рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова. - Лекция, раздел Науковедение, Курс лекций по дисциплине: Методы исследования операций Рассмотрим Математическое Описание Процесса С Дискретными Состояниями Системы...

Рассмотрим математическое описание процесса с дискретными состояниями системы и непрерывным временем на примере случайного процесса, размеченный граф которого размещен на рисунке:

Полагая, что все переходы из состояния Si в состояние Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностью λij. Пусть система S имеет четыре состояния S1 S2 S3 S4. Найдем одну из вероятностей состояния, например, Р1(t) - это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S1, придав t малое приращение ۸t, найдем вероятность того, что в момент времени t + ۸t система будет находиться в состоянии S1. Существует два варианта этого собыия:

1) В момент времени t система уже была в состоянии S1 и за ۸t не вышла из этого состояния.

2) В момент времени t система была в состоянии S3, а за время ۸t перешла из S3 в S1.

 

Вероятность первого исхода равна произведению вероятности Р1(t), что в момент времени t система была в состоянии S1 на условную вероятность того, что будучи в состоянии S1 система за время ۸t не перейдет из него в S2.

Р1(t)(1-P12(۸t));

Учитывая, что P12(۸t) = λ12*۸t; тогда вероятность первого исхода равна:

Р1(t)(1-λ12(۸t)).

Аналогично, вероятность второго исхода равна вероятности того, что в момент времен t система была в состоянии S3, умноженную на условную вероятность перехода за время ۸t в состояние S1:

Р3(t)P31(۸t) = Р1(t) λ31*۸t;

Используя формулу полной вероятности:

Р1(t+۸t) = Р1(t)(1-λ12(۸t)) + P3(t)*λ31*۸t;

Раскрыв скобки и перенеся Р1(t) в левую часть и разделив обе части равенства на ۸t получим:

1(t+۸t) - Р1(t)) / ۸t = -λ12 * Р1(t) + λ31* P3(t);

Устремляя ۸t к нулю и переходя к пределу, имеем:

 

lim(Р1(t+۸t) - Р1(t)) / ۸t = (d Р1(t))/dt = -λ12 * Р1(t) + λ31* P3(t);

۸t → 0

Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть выведены и для остальных вероятностей Р2(t), Р3(t), Р4(t):

(d Р2(t))/dt = -λ23 * Р2(t) - λ24 * Р2(t) + λ12* P1(t) + λ42 * Р4(t);

(d Р3(t))/dt = -λ31 * Р3(t) – λ34 * Р3(t) + λ23* P2(t);

(d Р4(t))/dt = -λ42 * Р4(t) + λ24 * Р2(t)+ λ34* P3(t);

 

Эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями Колмогорова.

Заметим, что поскольку Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1, то любую из вероятностей можно выразить через три остальные.

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова:
В левой части уравнения стоит производная вероятности состояния а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Если стрелки направлены из состояния, соответствующий член имеет знак «минус», если в состояние - знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода λij, на вероятность того состояния Рi(t), из которого выходит стрелка.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций по дисциплине: Методы исследования операций

Федеральное агенство по образованию.. Московский государственный строительный университет.. Курс лекций по дисциплине..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Экономико-математическая модель. ТЗ
Транспортные задачи(ТЗ)- частный случай задачи линейного программирования. В ТЗ существуют поставщики и потребители грузов. У каждого поставщика имеется определенное количест

Метод северо-западного угла.
С помощью метода северо-западного угла реализуется первоначальный план поставок.   Таблица 2.1   Nj M

Метод потенциалов нахождения оптимального решения.
Введем показатель U1 для каждой строки и V1 для каждого столбца. Эти показатели называются потенциалами поставщиков и потребителей. Потенциалы подбираются так, чтобы для запол

Открытая (не сбалансированная) модель ТЗ.
Открытая модель сводится к закрытой. Если суммарная мощность поставщика больше суммарного спроса потребителей, то вводится фиктивный потребитель, к которому присваивается спрос равный разнице между

Постановка задачи динамического программирования.
Рассматривается управляемый процесс. В результате управления система (объект управления) приводится из начального состояния S0 в конечное S(S0 → S). Предположим, что упр

Принцип оптимальности.
Впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 году. Каково бы не было состояние системы в результате какого-либо числа шагов на ближайшем шаге нужно выбрать управление так, чтобы оно приво

Задачи замены оборудования без приведения затрат к текущему моменту времени.
1) Постановка задачи: В эксплуатации находятся оборудование, цена нового оборудования S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования С t зависящие от времени. В результ

Задачи замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени.
  1) Постановка задачи: В эксплуатация находится с первоначальной ценой S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, 3 . . . t - С1, С

Детерминированные задачи упорядочивания.
  1) Постановка задачи: Имеется несколько изделий, каждое из которых надо обработать на двух машинах последовательно (сначала на первой, потом на второй). Известны вре

Решение игры с седловой точкой.
  B1 B2 А1 -4 А2

Смешанные стратегии.
Рассмотрим пример;   В1 В2 min А1

Дублирование и доминирование стратегий.
Если матрица игры содержит несколько одинаковых строк или стобцов, то из них оставляют одну строку(столбец), а отброшенным стратегиям присваиваем нулевые вероятности. Это дублирование с

Решение игры 2хn.
Самым удобным способом для определения оптимальной стратегии игроков в игре 2хn является графическим способом.   Пример:  

Марковские процессы.
Для математического описания многих случайных процессов может быть применен аппарат, разработанный в теории вероятностей, для так называемых Марковских случайных процессов. Они обладают следующим с

Простейший пуассоновский поток событий.
Для простейшего потока справедливы три свойства: 1) Стационарность потока λ = const. Интенсивность λ – частота появления события или среднее число событий, поступающих в СМО в ед

Уравнение Колмогорова для простейшего потока событий.
Особый интерес представляют вероятности системы Рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t→∞, которые называются предельными вероятностями состояний. Т.к. пр

Системы массового обслуживания с отказом.
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будет рассматривать: А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;

Системы массового обслуживания с ожиданием
В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей – абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа ρотк, среднего числ

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги