Системы массового обслуживания с отказом.

В качестве показателей эффективности СМО с отказами будет рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Ротк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.

_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

 

Одноканальная система с отказами.

Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивность λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S имеет два состояния: S0 – канал свободен, S1 – канал занят (рис 9.5).

В предельном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

Учитывая нормировочное уравнение P0 + P1 = 1, найдем предельные вероятности:

P0 = μ/(λ+μ) ;

P1 = λ/(λ+μ) ;

Здесь P0 определяет относительную пропускную способность Q системы, т.е

Q = μ/(λ+μ), т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

А P1 определяет вероятность отказа Pотк, т.е вероятность того, что заявка покинет СМО не обслуженной:

Pотк = λ/(λ+μ).

Найдем абсолютную пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени

А = Q * λ = λ*μ/(λ+μ).

Пример 9.3

Известно, что заявки на телефонные переговоры поступаю с интенсивностью λ = 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора _ t = 2 мин. Определить эффективность работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.

 

 

Многоканальная СМО с отказами.

Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели её эффективности.

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;
Q- относительную пропускную способность, т.е среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой.

Ротк – вероятность отказа, т.е того что заявка покинет СМО не обслуженной.

_ k _ среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

Состояние системы пронумеруем в соответствии с числом заявок.

S0 – в СМО нет ни одной заявки (все каналы свободны);

S0 – в системе имеется одна заявка (один канал занят, остальные свободны).

……………………………………………………………………………………….

Sk - в системе имеется k заявок.

……………………………………………………………………………………….

Sn – в системе имеется n заявок.

Размеченный граф состояний соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке 9.6.

Поток заявок последовательно переводит систему из левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из правого состояния в соседнее левое постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S’1 (один канал занят), когда кончится обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживания будет 2μ.

Суммарный поток обслуживания, в состоянии S3 ,будет иметь интенсивность 3М, К-каналами –КМ.

В формуле (9.4) для схемы гибели и размножения (рис. 9.6) получим для предельной вероятности состояний

ρ0 =( 1+ λ/М + λ2/2!М2 +…+ λk/k!Мk +…+ λn/n!Мn)-1, где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при ρ0 в выражениях для предельных вероятностей ρ1, ρ2,…, ρk,…, ρn. Введем величину ρ0= λ/М – приведенная интенсивность потока заявок. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда

ρ0 =( 1+ ρ + ρ 2/2! +…+ ρ k/k! +…+ ρ n/n!)-1 (9.5) тогда,

 

ρ1= ρ* ρ0; ρ2 = (ρ 2/2!) ρ0; … ; ρk= (ρ k/k!) ρ0 ;…; ρn= (ρ n/n!) ρ0 –(9.6)

Формулы (9.5) и (9.6) для предельных вероятностей получили названия формул Эрлана (основателя теории массового обслуживания).

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов будут заняты, т.е:

ρотк= (ρ n/n!) ρ 0

Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q=1- ρотк=1- (ρ n/n!) ρ 0

Абсолютная пропускная способность:

А = Q*λ = λ * (1- (ρ n/n!) ρ 0).

Среднее число занятных каналов К есть математическое ожидание числа занятых каналов:

n

К= Σ K*ρ k, где ρ k - предельные вероятности состояний, определяемых по формулам

k=0

(9.5) и (9.6).

Т.к. каждый занятый канал обслуживает в среднем М заявок(в единицу времени), то среде число занятых каналов:

К= =ρ(1- (ρn /n!)*ρ0)

Пример 9.4 Станция телефонной связи имеет 4 канала (n=4). Интенсивность заявок λ=1 заявка/ мин.. Среднее время обслуживания одной заявки t=2мин.. Процесс работы станции-марковский. Найти финальные вероятности состояний станции и показатели ее эффективности.

М= = , ρ= = =2.

В соответствии с (9.5)

ρ0=(1+ρ+ρ2/2! + ρ3/3!+ ρ4/4!)-1 =(1+2+22/(1*2)+23/(1*2*3)+24/(1*2*3*4))-1=0.1429;

ρ1= ρ* ρ0=2*0.1429=0.2857

ρ2= (ρ2/(1*2))* ρ0=(4/2)*0.1429=0.2857

ρ3= (ρ3/(1*2*3))* ρ0=(8/6)*0.1429=0.0952

ρ4= ((ρ4/(1*2*3*4))* ρ0=(16/24)*0.1429=0.0952

∑ ρi=0.1429+0.2857+0.2857+0.1905+0.00952=1

i=1

Вероятность отказа СМО

ρотк.= ρ4=0.0952

Относительная пропускная способность СМО, т.е. вероятность того,что заявки будут обслужены: Q=1- ρотк =0.9048.

Абсолютная пропускная способность СМО:А=λ*Q=1*0.9048≈0.9 заявок/мин.

Среднее число занятых каналов К==0.9/0.5=1.8

Из анализа полученных результатов видно, что в данной СМО, имеющей 4 канала в среднем работает только 2, а остальные два свободных. Из поступающих заявок 90% удовлетворяются и 10% заявок не обслуживаются.