Решаемой графическим методом
Пусть дана задача линейного программирования (ЗЛП) с целевой функцией
z = c1x1 + c2x2
и ограничениями в виде неравенств
x1 ³ 0, x2 ³ 0.
Необходимо среди допустимых решений системы найти такое, которое обращает в максимум или минимум целевую функцию.
Уравнения вида ai1x1 + ai2x2 = bi на плоскости x1Оx2 определяют прямую, разбивающую всю плоскость на две полуплоскости, каждая из которых лежит по одну сторону от прямой. Сама прямая называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям.
Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству
ai1x1 + ai2x2 ≤ bi .
Координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, удовлетворяют неравенству
ai1x1 + ai2x2 ³ bi .
Пересечение конечного числа полуплоскостей, заданных неравенствами системы, образует область допустимых решений.
Поставленной задаче можно дать следующую интерпретацию. Среди всех точек области допустимых решений найти такую, которая обращает в максимум или минимум целевую функцию.
Для нахождения максимума или минимума функции z используется градиент целевой функции 
= (c1; c2). Он указывает направление наибольшего возрастания целевой функции.
Выберем произвольное значение с0. Получим уравнение прямой с
c1x1 + c2x2 = c0
из семейства параллельных прямых, перпендикулярных вектору-градиенту = (c1; c2). Прямые такого вида называются линиями уровня.
Перемещая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора-градиента = (c1; c2), можно найти предельный вариант в заданной области.
Решением задачи на максимум является наиболее удаленная крайняя точка, в которой линия уровня встречается с областью допустимых значений при перемещении в направлении вектора = (c1; c2). Если задача сформулирована на минимум целевой функции, то решением задачи является крайняя точка, в которой прямая с встречается с областью допустимых решений при параллельном перемещении в направлении, противоположном направлению вектора = (c1; c2).