Реферат Курсовая Конспект
Система дифференциальных уравнений Колмогорова. - Лекция, раздел Науковедение, Курс лекций по дисциплине: МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ Рассмотрим Математическое Описание Процесса С Дискретными Состояниями Системы...
|
Рассмотрим математическое описание процесса с дискретными состояниями системы и непрерывным временем на примере случайного процесса, размеченный граф которого размещен на рисунке:
Полагая, что все переходы из состояния Si в состояние Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностью λij. Пусть система S имеет четыре состояния S1 S2 S3 S4. Найдем одну из вероятностей состояния, например, Р1(t) - это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S1, придав t малое приращение ۸t, найдем вероятность того, что в момент времени t + ۸t система будет находиться в состоянии S1. Существует два варианта этого собыия:
1) В момент времени t система уже была в состоянии S1 и за ۸t не вышла из этого состояния.
2) В момент времени t система была в состоянии S3, а за время ۸t перешла из S3 в S1.
Вероятность первого исхода равна произведению вероятности Р1(t), что в момент времени t система была в состоянии S1 на условную вероятность того, что будучи в состоянии S1 система за время ۸t не перейдет из него в S2.
Р1(t)(1-P12(۸t));
Учитывая, что P12(۸t) = λ12*۸t; тогда вероятность первого исхода равна:
Р1(t)(1-λ12(۸t)).
Аналогично, вероятность второго исхода равна вероятности того, что в момент времен t система была в состоянии S3, умноженную на условную вероятность перехода за время ۸t в состояние S1:
Р3(t)P31(۸t) = Р1(t) λ31*۸t;
Используя формулу полной вероятности:
Р1(t+۸t) = Р1(t)(1-λ12(۸t)) + P3(t)*λ31*۸t;
Раскрыв скобки и перенеся Р1(t) в левую часть и разделив обе части равенства на ۸t получим:
(Р1(t+۸t) - Р1(t)) / ۸t = -λ12 * Р1(t) + λ31* P3(t);
Устремляя ۸t к нулю и переходя к пределу, имеем:
lim(Р1(t+۸t) - Р1(t)) / ۸t = (d Р1(t))/dt = -λ12 * Р1(t) + λ31* P3(t);
۸t → 0
Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть выведены и для остальных вероятностей Р2(t), Р3(t), Р4(t):
(d Р2(t))/dt = -λ23 * Р2(t) - λ24 * Р2(t) + λ12* P1(t) + λ42 * Р4(t);
(d Р3(t))/dt = -λ31 * Р3(t) – λ34 * Р3(t) + λ23* P2(t);
(d Р4(t))/dt = -λ42 * Р4(t) + λ24 * Р2(t)+ λ34* P3(t);
Эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями Колмогорова.
Заметим, что поскольку Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1, то любую из вероятностей можно выразить через три остальные.
Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова:
В левой части уравнения стоит производная вероятности состояния а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Если стрелки направлены из состояния, соответствующий член имеет знак «минус», если в состояние - знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода λij, на вероятность того состояния Рi(t), из которого выходит стрелка.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ... Курс лекций по дисциплине...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Система дифференциальных уравнений Колмогорова.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов