рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Системы массового обслуживания с ожиданием

Системы массового обслуживания с ожиданием - Лекция, раздел Науковедение, Курс лекций по дисциплине: Методы исследования операций В Качестве Показателей Эффективности Смо С Ожиданием, Кроме Уже Известных Пок...

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме уже известных показателей – абсолютной А и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа ρотк, среднего числа занятых каналов К будем рассматривать также следующие:

Lсист – среднее число заявок в системе;

Тсист – среднее время пребывания заявки в системе;

Lоч – среднее число заявок в очереди(длина очереди)

Точ – среднее время пребывания заявки в очереди;

Pзан – вероятность того, что канал занят(степень загрузки канала).

 

Одноканальная система с неограниченной очередью

(например, телефон- автомат с одной буквой).

Имеется одноканальная СМО с интенсивностью потока заявок λ и потока обслуживания М. Необходимо найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности СМО.

Система может находиться в одном из состояний:S0, S1 , S2,…, Sk, по числу заявок, находящихся в СМО. S0 – канал свободен; S1 - канал занят, очереди нет; S2 – канал занят, одна заявка в очереди; …, Sk – канал занят, (k-1) заявок стоит в очереди.

Граф состояний СМО представлен на рисунке 9.7

… …    
Sk
… …    
S2
S1
S0
λ λ λ λ λ

 

μ μ μ μ μ

Этот процесс гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Используя формулы(9.5) с учетом бесконечного числа состояний системы, получим:

ρ0 =(1++( )2 +…+()k+…)-1= (1+ρ+ρ2+…+ρk+…)-1 (9.7)

Выражение, записанное в скобках(9.7) есть геометрическая прогрессия с суммой, равной , поэтому: ρ0=1-ρ.

Поэтому предельные вероятности других состояний будут:

ρ1= ρ(1- ρ); ρ2 = ρ2(1- ρ);…; ρk = ρk(1- ρ) (9.8)

Они составляют убывающую прогрессию со знаменателем ρ <1.

- среднее число число заявок в системе Lсист.

Определим по формуле математического ожидания, которая с учетом(9.8) примет вид:

∞ ∞

Lсист.= ∑Кρk =(1-ρ) ∑ Кρk (9.9)

k-1 k-1

 

Можно показать, что формула (9.9) при (ρ<1) преобразуется к виду:

 

Lсист =(9.10)

- Среднее число заявок в очереди Lоч

 

Lоч = Lсист – Lоб (9.11)

- среднее число заявок под обслуживанием Lоб.

Lоб равно вероятности того, что канал занят:

Lоб. = ρзан. = 1- ρ0

Lоб. = ρзан. = ρ (9.12)

Теперь по формуле (9.11) с учетом(9.10) и (9.12)

Lоч= – ρ = ρ2/(1-ρ) (9.13)

- среднее время пребывания заявки в системе

Тсист.= Lсист /λ = (9/14)

 

- среднее время пребывания заявки в очереди

 

Точ.= Lоч/λ = ρ2/λ(1-ρ) (9.15)

Формулы (9.14) и (9.15) называются формулами Литтла.

Пример 9.5

В порту имеется один причал. Интенсивность потока судов λ=0.4 (судов в сутки), среднее время разгрузки одного судна tоб =2 суток. Найти показатели эффективности работы причала, и также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.

Решение:

Имеем:

- приведенная интенсивность потока заявок:

ρ0 ==λtоб =0.4*2=0.8<1

следовательно очередь на нагрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют.

Найдем их:

- вероятность того, что причал свободен

ρ0=1-ρ =1-0.8=0.2

- вероятность того, то он занят

Ρзан=1-0.2=0.8

- вероятность того, что у причала находятся 1, 2 ,3 судна(т.е ожидают разгрузки) (9.8)

ρ1=ρ(1-ρ) =0.8(1-0.8)=0.16

ρ22(1-ρ) =0.82(1-0.8)=0.128

ρ33(1-ρ) =0.83(1-0.8)=0.1024

- вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна

ρ=ρ1+ ρ2+ ρ3=0.16+0.128+0.1024=0.3904

- среднее число судов, ожидающих разгрузки (9.13)

Lоч= ρ2/(1-ρ)=0.82/(1-0.8)=3.2 (судов)

 

- среднее время разгрузки (9.15)

 

Точ.= Lоч/λ = 3.2/0.8= 4(суток)

- среднее число находящихся у причала (9.10)

Lсист ==0.8/(1-0.8)=4 (судна)

- среднее время пребывания у причала (9.14)

Тсист.= Lсист /λ =4/0.8=5 (суток)

Очевидно,что эффективность разгрузки невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшить среднее время разгрузки tоб, либо увеличить число причалов.

 

 

Оценить эффективность работы кафе.

 

Tсист

Tоч

 

 

 

 

Tсист

Tоч

 

 

 

 

ρ

 

 

Пример 9.6

Посетители посещают кафе группами с интенсивностью λ = 1 группа в час.

Обслуживание в кафе продолжается Т сист = 2/3 часа = 0,6667.

Прежде всего определим приведенную интенсивность потока посетителей

 

ρ = λ / μ = λ / (1 / Т сист) = 1 / (1 / 0,0667)

 

- среднее число групп посетителей, одновременно обслуживаемых кафе (9.10):

 

L сист = ρ /(1 - ρ) = 0,6667 / (1 – 0,6667) = 2 группы

 

- среднее время пребывания группы в кафе ( 9.14)

 

Т сист = L сист / λ = 2/1 = 2 часа

 

- среднее число групп, находящихся в очереди ( 9.13)

 

L оч = ρ 2 / ( 1 – ρ ) = 0,66672 / ( 1 – 0,6667) = 1,3336 группы

 

- среднее время пребывания группы в очереди (9.15)

 

Т оч = L оч / λ = 1,3336 / 1 = 1,3336 часа

 

Такое время ожидания для посетителей не приемлемо. Можно ли уменьшить время обслуживания групп. Построим зависимости времени ожидания в очереди Т оч и времени пребывания в кафе Т сист от интенсивности потока групп посетителей. Это можно сделать. Если уменьшить относительную интенсивность потока групп ρ = λ / μ.

Из рис.9.8 видно, что при уменьшении ρ в 2 раза и сохранение одной и той же интенсивности λ = 1, среднее время обслуживания группы Т сист уменьшится с 2 до 0,5 часа, т.е. в 4 раза. При этом среднее время ожидания групп, находящихся в очереди сократятся ≈ в 8 раз ( 1,3336 до 0,6667 ). Это произойдет за счет увеличения интенсивности обслуживания ( с μ = 1,5 группы в час при ρ = 0,6667 до с μ = 3 группы в час при ρ = 0,3333).

 

 

Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Имеется n – канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний – интенсивность μ. Необходимо найти предельные вероятности и показатели ее эффективности.

Граф состояний системы показан на рис. 9.9

 

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

Sn+τ
Sn+1
S n
S k
S 1
S 0
… … … …

… … … …

μ 2 μ k μ (k+1) μ n μ n μ n μ n μ n μ

 

 

S 0 – в системе нет заявок

S 1 – занят один канал остальные свободны и т.д.

И до S n – заняты все каналы, в очереди 1 заявка.

Интенсивность потока обслуживания по мере увеличения заявок от 0 до n, увеличивается от μ до n μ . при числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной n μ.

Используя формулы (9.4) для процесса гибели и размножения, получаются формулы предельных вероятностей, состояний n – канальной СМО с неограниченной очередью.

p0 = ( 1 + (ρ / 1!) + (ρ2 / 2!) + . . . + (ρn / n!) + (ρn+1 / n!(n- ρ)) ) -1

(9.16)

p1 = (ρ / 1!) p0 ; . . .; pk = (ρk / k!) p0 ; . . . ; pn = (ρn / n!) p0 ;

 

pn+1 = (ρn+1 / n*n!) p0 ; . . .; pn+τ = (ρn+τ / nτ *n!) p0

 

Вероятность того, что заявка окажется в очереди

 

р оч = (ρn+1 / n!(n- ρ)) p0 , (9.17)

 

- среднее число занятых каналов

_

к = λ / μ = ρ (9.18)

 

- средне число занятых в очереди

 

L оч = (ρn+1 * p0) / n*n! (1 – p/n)2 (9.19)

 

- среднее число заявок в системе

 

L сист = L оч + ρ (9.20)

 

Среднее время пребывания заявок в системе и среднее время пребывания заявки в очереди находятся по формулам Лита (9.14), (9.15)

Для СМО с неограниченной очередью при ρ < 1 любая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена, т.е. вероятность отказа ρ отк = 0, относительная пропускная спасобность Q = 1, а абсолютная пропускная способность равно интенсивности входящего потока заявок, т.е. А = λ.

 

Пример 9.7

В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81

_

чел/час. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного покупателя t об = 2 мин.

Определим минимальное количество кассиров n min , при котором очередь не будет расти до бесконечности и соответствующие характеристики обслуживания при n = n min .

По условию λ = 81(1/τ) = 81/60 = 1,35 1/мин

_

ρ = λ / μ = λ t об = 1,35 * 2 = 2,7. Т.о. минимальная СМО при n = 3.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле 9.26

 

p0 = ( 1 + (ρ / 1!) + (ρ2 / 2!) + (ρ3 / 3!) + (ρ4 / 3!(n- ρ)) ) -1 = (1 + 1,27 + 2,72 / 2! + 2,73 / 3! + 2,74 / 3! (3-2,7)) -1 = 0,025

 

т.е. в среднем 2,5% времени кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь по (9.17)

 

р оч = (ρn+1 / n!(n- ρ)) p0 = (2,74 / 3! (3 – 2,7)) 0,025 = 0,735

 

- среднее число покупателей, находящихся в очереди по (9.19)

 

L оч = ((ρn+1 ) / n*n! (1 – p/n)2) p0 = (2,74 / 3 3! (1 – 2,7 / 3)2) 0,025 = 7,35

 

- среднее время ожидания в очереди по (9.15)

 

Т оч = L оч / λ = 7,35 / 1,35 = 5,44 (мин)

 

- среднее число покупателей в узле рассчитано

 

L сист = L оч + ρ = 7,35 + 2,7 = 10,05

 

-среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (9.14)

 

Т сист = L сист / λ = 10,05 / 1,35 = 7,44 (мин)

 

- среднее число кассиров по (9.18)

_

к = λ / μ = ρ = 2,7

 

Абсолютная пропускная способность зла расчета

 

А = λ = 1,35 1/мин или 81(1/час), т.е. 81 покупатель в час

 

Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии 3 кассиров.

 

 

Литература

 

  1. Е.С. Вентцель. «Исследование операций» – М. 2004 г.
  2. «Исследование операций в экономике». Под редакцией проф. Н.Ш. Кремера – М. «Юнити», 1997 г.
  3. Г.И. Просветов «Математические методы в экономики»– М. 2004 г.
  4. Е.М. Кудрявцев «Исследование операций в задачах, алгоритмах и программах» – М. «Радио и связь» 1984 г.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Курс лекций по дисциплине: Методы исследования операций

Федеральное агенство по образованию.. Московский государственный строительный университет.. Курс лекций по дисциплине..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Системы массового обслуживания с ожиданием

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Экономико-математическая модель. ТЗ
Транспортные задачи(ТЗ)- частный случай задачи линейного программирования. В ТЗ существуют поставщики и потребители грузов. У каждого поставщика имеется определенное количест

Метод северо-западного угла.
С помощью метода северо-западного угла реализуется первоначальный план поставок.   Таблица 2.1   Nj M

Метод потенциалов нахождения оптимального решения.
Введем показатель U1 для каждой строки и V1 для каждого столбца. Эти показатели называются потенциалами поставщиков и потребителей. Потенциалы подбираются так, чтобы для запол

Открытая (не сбалансированная) модель ТЗ.
Открытая модель сводится к закрытой. Если суммарная мощность поставщика больше суммарного спроса потребителей, то вводится фиктивный потребитель, к которому присваивается спрос равный разнице между

Постановка задачи динамического программирования.
Рассматривается управляемый процесс. В результате управления система (объект управления) приводится из начального состояния S0 в конечное S(S0 → S). Предположим, что упр

Принцип оптимальности.
Впервые был сформулирован Р. Беллманом в 1953 году. Каково бы не было состояние системы в результате какого-либо числа шагов на ближайшем шаге нужно выбрать управление так, чтобы оно приво

Задачи замены оборудования без приведения затрат к текущему моменту времени.
1) Постановка задачи: В эксплуатации находятся оборудование, цена нового оборудования S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования С t зависящие от времени. В результ

Задачи замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени.
  1) Постановка задачи: В эксплуатация находится с первоначальной ценой S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, 3 . . . t - С1, С

Детерминированные задачи упорядочивания.
  1) Постановка задачи: Имеется несколько изделий, каждое из которых надо обработать на двух машинах последовательно (сначала на первой, потом на второй). Известны вре

Решение игры с седловой точкой.
  B1 B2 А1 -4 А2

Смешанные стратегии.
Рассмотрим пример;   В1 В2 min А1

Дублирование и доминирование стратегий.
Если матрица игры содержит несколько одинаковых строк или стобцов, то из них оставляют одну строку(столбец), а отброшенным стратегиям присваиваем нулевые вероятности. Это дублирование с

Решение игры 2хn.
Самым удобным способом для определения оптимальной стратегии игроков в игре 2хn является графическим способом.   Пример:  

Марковские процессы.
Для математического описания многих случайных процессов может быть применен аппарат, разработанный в теории вероятностей, для так называемых Марковских случайных процессов. Они обладают следующим с

Простейший пуассоновский поток событий.
Для простейшего потока справедливы три свойства: 1) Стационарность потока λ = const. Интенсивность λ – частота появления события или среднее число событий, поступающих в СМО в ед

Система дифференциальных уравнений Колмогорова.
Рассмотрим математическое описание процесса с дискретными состояниями системы и непрерывным временем на примере случайного процесса, размеченный граф которого размещен на рисунке:

Уравнение Колмогорова для простейшего потока событий.
Особый интерес представляют вероятности системы Рi(t) в предельном стационарном режиме, т.е. при t→∞, которые называются предельными вероятностями состояний. Т.к. пр

Системы массового обслуживания с отказом.
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будет рассматривать: А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени;

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги