Уравнение Колмогорова для простейшего потока событий.

Особый интерес представляют вероятности системы Рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t→∞, которые называются предельными вероятностями состояний.

Т.к. предельные вероятности постоянны, то заменяя в уравнениях Колмогорова их производные нулевыми значениями, получим систему линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим. При этом сумма вероятностей предельных состояний ∑ni=1 Рi = 1

Для системы S с графом состояний (рис 9.1) такая система уравнений имеет вид:

Условие нормировки Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1

Таким образом, можно выразить все вероятности Pi через все интенсивности λij.

Систему 9.1 можно составить непосредственно по размеченному графу, если руководствоваться правилом:

Слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния Pi, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа – сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в i – ое состояние, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример 9.1

Система S имеет состояния S1, S2, S3, S4, размеченный граф которой дан на рисунке 9.2 (рядом с каждой стрелкой проставлено значение интенсивности). Вычислить предельные вероятности состояний Р1, Р2, Р3, Р4.

Получим систему уравнений:

 

 

 

Добавив нормированные условия Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1

Получим: Р1 = 1/24; Р2 = ½; Р3 = 5/24; Р4 = ¼.