Решение плоской задачи осуществим обратным методом, задаваясь сначала функцией напряжений, удовлетворяющей уравнению совместности деформаций Сен-Венана (4.26)
и статическим граничным условиям (4.20) на контуре полосы
Рассмотрим функцию напряжений в виде суммы алгебраических полиномов
(4.28)
Каждому полиному соответствуют определенные внешние нагрузки на поверхности полосы. Выбирая полиномы разных степеней, и подбирая для них соответствующие коэффициенты, можно решить много практически важных задач.
Убедимся в том, что, например, функция (4.28) при соответствующем подборе коэффициентов дает решение задачи об изгибе полосы под действием равномерно распределенной нагрузки.
Проверка выполнения уравнения сплошности. Вначале найдем частные производные от функции , входящие в уравнение сплошности Сен-Венана:
Подставляя в условие сплошности (4.26) производные, получим:
(4.29)
Следовательно, условие сплошности деформаций удовлетворяется при любых значениях коэффициентов .
Определение напряжений через заданную функцию . Если в (4.25) вместо функции подставить ее выражение (4.28), то получим
(4.30)
Уравнения равновесия внутри тела выполняется, если искомые напряжения выражены через функцию в виде (4.25). Неизвестные постоянные коэффициенты определим из граничных условий на контуре полосы (b).
Рассмотрим статические граничные условия по граням полосы (см. рис. 19):
верхняя грань:
(4.31)
нижняя грань:
(4.32)
Подставляя в граничные статические условия (4.20), компоненты напряжения (4.30) с учетом (4.31) и (4.32), получим:
(а)
и
(b)
Решая систему уравнений (a) и(b), находим
(4.33)
Если в (4.30) вместо коэффициентов подставить их значения в виде (4.33), то выражения для напряжений будут иметь следующий вид:
(4.34)
По условию задачи на каждом из торцов полосы действуют только касательные нагрузки, равнодействующие которых равны (см. рис. 22). Граничные условия на правом торце:
(4.35)
(4.36)
Из граничных статических условий (4.20) с учетом (4.34)-(4.36) найдем выражения для интенсивности поверхностных нагрузок:
(4.37)
Из решения (4.37) следует, что, во-первых, касательные нагрузки изменяются по параболическому закону на торце; во-вторых, имеют место и нормальные поверхностные нагрузки.
Сен-Венаном было установлено, что изменение распределения нагрузки на торце стержня при одном и том же главном векторе и главном моменте внешних сил приводит лишь к появлению других местных напряжений вблизи торцов стержня, а напряжения вдали от места приложения нагрузки остаются почти неизменными [1, 2, 4].
В связи с этим предлагается вместо точных граничных условий использовать интегральные граничные условия из таблицы 4.2. первой части учебно-методического пособия. На правом торце (рис. 20) показаны равнодействующие поверхностных внешних сил, имеющие положительные значения. Соотношения между этими равнодействующими и интенсивностями поверхностных сил (рис. 20 и 21), имеют следующий вид:
(4.38)
В данной задаче равнодействующие поверхностных нагрузок на правом торце (см. рис. 19) имеют следующие значения:
(4.39)
Рассмотрим интегральные условия (4.38) с учетом (4.37) и (4.39). Первое условие (4.38) имеет следующий вид:
(4.40)
Соотношение (4.40) превращается в тождество при любом значении , т. к. переменная имеет четные степени.
Второе интегральное условие (4.38) получает следующее выражение:
Откуда
(4.41)
Наконец, третье интегральное условие (4.38) превращается в тождество:
Если в выражение для (4.37) вместо коэффициента подставим его значение в виде (4.41), то получим
(4.42)
Те же результаты получаются из интегральных условий на левом торце.
Осевой момент инерции поперечного сечения будет (см. рис.21). Тогда окончательные выражения для напряжений (4.34) с учетом (4.42) будут
(4.43)
Сравним полученное решение с решением методами сопротивления материалов.