Существуют технические системы, часто называемые мажоритарными, с дробной кратностью резервирования , где m — число резервных элементов, n —общее число элементов.
Мажоритарная система будет работоспособной в течение времени t (событие А) при отказе не более чем m элементов. Пусть — событие, состоящее в отказе любых i ( ) элементов за время t. Тогда
Событие произойдет, если откажут любые i элементов, а остальные n-i элементов останутся работоспособными. Вероятность этого события выражается формулой Бернулли:
Вероятность безотказной работы мажоритарной системы при условии, что все элементы имеют одинаковую надежность:
При m=0 получаем основное соединение элементов, для которого . При m=n-1 — резервное соединение элементов, для которого . При m=1 получаем систему, отказ которой наступает при отказе двух любых ее элементов. В этом случае .
Рекуррентное соотношение, выражающее вероятность безотказной работы мажоритарной системы через вероятности аналогичной системы меньшей размерности:
Интенсивность отказа мажоритарной системы:
Вычислим, во сколько раз интенсивность отказов системы больше интенсивности отказов одного элемента:
Рассмотрим случай наличия резерва ( ). Тогда в начальный момент времени t=0 получим , а при имеет место равенство:
Таким образом, наличие резерва приводит к изменению отношения интенсивности отказов системы к интенсивности отказов элемента от нуля до постоянной величины, равной количеству основных элементов системы (n-m).