1) Постановка задачи:
В эксплуатация находится с первоначальной ценой S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, 3 . . . t - С1, С2 , . . ., C t. Требуется минимизировать затраты приведенные к текущему моменту времени, определив через какое время t следует производить, замену оборудования. Замер затрат производится в начале периода.
2) Формализованное описание задачи:
Для упрощения задачи балансовая цена S, уже включена в величину затрат на эксплуатацию C t . Для приведения капитальных вложений будущих периодов в рассмотрение вводится коэффициент r: r = 1 / 1+E , где E ≈ 0,08 – нормативный коэффициент, следовательно r < 1. Приведение затрат к текущему моменту времени учитывает, грубо говоря, что рубль сегодня дороже рубля завтра, то есть А руб сегодня равен r* А руб завтра.
3) Построение математической модели:
Обозначим через у величину затрат, приведенных к текущему моменту времени за все будущее время:
t
y = z 1 + z 2 + . . . + z i , где z i = r n + ∑ r i – 1 C i ; z i - затраты на эксплуатацию i - ого
i=1
обслуживания до его замены.
y = (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) + r t (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) + r 2t (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) + …;
Первый член суммы – это затраты на эксплуатацию оборудования до первой замены, второй – затраты на эксплуатацию оборудования до второй замены и т.д.
y = (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) (1 + r + r 2 t + r 3 t + . . .) ;
сумма геометрической прогрессии: 1 / 1- r t ;
t
y(t) = (S + ∑ C i r i - 1) / 1 – r t ;
i=1
4) Наследование математической модели:
y(t + 1) > y() < y(t - 1)
Поставив (t + 1) и (t - 1) в целевую функцию, после преобразований, получим
C t / (1 – r) < y(t) < C t + 1 / (1 - r)
Перебирая t = 1, 2, 3 . . . , как только неравенство будет выполнено, то период замены оборудования будет найден. Запишем это выражение иначе:
t
C t / (1 – r) < (S + ∑ C i r i – 1) / (1 – r t) < C t + 1 / (1 - r)
i=1
откуда
t
С t +1 > ((1 - r) / (1 – r t)) (S + ∑ C i r i – 1) = (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t – 1) / (1 + r + r 2 . .
i=1
. + r t – 1)
Аналогично
C t < (S + C1 + C2 r + . . . + C t + 1 r t – 2) / (1 + r + r 2 . . . + r t – 2)
Из этих неравенств вытекают следующие правила замены оборудования:
1) если затраты на эксплуатацию оборудования в очередном периоде меньше средневзвешенных затрат за все предыдущие периоды, то оборудование не следует заменять;
2) если же затраты на эксплуатацию оборудование в очередном периоде превосходят средневзвешенные затраты за все предыдущие периоды, то оборудование следует заменить.
Тема VI: Задачи упорядочивания.
Задачи упорядочивания – задачи выбора порядка обслуживания требований, заявок, которые необходимо обслужить многоэтапно, при этом минимизируются (максимизируются) некоторые параметры.