Задачи замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени.

 

1) Постановка задачи:

В эксплуатация находится с первоначальной ценой S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, 3 . . . t - С1, С2 , . . ., C t. Требуется минимизировать затраты приведенные к текущему моменту времени, определив через какое время t следует производить, замену оборудования. Замер затрат производится в начале периода.

 

2) Формализованное описание задачи:

Для упрощения задачи балансовая цена S, уже включена в величину затрат на эксплуатацию C t . Для приведения капитальных вложений будущих периодов в рассмотрение вводится коэффициент r: r = 1 / 1+E , где E ≈ 0,08 – нормативный коэффициент, следовательно r < 1. Приведение затрат к текущему моменту времени учитывает, грубо говоря, что рубль сегодня дороже рубля завтра, то есть А руб сегодня равен r* А руб завтра.

 

3) Построение математической модели:

Обозначим через у величину затрат, приведенных к текущему моменту времени за все будущее время:

t

y = z 1 + z 2 + . . . + z i , где z i = r n + ∑ r i – 1 C i ; z i - затраты на эксплуатацию i - ого

i=1

обслуживания до его замены.

 

y = (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) + r t (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) + r 2t (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) + …;

Первый член суммы – это затраты на эксплуатацию оборудования до первой замены, второй – затраты на эксплуатацию оборудования до второй замены и т.д.

 

y = (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t - 1) (1 + r + r 2 t + r 3 t + . . .) ;

сумма геометрической прогрессии: 1 / 1- r t ;

t

y(t) = (S + ∑ C i r i - 1) / 1 – r t ;

i=1

 

4) Наследование математической модели:

y(t + 1) > y() < y(t - 1)

 

Поставив (t + 1) и (t - 1) в целевую функцию, после преобразований, получим

 

C t / (1 – r) < y(t) < C t + 1 / (1 - r)

Перебирая t = 1, 2, 3 . . . , как только неравенство будет выполнено, то период замены оборудования будет найден. Запишем это выражение иначе:

t

C t / (1 – r) < (S + ∑ C i r i – 1) / (1 – r t) < C t + 1 / (1 - r)

i=1

откуда

t

С t +1 > ((1 - r) / (1 – r t)) (S + ∑ C i r i – 1) = (S + C1 + C2 r + C3 r2 + . . . + C t r t – 1) / (1 + r + r 2 . .

i=1

. + r t – 1)

 

Аналогично

 

C t < (S + C1 + C2 r + . . . + C t + 1 r t – 2) / (1 + r + r 2 . . . + r t – 2)

 

Из этих неравенств вытекают следующие правила замены оборудования:

1) если затраты на эксплуатацию оборудования в очередном периоде меньше средневзвешенных затрат за все предыдущие периоды, то оборудование не следует заменять;

2) если же затраты на эксплуатацию оборудование в очередном периоде превосходят средневзвешенные затраты за все предыдущие периоды, то оборудование следует заменить.

 

Тема VI: Задачи упорядочивания.

Задачи упорядочивания – задачи выбора порядка обслуживания требований, заявок, которые необходимо обслужить многоэтапно, при этом минимизируются (максимизируются) некоторые параметры.