Понижение котировок (0,4) _2qqq
Инвестиции в компанию В
Повышение котировок (0,6)
Понижение котировок (0,4) Рис. 14.4. Дерево решений для задачи инвестирования
Исходя из схемы рис. 14.4 получаем ожидаемую прибыль за год для каждой из двух альтернатив.
Для акций компании А: 5000 х 0,6 + (-2000) х 0,4 = 2 200 (долл.). Для акций компании В: 1500 х 0,6 + 500 х 0,4 = 1 100 (долл.).
Вашим решением, основанным на этих вычислениях, является покупка акций компании А.
В теории принятия решений повышение и понижение котировок на бирже именуются состояниями природы, возможные реализации которых являются случайными событиями (в данном случае с вероятностями 0,6 и 0,4). В общем случае задача принятия решений может включать п состояний природы и т альтернатив. Если Pj — вероятность ;-го состояния природы, а ац — платеж, связанный с принятием решения i при состоянии природы j (i = 1, 2, т, j = 1, 2, п), тогда ожидаемый платеж для решения t вычисляется в виде
м^ = a,iPi + «А + ••• + a,J>»>i= !> 2> •••> "> где по определению р, + рг + ... + рп = 1.
Наилучшим решением будет то, которое соответствует MV" = max, {MVt или
MV' = min,{/V/V;}, в зависимости от того, является ли платеж в задаче доходом
(прибылью) или убытком (затратами).
УПРАЖНЕНИЯ 14.2.1
1. Вас пригласили на телевизионную игру Колесо фортуны. Колесо управляется электронным образом с помощью двух кнопок, которые сообщают колесу сильное (В) или слабое (Н) вращение. Само колесо разделено на равные области — белую (Б) и красную (К). Вам сообщили, что в белой области колесо останавливается с вероятностью 0,3, а в красной — 0,7. Плата, которую вы получаете за игру, равна (в долл.) следующему.
Глава 14. Теория игр и принятия решений
Б К
-2500 |
Изобразите соответствующее дерево решений.
2. Фермер Мак-Кой может выращивать либо кукурузу, либо соевые бобы. Вероятность того, что цены на будущий урожай этих культур повысятся, останутся на том же уровне или понизятся, равна соответственно 0,25, 0,30 и 0,45. Если цены возрастут, урожай кукурузы даст 30 000 долл. чистого дохода, а урожай соевых бобов — 10 000 долл. Если цены останутся неизменными, Мак-Кой лишь покроет расходы. Но если цены станут ниже, урожай кукурузы и соевых бобов приведет к потерям в 35 000 и 5 000 долл. соответственно.
a) Представьте данную задачу в виде дерева решений.
b) Какую культуру следует выращивать Мак-Кою?
3. Допустим, у вас имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда открытого типа: простой, специальный (обеспечивающий максимальную долгосрочную прибыль от акций мелких компаний) и глобальный. Прибыль от инвестиции может измениться в зависимости от условий рынка. Существует 10% -ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится, 50%-ная— что рынок останется умеренным и 40%-ная— рынок будет возрастать. Следующая таблица содержит значения процентов прибыли от суммы инвестиции при трех возможностях развития рынка.
Альтернатива (фонды) | Процент прибыли от инвестиции | (%) |
Ухудшающийся рынок Умеренный рынок | Растущий рынок | |
Простой | +5 +7 | +8 |
Специальный | -10 +5 | +30 |
Глобальный | +2 +7 | +20 |
a) Представьте задачу в виде дерева решений.
b) Какой фонд открытого типа вам следует выбрать?
4. Предположим, у вас имеется возможность вложить деньги либо в 7,5%-ные облигации, которые продаются по номинальной цене, либо в специальный фонд, который выплачивает лишь 1% дивидендов. Если существует вероятность инфляции, процентная ставка возрастет до 8%, и в этом случае номинальная стоимость облигаций увеличится на 10%, а цена акций фонда — на 20% . Если прогнозируется спад, то процентная ставка понизится до 6%. При этих условиях ожидается, что номинальная стоимость облигаций поднимется на 5%, а цена акций фонда увеличится на 20%. Если состояние экономики останется неизменным, цена акций фонда увеличится на 8% , а номинальная стоимость облигаций не изменится. Экономисты оценивают в 20% шансы наступления инфляции и в 15% — наступление спада. Ваше решение относительно инвестиций принимается с учетом экономических условий следующего года.
a) Представьте задачу в виде дерева решений.
b) Будете ли вы покупать акции фонда или облигации?
14.2. Принятие решений в условиях риска
5. Фирма планирует производство новой продукции быстрого питания в национальном масштабе. Исследовательский отдел убежден в большом успехе новой продукции и хочет внедрить ее немедленно, без рекламной кампании на рынках сбыта фирмы. Отдел маркетинга положение вещей оценивает иначе и предлагает провести интенсивную рекламную кампанию. Такая кампания обойдется в 100 ООО долл., а в случае успеха принесет 950 ООО долл. годового дохода. В случае провала рекламной кампании (вероятность этого составляет 30%) годовой доход оценивается лишь в 200 000 долл. Если рекламная кампания не проводится вовсе, годовой доход оценивается в 400 000 долл. при условии, что покупателям понравится новая продукция (вероятность этого равна 0,8), и в 200 000 долл. с вероятностью 0,2, если покупатели останутся равнодушными к новой продукции.
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Как должна поступить фирма в связи с производством новой продукции?
6. Симметричная монета подбрасывается три раза. Вы получаете один доллар за каждое выпадение герба (Г) и дополнительно 0,25 доллара за каждые два последовательных выпадения герба (заметим, что выпадение ГГГ состоит из двух последовательностей ГГ). Однако вам приходится платить 1,1 долл. за каждое выпадение решки (Р). Вашим решением является участие или неучастие в игре.
a) Постройте соответствующее дерево решений для описанной игры.
b) Будете ли вы играть в эту игру?
7. Предположим, у вас имеется возможность сыграть в игру следующего содержания. Симметричная игральная кость бросается два раза, при этом возможны четыре исхода: 1) выпадает два четных числа, 2) выпадает два нечетных числа, 3) выпадает сначала четное, затем нечетное число, 4) выпадает сначала нечетное, затем четное число. Вы можете делать одинаковые ставки на два исхода. Например, вы можете поставить на два четных числа (исход 1) и два нечетных (исход 2). Выигрыш на каждый доллар, поставленный на первый исход, равен 2 доллара, на второй и третий исходы — 1,95 доллара, на четвертый — 1,50 доллара.
a) Постройте дерево решений для описанной игры.
b) На какие исходы следует делать ставки?
c) Можно ли иметь стабильный выигрыш в этой игре?
8. Фирма производит партии продукции с 0,8, 1, 1,2 и 1,4 % бракованных изделий с вероятностями 0,4, 0,3, 0,25 и 0,05 соответственно. Три потребителя А, В и С заключили контракт на получение партий изделий с процентом некачественных изделий не выше 0,8, 1,2 и 1,4% соответственно. Фирма штрафуется в сумме 1000 долл. за каждый пункт процента3 в случае, если процент некачественных изделий выше указанного. Наоборот, поставка партий изделий с меньшим процентом бракованных изделий, чем оговорено в контракте, приносит фирме прибыль в 500 долл. за каждый пункт процента. Предполагается, что партии изделий перед отправкой не проверяются.
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Какой из потребителей должен иметь наивысший приоритет при получении своего заказа?
Пункт процента — это одна десятая процента. — Прим. ред.
Глава 14. Теория игр и принятия решений
9. Фирма планирует открыть новое предприятие в Арканзасе. В настоящее время имеется возможность построить либо крупное предприятие, либо небольшое, которое через два года можно будет расширить при условии высокого спроса на выпускаемую им продукцию. Рассматривается задача принятия решений на десятилетний период. Фирма оценивает, что на протяжении этих 10 лет вероятность высокого и низкого спроса на производимую продукцию будет равна 0,75 и 0,25 соответственно. Стоимость немедленного строительства крупного предприятия равна 5 млн. долл., а небольшого — 1 млн. долл. Расширение малого предприятия через два года обойдется фирме в 4,2 млн. долл. Прибыль, получаемая от функционирования производственных мощностей на протяжении 10 лет, приводится в следующей таблице.
Ожидаемый доход за год (тыс. долл.) | ||
Альтернатива | Высокий спрос | Низкий спрос |
Крупное предприятие сейчас | ||
Небольшое предприятие сейчас | ||
Расширенное предприятие через 2 года |
a) Постройте соответствующее дерево решений, принимая во внимание, что через два года фирма может либо расширить небольшое предприятие, либо не расширять его.
b) Сформулируйте стратегию строительства для фирмы на планируемый 10-летний период. (Для простоты не принимайте во внимание возможную инфляцию.)
10. Решите предыдущее упражнение, предположив, что ежегодная учетная ставка равна 10 % и что решение принимается с учетом инфляции. (Совет. Для решения задачи необходимы таблицы сложных процентных ставок.)
11. Решите упражнение 9, предположив, что спрос может быть высоким, средним и низким с вероятностями 0,7, 0,2 и 0,1 соответственно. Расширение небольшого предприятия будет проведено лишь в том случае, если на протяжении первых двух лет спрос будет высоким. Следующая таблица содержит данные о прибылях за год.
Ожидаемый доход за год (тыс. долл.) | |||
Альтернатива | Высокий спрос | Средний спрос | Низкий спрос |
Крупное предприятие сейчас | |||
Небольшое предприятие сейчас | |||
Расширенное предприятие через 2 года |
12. Электроэнергетическая компания использует парк из 20 грузовых автомобилей для обслуживания электрической сети. Компания планирует периодический профилактический ремонт автомобилей. Вероятность поломки автомобиля в первый месяц равна нулю, во второй месяц — 0,03 и увеличивается на 0,01 для каждого последующего месяца, по десятый включительно. Начиная с одиннадцатого месяца и далее, вероятность поломки сохраняется постоянной на уровне 0,13. Случайная поломка одного грузового автомобиля обходится компании в 200 долл., а планируемый профилактический ремонт в 75 долл.
14.2. Принятие решений в условиях риска
Компания хочет определить оптимальный период (в месяцах) между планируемыми профилактическими ремонтами.
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Определите оптимальную длину цикла для профилактического ремонта.
13. Ежедневный спрос на булочки в продовольственном магазине задается следующим распределением вероятностей.
п | |||||
Рп | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,15 | 0,10 |
Магазин покупает булочку по 55 центов, а продает по 1,20 долл. Если булочка не продана в тот же день, то к концу дня она может быть реализована за 25 центов. Величина запаса булочек может принимать одно из возможных значений спроса, которые перечислены выше.
a) Постройте соответствующее дерево решений.
b) Сколько булочек необходимо заказывать ежедневно?
14. Пусть в предыдущем упражнении временной интервал, для которого необходимо решить задачу принятия решений, составляет два дня. Альтернативы для второго дня зависят от объема реализации булочек в первый день. Если реализован в точности весь запас первого дня, магазин закажет такое же количество булочек и на второй день. Если потребность в булочках в первый день превышает имеющийся запас, то для второго дня магазин может заказать любой из объемов спроса на булочки, который превышает запас первого дня. И наконец, если в первый день реализовано меньше булочек, чем было закуплено, то для второго дня магазин может заказать любой из объемов спроса на булочки, который меньше запаса первого дня. Постройте соответствующее дерево решений и определите оптимальную стратегию заказа.
15. Автомат производит а тысяч единиц некоего продукта ежедневно. Если а увеличивается, доля брака р, будучи случайной величиной, возрастает в соответствии со следующей функцией плотности вероятности:
Каждое бракованное изделие приносит убыток в 50 долл., а качественное изделие — прибыль в 5 долл.
a) Постройте дерево решений для этой задачи.
b) Определите значение а, при котором ожидаемая прибыль принимает максимальное значение.
16. Наружный диаметр d цилиндра, производимого автоматом, имеет верхнее и нижнее допустимые значения d + tv и d - tL соответственно. Производственный процесс настроен так, что величина диаметра является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием // и стандартным отклонением а. Каждый цилиндр со значением диаметра, превышающим верхнее допустимое значение, доводится до нужных размеров за сх долл. Цилиндр, диаметр которого меньше установленной нижней нормы, реализуется с убытком с2 долл. Определите оптимальное значение настройки для автомата.
Глава 14. Теория игр и принятия решений
17. Критерий предельного уровня. Фирма для технических целей использует в одном из своих производственных процессов химические препараты (химикалии). Срок годности этих препаратов составляет один месяц, после чего оставшаяся их часть уничтожается. Объем используемых фирмой химических препаратов (в галлонах) является случайной величиной, изменяющейся в соответствии со следующим распределением.
Химикалии поступают в производство в начале каждого месяца. Фирма планирует определить количество химических препаратов, удовлетворяющих двум конфликтующим критериям (или предельным уровням): среднее число оставшихся химикалий не должно превышать 20 галлонов в месяц, и среднее количество недостающих химикалий не должно превышает 40 галлонов в месяц.
14.2.2. Другие критерии ожидаемого значения
В этом разделе рассматриваются две модификации критерия ожидаемого значения. Первая состоит в определении апостериорных вероятностей на основе эксперимента над исследуемой системой, вторая — в определении полезности реальной стоимости денег.
Апостериорные вероятности Байеса. Распределения вероятностей, которые используются при формулировке критерия ожидаемого значения, получаются, как правило, из накопленной ранее информации (см. раздел 12.5). В некоторых случаях оказывается возможным пересчитать эти вероятности с помощью текущей и/или полученной ранее информации, которая обычно основывается на исследовании выборочных (или экспериментальных) данных. Получаемые при этом вероятности называют апостериорными (или байесовскими), в отличие от априорных, полученных из исходной информации. Следующий пример показывает, как рассмотренный в разделе 14.2.1 критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, чтобы воспользоваться новой информацией, содержащейся в апостериорных вероятностях.
Пример 14.2.2
В примере 14.3.1 априорные вероятности 0,6 и 0,4 повышения и понижения котировок акций на бирже были определены из наличных публикаций финансового характера. Предположим, вместо того, чтобы полностью полагаться на эти публикации, вы решили провести личное исследование путем консультаций с другом, который хорошо разбирается в вопросах, касающихся фондовой биржи. Друг высказывает общее мнение "за" или "против" инвестиций. Это мнение в дальнейшем определяется количественно следующим образом. При повышении котировок его мнение с 90% -ной вероятностью будет "за", при снижении котировок вероятность его мнения "за" уменьшится до 50 %. Каким образом можно извлечь пользу из этой дополнительной информации?
Мнение друга фактически представляет условные вероятности "за-против" при заданных состояниях природы в виде повышения и понижения котировок. Введем следующие обозначения:
v, — мнение "за",
I —Vпение "против",
в противном случае.
14.2. Принятие решений в условиях риска
т, — повышение котировок, т2 — понижение котировок.
Мнение друга можно записать в виде вероятностных соотношений следующим образом.
Р{v, |/и,} = 0,9, P{v, !«,.} = 0,1,
P{v2|/»,} = 0,5, P{v2|m2} = 0,5.
С помощью этой дополнительной информации задачу выбора решения можно сформулировать следующим образом.
1. Если мнение друга "за", акции какой компании следует покупать — А или В?
2. Если мнение друга "против", то, опять-таки, — акции какой компании следует покупать — А или В?
Рассматриваемую задачу можно представить в виде дерева решений, показанного на рис. 14.5. Узлу 1 здесь соответствует случайное событие (мнение друга) с соответствующими вероятностями "за" и "против". Узлы 2 и 3 представляют выбор между компаниями А и В при известном мнении друга "за" или "против" соответственно. Узлы 4-7 соответствуют случайным событиям, связанным с повышением и понижением котировок.