Простейший пуассоновский поток событий.

Для простейшего потока справедливы три свойства:

1) Стационарность потока λ = const. Интенсивность λ – частота появления события или среднее число событий, поступающих в СМО в единицу времени.

2) Ординарность – в один и тот же момент времени может поступить не более одной заявки.

3) Отсутствие последствия, т.е. заявки поступают в систему за время t поступит m заявок будет

Р_tm= ((λ*t)^m/m!)*e^-λ*t

а интервал времени между очередными заявками подчиняется показательному (экспотенциальному) закону вида φ(t) = λ*e^-λ*t. Закон распределения плотностью φ(t) называется показательным, а λ называется параметром показательного закона.

Найдем числовые характеристики:

- математическое ожидание

m_t = ʃ^∞₀ t f(t)dt = λ ʃ^∞₀ t * e^-λ*t = 1/λ

- дисперсия составляет

D_t = 1/λ²

 

- среднее квадратичное отклонение

σ_t = 1/λ

 

Итак, для показательного распределения

m_t = σ_t = 1/λ, где λ – интенсивность потока.

 

Для простейшего пуассоновского потока вероятность того, что за некоторое время ۸t в систему не попадет ни одной заявки:

 

Р₀(۸t)= ((λ*۸t)⁰/0!)*e^-λ*۸t = e^-λ*۸t

 

а вероятность того, что за время ۸t в систему попадет хотя бы одна заявка:

Р₁(۸t)= (1 – Р₀(۸t)) = 1 - e^-λ*۸t

Разлагая e^-λ*۸t в ряд и пренебрегая малыми величинами, получаем:

Р₁(۸t)= (1 - (1 - λ*۸t)) = λ*۸t – вероятность появления события.

Таким образом, в СМО с простейшим пуассоновским законом (входы – выходы): входной поток характеризуется интенсивностью λ, а потом характеризуется средней интенсивностью обслуживания μ.

t_обсл = 1/μ