рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Геометрические уравнения Коши

Геометрические уравнения Коши - раздел Науковедение, Исследование напряженно-деформированного состояния Из Уравнений Коши (3.2) Видно, Что В Произвольной Точке Стержня Три Компонент...

Из уравнений Коши (3.2) видно, что в произвольной точке стержня три компоненты деформации не равны нулю

(4.4)

а остальные три компоненты равны нулю

(4.5)

Вследствие того, что компоненты перемещений (4.3) не зависят от переменной z, то компоненты деформаций (4.4) и напряжений будут также функциями только двух переменных .

 

Физические уравнения – закон Гука

(4.6)

Из третьего уравнения в первом столбце (4.6) найдем напряжение

(4.7)

Исключим из уравнений (4.6)

Аналогично

Примем обозначения

Тогда

(4.8)

Отметим, что

Статические уравнения Навье

Из дифференциальных уравнений равновесия внутри тела (3.1) остается два:

(4.9)

Третье уравнение (3.1) обращается в тождество, т. к. входящие в него напряжения имеют следующий вид:

(4.10)

а интенсивность объемных нагрузок, параллельных оси z, равна нулю, т. е. .

Три уравнения равновесия на поверхности тела (3.6), учитывая, что для боковой поверхности и выполняется условие (4.10), превращаются в два условия:

(4.11)

Итак, восемь уравнений (4.4), (4.8), (4.9) содержат восемь неизвестных функций:

Три компоненты деформации выражаются через две функции . Следовательно, они не могут выбираться произвольно и должны удовлетворять уравнениям сплошности деформаций Сен-Венана (3.3). Дважды дифференцируя первое уравнение (4.4) по , а второе – по , а затем складывая их, получим

которое, если учесть третье уравнения (4.4), является одним из шести условий сплошности Сен-Венана

(4.12)

Из шести условий сплошности (неразрывности деформаций) Сен-Венана остаётся только уравнение (4.12), а остальные тождественно удовлетворяются. Для тела, подчиняющегося закону Гука (4.8), это условие можно выразить в напряжениях:

(4.13)

где называется оператором Лапласа или гармоническим оператором.

Если ограничиться исследованиями задач, в которых объемные силы не зависят от координат, то условие сплошности (4.13) упрощается и принимает вид:

(4.14)

Таким образом, для трех компонент напряжений при плоской деформации в случае объемных нагрузках имеем три уравнения:

(4.15)

Для цилиндрического тела большой длины, к которому приложены нагрузки (4.1) и (4.2), решение задачи о плоской деформации имеет значение даже и в том случае, если концы стержня будут перемещаться в направлении оси .

Действительно, если определены напряжения в сечениях стержня при , то можно определить главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к торцам. Теперь наложим на решение, соответствующее плоской деформации, решение задачи методами сопротивления материалов под действием сил, равных по величине и противоположных по направлению главному вектору и главному моменту сил, возникающих при плоской деформации, на торцах.

Очевидно, что при этом получаем решение задачи о напряжениях в теле, к которому приложены нагрузки по боковой поверхности (4.1) и по объему (4.2), а на торцах нагрузки статически эквивалентны нулю. Согласно принципу Сен-Венана для достаточно длинного тела на участках, удаленных от торцов, полученное решение будет справедливо и в том случае, если торцы тела будут свободны и от закреплений, и от нагрузок.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Исследование напряженно-деформированного состояния

Задача.. Исследование напряженно деформированного состояния.. в точке тела Цель решения этой задачи усвоение основ теории напряжений и деформаций..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Геометрические уравнения Коши

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Напряженное состояние в точке тела
Мысленно вырежем в окрестности произвольной точки нагруженного тела элементарный (бесконечно малый) параллелепипед, грани которого перпендик

На наклонной площадке
Найдем напряжения на некоторой наклонной к осям площадке, проходящей через заданную точку. Положение площадки относительно осей координат оп

На заданное направление
Направление касательного напряжения в плоскости сечения с внешней нормалью относите

Определение положения главных площадок
Одной из важнейших задач инженерных расчётов является оценка прочности материалов в наиболее напряжённых точках конструкций. Для решения этой задачи применяют теории прочности, в которых используют

Деформированное состояние в точке тела
При нагружении в теле возникнут не только напряжения, но и деформации – изменения взаимного расположения точек тела. Рассмотрим деформации элементарного параллелепипеда со сторонами

Основные уравнения теории упругости
1) Статические уравнения (дифференциальные уравнения равновесия внутри тела – уравнения Навье): (3.1) При выводе у

Определение компонентов деформаций
Выражения для компонентов деформация в произвольной точке получим из уравнений Коши (3.2), подставляя в эти уравнения заданные функции перемещений

Определение компонент напряжений
Компоненты напряжения находим из физических уравнений (3.5), связывающих между собой напряжения и деформации. Для этого подставим в (3.5) найденные значения компонентов деформации

Определение поверхностных нагрузок
Поверхностные силымогут быть приложены к боковой поверхности стержня, а также на правом и левом его торцах (см. рис. 12). Определим поверхностные внешние нагрузки, под действием которых возникли на

Плоская деформация
Если при нагружении тела перемещения всех точек в результате деформации происходят только в двух направлениях, т. е. в одной плоскости, то такую деформацию называют плоской. Рассмот

Плоское напряженное состояние
Рассмотрим другой предельный случай, когда размер тела в направлении оси ма

Функция напряжений
Итак, решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия (4.24а) вместе с уравнением совместности деформаций (4.24б). Эти уравнения следует дополнить граничными

Постановка задачи
Прямоугольная полоса с узким поперечным сечением, опертая по концам, изгибается равномерно распределенной нагрузкой (рис. 19).

Решение задачи
Решение плоской задачи осуществим обратным методом, задаваясь сначала функцией напряжений, удовлетворяющей уравнению совместности деформаций Сен-Венана (4.26)

Анализ полученных решений
Сравнивая выражения для напряжений , полученные методами теории упругости и сопротивления материалов, можно сделать следующие выводы:

Постановка задачи
Прямоугольная полоса с узким поперечным сечением оперта шарнирно по концам (рис. 31). Она изгибается под действием собственного веса с интенсивностью

Решение задачи
Покажем, что задачу о напряжениях в указанной полосе можно решить, используя в функцию напряжений , заданной в виде суммы полиномов:

Решение задачи методами сопротивления материалов
На рис. 27 показана расчетная схема балки, нагруженной распределенной нагрузкой и изгибающими моментами

Анализ полученных решений
1. Формулы для касательных напряжений , полученные в теории упругости и элементарной теории изгиба, совпали. 2. Выражение для напр

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги