Решение задачи

Покажем, что задачу о напряжениях в указанной полосе можно решить, используя в функцию напряжений , заданной в виде суммы полиномов:

. (4.49)

Убедимся вначале: что при помощи этой функции можно описывать напряженное состояние полосы без разрывов и трещин. Для этого подставим функцию напряжений в основное уравнение (4.26) плоской задачи

.

Производные от функции , входящие в это уравнение, имеют следующие значения:

Подставим их в уравнение сплошности (4.26) и получим

Поскольку уравнение сплошности обращается в тождество при любых значениях коэффициентов , то функция (4.49) описывает напряженное состояние без разрывов и трещин

Неизвестные постоянные коэффициенты определим из статических граничных условий на контуре полосы (4.20):

Вначале выразим через функцию напряжения, входящие в правую часть граничных условий (4.20), После подстановки функции (4.49) в формулы (4.25) получим:

(4.50)

Постоянные коэффициенты, входящих в выражения (4.50), должны обеспечить равенство внутренних и внешних сил на контуре полосы. Условием выполнения такого равенства является соблюдение статических граничных условий, в которые кроме напряжений входят направляющие косинусы и интенсивности внешних нагрузок (см. рис. 31):

на верхней грани: при

(4.51)

на нижней грани: при

(4.52)

Граничные условия (4.20) для верней грани с учетом (4.51) имеют следующий вид:

Откуда

(4.53)

При рассмотрении граничных условий на нижней грани получим те же значения для коэффициентов .

Для напряжений (4.64) с учетом (4.67) получим следующие выражения:

(4.54)

Чтобы определить коэффициент , найдем интенсивности внешних нагрузок , например, на правом торце. Для этого подставим выражения напряжений (4.54) и значения направляющих косинусов внешней нормали в граничные статические условия (4.20)

(4.55)

Из выражений (4.55) видно, что по торцу действуют касательные и нормальные внешние нагрузки. Однако, при постановке задачи не были заданы законы их распределения (см. рис. 25).

Используя принцип Сен-Венана, вместо точных граничных условий рассмотрим интегральные граничные условия (4.53), которые при значении имеют следующий вид (см. табл. 4.2 из первой части учебно-методического пособия и рис. 25)

(4.56)

В (4.56) были учтены правила знаки для проекций равнодействующих внешних сил на оси , которые были показаны на рисунке 23.

Вначале рассмотрим первое интегральное уравнение (4.56) с учетом (4.55)

(4.57)

При четной функции уравнение (4.57) превращается в тождество при любом значении .

Далее рассмотрим второе интегральное уравнение (4.56)

(4.58)

Заметим, что осевой момент инерции для прямоугольного поперечного сечения при ширине равен

(4.59)

С учетом (4.59) из соотношения (4.58) получим для коэффициента следующее выражение

(4.60)

Если в формулу для нормальных напряжений из (4.54) вместо коэффициента подставить его выражение в виде (4.60), то получим:

(4.61)

В выражение (4.61) входят три слагаемые:

от изгибающих моментов

от собственного веса (основное слагаемое)

от собственного веса (дополнительное слагаемое)

,

которые в виде эпюр показаны ниже (рис. 26).

Наконец рассмотрим третье интегральное условие по Сен-Венану из (4.56)

Подставляя в это интегральное граничное условие вместо интенсивности поверхностных касательных нагрузок ее выражение из (4.55), получим тождество. Действительно,

Напряжения (4.54) с учетом (4.59)–(4.61) примут окончательный вид:

(4.62)