Итак, решение двумерных задач сводится к интегрированию дифференциальных уравнений равновесия (4.24а) вместе с уравнением совместности деформаций (4.24б). Эти уравнения следует дополнить граничными статическими условиями. В дальнейшем полагаем, что объемными силами является только сила тяжести.
При решении уравнений (4.24а) и (4.24б) вводится новая функция, называемая функцией напряжений, которая была предложена Эри. Уравнения (4.24а) тождественно удовлетворяются, если компоненты напряжений выразить через функцию следующим образом:
(4.25)
Таким образом, получают множество решений уравнений (4.24а).
Искомое решение, во-первых, должно удовлетворять уравнению совместности (4.24б), которое с учетом выражений для компонентов напряжений (4.25) получит следующий вид:
или
(4.26)
Во-вторых, искомое решение должно удовлетворять статическим граничным условиям (4.20).
Функция, удовлетворяющая уравнению (4.26), можно задать в некоторых задачах, например, в виде алгебраических полиномов с постоянными коэффициентами, а эти коэффициенты определяются из условий нагружения на поверхности тела.
Рассмотрим применение этого метода решения на нескольких примерах.