Система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Рассмотрим математическое описание процесса с дискретными состояниями системы и непрерывным временем на примере случайного процесса, размеченный граф которого размещен на рисунке:

Полагая, что все переходы из состояния Si в состояние Sj происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностью λij. Пусть система S имеет четыре состояния S1 S2 S3 S4. Найдем одну из вероятностей состояния, например, Р1(t) - это вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии S1, придав t малое приращение ۸t, найдем вероятность того, что в момент времени t + ۸t система будет находиться в состоянии S1. Существует два варианта этого собыия:

1) В момент времени t система уже была в состоянии S1 и за ۸t не вышла из этого состояния.

2) В момент времени t система была в состоянии S3, а за время ۸t перешла из S3 в S1.

 

Вероятность первого исхода равна произведению вероятности Р1(t), что в момент времени t система была в состоянии S1 на условную вероятность того, что будучи в состоянии S1 система за время ۸t не перейдет из него в S2.

Р1(t)(1-P12(۸t));

Учитывая, что P12(۸t) = λ12*۸t; тогда вероятность первого исхода равна:

Р1(t)(1-λ12(۸t)).

Аналогично, вероятность второго исхода равна вероятности того, что в момент времен t система была в состоянии S3, умноженную на условную вероятность перехода за время ۸t в состояние S1:

Р3(t)P31(۸t) = Р1(t) λ31*۸t;

Используя формулу полной вероятности:

Р1(t+۸t) = Р1(t)(1-λ12(۸t)) + P3(t)*λ31*۸t;

Раскрыв скобки и перенеся Р1(t) в левую часть и разделив обе части равенства на ۸t получим:

1(t+۸t) - Р1(t)) / ۸t = -λ12 * Р1(t) + λ31* P3(t);

Устремляя ۸t к нулю и переходя к пределу, имеем:

 

lim(Р1(t+۸t) - Р1(t)) / ۸t = (d Р1(t))/dt = -λ12 * Р1(t) + λ31* P3(t);

۸t → 0

Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть выведены и для остальных вероятностей Р2(t), Р3(t), Р4(t):

(d Р2(t))/dt = -λ23 * Р2(t) - λ24 * Р2(t) + λ12* P1(t) + λ42 * Р4(t);

(d Р3(t))/dt = -λ31 * Р3(t) – λ34 * Р3(t) + λ23* P2(t);

(d Р4(t))/dt = -λ42 * Р4(t) + λ24 * Р2(t)+ λ34* P3(t);

 

Эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями Колмогорова.

Заметим, что поскольку Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1, то любую из вероятностей можно выразить через три остальные.

Сформулируем правило составления уравнений Колмогорова:
В левой части уравнения стоит производная вероятности состояния а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Если стрелки направлены из состояния, соответствующий член имеет знак «минус», если в состояние - знак «плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода λij, на вероятность того состояния Рi(t), из которого выходит стрелка.