	+1	Y116	Y216

 

Приведенная в таблице 2 матрица планирования обладает следующими свойствами:

а) ортогональностью – равенство нулю скалярных произведений всех векторов – столбцов. Это свойство резко уменьшает трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как любой коэффициент уравнения регрессии В_j определяется скалярным произведением столбца y_j на соответствующий столбец х_ij и делением суммы произведений на число опытов в матрице планирования.

б) эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам, но при этом учитывается произведение столбцов эффектов х_iх _j.

в) нулевой фактор х_oj как бы характеризует неучтенные факторы, влияющие на процесс и необходим для определения свободного члена уравнения регрессии.

 

5.3 Расчеты.

Расчеты коэффициентов уравнения регрессии проводится по формулам

(5.5)

(5.6)

(5.7)

5.4 Контрольные вопросы

5.4.1 Дайте характеристику планирования эксперимента?

5.4.2 Что дает планирование эксперимента?

 

5.5 Содержание отчета

5.5.1 Подобрать варьируемые факторы и составить матрицу планирования трехфакторного эксперимента. Провести мысленный (виртуальный) эксперимент по своей теме, с указанием (назначением) выходного параметра и его значений. Рассчитать свободный член уравнения регрессии, коэффициенты при линейных факторах и эффектах взаимодействия.

5.5.2 В отчете о работе включить описание основ принципов планирования эксперимента, привести матрицу планирования эксперимента. Привести уравнение регрессии, рассматриваемого процесса.

Практическая работа6. Математическое моделирование

 

6.1 Цель работы: изучение математического моделирования для применения на практике.

 

6.2 Сущность математического моделирования.

Сущность математического моделирования состоит в замене исходного объекта его "образом" - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот "третий метод" познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента).

Сама постановка вопроса о математическом моделировании какого-либо объекта порождает четкий план действий. Его можно условно разбить на три этапа: модель - алгоритм - программа (см. рисунок 6.1).

 

Рисунок 6.1 – Схема математического моделирования

На первом этапе выбирается (или строится) "эквивалент" объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап - выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

На третьем этапе создаются программы, "переводящие" модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать "электронным" эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на "экспериментальной установке" - компьютере.

Создав триаду "модель-алгоритм-программа", исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в "пробных" вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные "опыты", дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Рассматривая вопрос шире, напомним, что моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных "специальностей". Математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований:

1) четкая формулировка основных понятий и предположений,

2) апостериорный анализ адекватности используемых моделей,

3) гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т. д.

 

 

6.3. Вывод формулы с помощью анализа размерностей.

Постановка задачи: требуется найти формулу для определения центробежной силы, действующей на тело массой m, которое вращается по круговой траектории со скоростью V (см. рисунок 5.2).

 

Рисунок 6.2 – Схема вращение тела

 

Запишем размерности представленных на рисунке физических величин, приняв в качестве основных единиц массу М, длину L и время Т. Тогда размерности силы F, длины l, скорости V и массы m будут соответственно равны:

 

[F]=MLT^-2 или кГм/с², [l]=L или м, [V]=LT^-1 или м/с, [m]=M или кГ.

 

Связь между силой и факторами (длиной, скоростью и массой) выразим в алгебраической форме

 

 

Задача состоит в том, чтобы определить показатели степени α, β и γ. Перепишем выражение для силы, подставив в него в левую и правую части соответствующие размерности

 

 

Преобразуем полученное выражение

 

.

Приравняв показатели степени при одинаковых размерностях, получим:

1=γ,

1=α+β,

-2=-β.

Откуда находим γ=1; β=2; α=-1. Подставив найденные показатели степени в исходное уравнение, запишем:

 

 

Таким образом, с помощью анализа размерностей получено известное из курса физики выражение.

Анализ размерностей позволяет установить правильность записи формулы: Формула считается правильной, если размерности левой и правой частей уравнения одинаковы.

6.4 Контрольные вопросы

6.4.1 Поясните сущность математического моделирования?

6.4.2 Какие требования предъявляются к математическому моделированию?

6.4.3 Что значит апостериорный анализ?

 

6.5 Содержание отчета

6.5.1 Дать пояснение сущности и перечислить требования предъявляемые к математическому моделированию.

6.5.2 По своей теме подобрать или описать пример математического моделирования.

 

Практическая работа7. физическое моделирование

 

7.1 Цель работы: изучение физического моделирования для применения на практике.

 

7.2 Сущность физического моделирования.

Физическое моделирование (ФМ), т.е. исследование физически подобных процессов на установках, позволяющих сохранить физическую природу явлений, но воспроизводящих их в других размерах в смысле геометрическом или физическом. Такое исследование получило широкое распространение в практике. Особенностью модели при ФМ является ее одинаковая природа с натурным объектом-оригиналом. Модель и натура в этом случае обязательно связаны полученной теоретической зависимостью в виде расчетного масштабного фактора, который является совокупностью всех масштабных коэффициентов перехода от модели к натуре для параметров режима работы , конструкции и материалов, включенных в критерий подобия.

ФМ может реализовываться либо на натурных объектах (натурное моделирование), либо на моделях, выполненных в другом масштабе. Отметим, что исследование, проводимое с помощью уменьшенной по сравнению с оригиналом модели, выполняется, как правило, в сжатом масштабе времени (ускоренные испытания) и имеет следующие преимущества перед натурным моделированием:

1) позволяет сэкономить материалы (испытания проводятся на малогабаритных установках), энергию и сырье для технологической подготовки образцов, энергию при испытаниях;

2) существенно экономится время, затрачиваемое на проведение испытаний (обычно в 2…5 раз) и значительно уменьшается объем работ, связанных с монтажом и демонтажем изучаемых узлов машин в эксплуатационных условиях;

3) резко уменьшаются затраты на доводку конструкции машины; увеличивается конкурентоспособность, благодаря уменьшению средств на строительство дорогостоящих натурных стендов, аренду помещений, уменьшению численности обслуживающего персонала и, главное, экспериментальной проверке основных технических решений еще на стадии проектирования нового изделия.

7.3. Пример физического моделирования. Требуется определить режим течения жидкости (ламинарный или турбулентный) в проектируемом трубопроводе большого диаметра при заданной скорости течения. Полагая, что проведение натурных испытаний слишком дорого, используем результаты опыта на модели трубопровода малого диаметра.

Режим течения зависит от следующих факторов: вязкости ν, скорости жидкости V и диаметра трубы d. Запишем размерности рассматриваемых факторов: [ν]=L²T^-1 или м²/с, [V]=LT^-1 или м/с, [d]=L или м. Эти три фактора образуют безразмерный комплекс

 

который называют числом Рейнольдса − Re=Vd/ν.

При числе Рейнольдса (Re) приблизительно меньшим 2000 течение жидкости относят к ламинарному. При увеличении числа Рейнольдса свыше 2000 течение становится хаотическим − турбулентным.

Число Рейнольдса еще называют критерием подобия, с помощью которого можно смоделировать режим течения в натурной трубе. Число Re=idem, т.е. число Рейнольдса должно быть одним и тем же для модели и натуры.

Модель может отличаться от натуры размерами; при проведении опытов может использоваться жидкость с другой вязкостью. Переход от модели к натуре производят с помощью масштабных коэффициентов μ. Эти коэффициенты запишем в виде

 

Тогда

 

 

Откуда

 

Проведем анализ полученной зависимости для масштабных коэффициентов. Пусть в опытах на модели жидкость такая же, как и в проектируемом изделии (трубе), т.е. μ_ν=1. Диаметр модельной трубы уменьшим в 10 раз, тогда μ_d=10 и μ_V=μ_ν/μ_d =1/10. Это означает, что для определения режима течения жидкости на модельной установке скорость течения должна быть в 10 раз выше, чем в натурной трубе.

Пусть диаметр проектируемого трубопровода d_н=200 мм; кинематическая вязкость транспортируемой жидкости (трансмиссионного масла) ν_н=100 мм²/с и скорость течения равна V_н=2 м/с. Параметры модели: d_м=20 мм, V_м=20 м/с.

Подсчитаем число Рейнольдса

 

 

Расчет показывает, что течение носит турбулентный характер. Уточним постановку задачи: требуется найти, с какой скоростью должна течь жидкость в натурной трубе, чтобы течение было бы ламинарным.

Возьмем стеклянную трубку с d_м=20 мм (см. рис.) и будем снижать скорость течения до того момента, когда будет наблюдаться устойчивое ламинарное течение. Зафиксируем эту скорость V_{м (лам)}.

Красящее вещество

ламинарное течение турбулентное течение

Тогда для натурной трубы скорость должна быть равна V_{н (лам)}=μ_V V_{м (лам)}= V_{м (лам)}/10.

7.4. Элементы теории корреляции.

Две случайные величины (случайность может определяться погрешностями измерения и физической природой изучаемого процесса) могут быть связаны функциональной или статистической зависимости.

Функциональная зависимость (r = 1 – кривая 1), (r = -1 – кривая 2)

Статическая зависимость (-1 < r < 1)

Отсутствие зависимости ( r = 0 )

 

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин (например, ) влечет изменение распределения другой ( ). Иными словами, каждому значению соответствует разное значение . Характер зависимости определяется коэффициентом корреляции ( ).

Одной из задач теории корреляции – установить форму корреляционной связи, т.е. вид функции регрессии.

Рассмотрим простейший случай. Найти уравнение регрессии по следующим данным:

x	1,00	1,50	3,00	4,50	5,00
y	1,25	1,40	1,50	1,75	2,25

 

 

Составим расчетную таблицу.

число опытов n	xi	yi	xi2	xi yi
	1,00	1,25	1,00	1,250
	1,50	1,40	2,25	2,100
	3,00	1,50	9,00	4,500
	4,50	1,75	20,25	4,875
	5,00	2,25	25,00	11,250

 

Будем искать уравнение регрессии (по методу наименьших квадратов) в виде

.

Здесь

;

.

Искомое уравнение регрессии

.

Это уравнение представляет собой аналитическое описание модели зависимости y(x). Построим экспериментально полученную зависимость (кружки) и регрессивную зависимость (линия).

Как видно из рисунка отклонения экспериментальных данных от полученной аналитической зависимости ( ) минимально.

Найдем коэффициент корреляции r:

.

Здесь

;

; .

;

при n ≤ 20.

Для данного примера ; .

Среднее квадратичное отклонение

 

 

Тогда

 

 

7.5 Контрольные вопросы

7.5.1 Поясните сущность физического моделирования?

7.5.2 В чем отличие и преимущество физического моделирования перед натурным?

 

7.6 Содержание отчета

7.6.1 Дать пояснение сущности физического моделирования, и в чем отличие и преимущество перед натурным.

6.5.2 По своей теме подобрать или описать пример физического моделирования.

 

 

Практическая работа8. имитационное моделирование

 

8.1 Цель работы: изучение имитационного моделирования для применения на практике.

 

8.2 Сущность имитационного моделирования. Имитационное моделирование заключается, прежде всего, в конструировании мысленной модели, имитирующей объекты и процессы по нужным (но неполным) показателям. Именно неполнота описания процессов делает имитационную модель принципиально отличной от математической в традиционном смысле понятия–математическая модель. При моделировании, т.е. при работе с моделью, происходит перебор в диалоге с ЭВМ огромного числа возможных вариантов и выбор в конкретные сроки наиболее приемлемых с точки зрения инженера решений. При этом достаточно полно используется интуиция и опыт инженера, понимающего сложность решаемой проблемы и принимающего соответствующее решение. При изучении сложных процессов оптимального решения в строго математическом смысле вообще можно не найти. Зато можно получить приемлемое решение за сравнительно короткое время. Имитационная модель включает в себя эвристические элементы, используя иногда недостаточную и противоречивую исходную информацию. Тем самым имитационная модель ближе к реальной ситуации и более доступна для пользователей.

 

8.3. Прикладные методы моделирования. Методы имитационного моделирования широко используются при изучении сложных динамических систем, при оценке их функционирования и эффективности. Общая постановка задачи может быть сформулирована следующим образом: пусть задана стохастическая система, т.е. такая система, функционирование которой зависит от множества случайных факторов. Математической моделью случайного фактора X=(A, a, h(t), x(z)) являются теоретико-вероятностные понятия: случайное событие А, случайная величина а, случайный процесс h(t), случайное поле x(z) пространственного аргумента z, t–время.

Реакция исследуемой системы однозначно определяется тем конкретным значением х (реализацией) случайного фактора Х, которое реализовалось в процессе ее функционирования. Считается известной форма связи между набором входных факторов х и выходными параметрами системы у. Форма связи между х и у задается оператором системы

y=L(x).

Так как реализация входных факторов (процессов) х случайна, то и выходные параметры системы у представляют собой случайные величины или процессы. Задача вероятностного анализа состоит в следующем. Требуется по заданным статистическим характеристика случайного входного воздействия Х и оператору системы L определить численные значения выходных параметров.

Общая схема решения методом статистических испытаний (метод Монте–Карло) состоит из следующих шагов.

1. Разыгрываются N независимых реализаций x_i входного возмущения (фактора) Х, i=1,2…N.

2. Моделируется система и вычисляются значения y_i=L(x_i) выходных параметров.

Определяются статистические показатели выходного параметра.

 

8.4. Метод Монте-Карло. Начало метода относят к 1949 г. Его создатели – американские математики Дж. Нейман и С. Улам. До появления ЭВМ этот метод не мог найти широкого применения, так как моделировать случайные величины вручную – дело довольно трудоемкое. К особенностям метода относят: 1) простая структура вычислительного алгоритма и 2) погрешность вычислений обратно пропорциональна , где N – число испытаний. Отсюда видно, что для того, чтобы уменьшить погрешность в 10 раз, нужно увеличить объем выборки, выражаемый числом статистических испытаний, в 100 раз. Метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, протекание которого зависит от множества случайных факторов. Кроме того, решение некоторых задач, не связанных со случайностями, возможно путем создания искусственной вероятностной модели. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример.

Требуется найти площадь в виде произвольной фигуры А (рисунок 8.1).

А

x1

(x1,x2)

(xр,xр+1)

0 x2 1

Рисунок 8.1 – Произвольная фигура

 

Заключим данную фигуру в квадрат со стороной, равной единице. Затем к оценке площади фигуры проведем ряд статистических испытаний, процедура которых состоит в следующем. Возьмем из ряда случайных чисел, распределенных равномерно на отрезке [0,1] два значения x₁ и x₂, которыедают нам первую точку на квадрате. Как показано на рисунке эта точка принадлежит фигуре. Будем считать, что первое статистическое испытание оценивается единицей. Если другое статистическое испытание дает координаты точки, не лежащей в пределах квадрата, то результат испытания равен нулю. Продолжая, таким образом, проведение испытаний, получим:

относительная площадь фигуры =

Здесь в числителе сумма результатов испытаний N*(число точек, попавших в площадь фигуры), а в знаменателе – число испытаний–N (число случайных точек). Точность оценки площади, как показано ранее, зависит от числа испытаний. Для нахождения площади надо относительную площадь умножить на соответствующий масштаб. На практике для вычисления площади плоской фигуры используют другие методы, хотя и более сложные, но обеспечивающие гораздо большую точность. При оценке объема сложной фигуры метод Монте-Карло может оказаться единственным, дающим возможность решить задачу.

 

8.5 Пример метода Монте-Карло.

Применение метода статистических испытаний (метод Монте-Карло для оценки площади фигуры (см. рисунок 8.2) – площади вписанного квадрата EFGH заштриховано) в квадрат ABCD со стороной, равной 1.

Вписанный квадрат EFGH со стороной имеет площадь А_◊ = 0,5 кв. единиц.

 

Рисунок 8.2 – Оценка площади фигуры

 

Определение площади с помощью метода Монте-Карло требует наличия таблицы случайных чисел. Точность оценки площади (степень приближения к точному значению ) зависит от числа испытаний N. При площадь (оценка площади приближается к точному значению).

Процедура проведения статистических испытаний.

1. Из таблицы случайных чисел выбираем 2 значения α_i и α_i+1 в качестве координаты точки К внутри квадрата ABCD.

2. Если точка попала в заштрихованную область (в квадрат EFGH), то считаем, что испытание оказалось удачным (1-е испытание соответствует 1).

Если точка при испытании не попала в заштрихованную область, то испытание – неудачно (это испытание соответствует цифре 0).

3. Повторив испытания N раз, находим оценку площади .

 

4. Каждый из студентов находит _I при N = 10 раз. Затем, найдя

,

получим

при N = 10,

при N = 20,

при N = 30 и т.д.

5. Найти погрешность статистических испытаний и построить кривую приближения к истинному значению.

 

=0,5

10 20 30 N

6 Фрагмент случайных чисел (см. приложение 7, таблица 7.1).

 

8.6 Контрольные вопросы

8.6.1 Сущность имитационного моделирования?

8.6.2 Сущность и особенности метода Монте-Карло?

8.6.3 Поясните процедуру проведения статистических испытаний?

 

8.7 Содержание отчета

8.7.1 Описать сущности имитационного моделирования и метода Монте-Карло.

8.7.2 Произвести собственные расчеты по методу Монте-Карло (N = 40).