Деформированное состояние в точке тела

При нагружении в теле возникнут не только напряжения, но и деформации – изменения взаимного расположения точек тела. Рассмотрим деформации элементарного параллелепипеда со сторонами в окрестности точки тела М (рис. 8), по граням которого действуют заданные компоненты тензора напряжений (1.1).

Связь между деформациями и напряжениями определяется линейными соотношениями обобщенного закона Гука:

(1.22)

где – модуль упругости материала, – коэффициент Пуассона, модуль сдвига

По формулам (1.22) компоненты деформации в точке при заданных компонентах напряжений (1.1) и имеют следующие значения:

(1.23)

(1.24)

Согласно результатам вычислений отрезки и , направленные соответственно вдоль осей и на рис. 8, удлинятся, а отрезок – укоротится; прямой угол между ребрами параллелепипеда в плоскости увеличится, в плоскости уменьшится, а в плоскости останется без изменений.

Если известнытри компоненты линейной деформации итри компоненты угловой деформации в данной точке, то можно определить линейную деформацию в любом направлении и искажение угла между любыми взаимно перпендикулярными бесконечно малыми отрезками, проведенными из этой точки

Например, пусть из некоторой точки (рис. 9) нагруженного тела проведены три луча , имеющие соответствующие направляющие косинусы

Ни один из этих лучей не параллелен осям и, кроме того, лучи и взаимно перпендикулярны, т. е. имеет место соотношение

Линейная деформация в направлении луча вычисляется по формуле

(1.25)

Деформация сдвига между лучами и определяется из следующего выражения:

(1.26)

1.2.1. Определение линейной, угловой и объёмной деформаций

Компоненты деформаций в точке тела имеют, например, значения (1.23) и (1.24). Требуется вычислить линейную деформацию в направлении (см. рис. 9), заданном направляющими косинусами относительно осей из таблицы 1.2 первой части учебно-методического пособия:

(1.27)

Подставляя в формулу (1.25) значения компонентов деформации(1.23) и направляющих косинусов (1.27), получим

Знак минус означает, что в направлении произойдет укорочение бесконечно малого отрезка, проведенного из точки .

Для определения угла сдвига между отрезками BA и BC на рис. 2 совместим с этими отрезками оси и :

для оси

Подставляя значения компонентов деформации и направляющих косинусов в (1.26), получим:

По закону Гука (1.22)

Поскольку деформация сдвига положительна, то произойдет уменьшение прямого угла между BA и BC на величину (см. рис. 2 и 10). Угловая деформация показана на рис. 10 при условии, что в процессе деформации положение отрезка остается неизменным.

Ранее было вычислено касательное напряжение (см. рис. 3), при котором угол между осями увеличился. Так как ось имеет направление, противоположное направлению оси , то и

Объемная деформация

(1.28)

не зависит от ориентации осей . Если подставить в (1.28) вместо их значения в виде (1.23), то получим . Так как эта деформация оказалась положительной, то в окрестности рассматриваемой точки произойдет увеличение объема.

2. Задача 2 “Постановка

кинематических и статических граничных условий”

Задачей теории упругости является определение распределения напряжений, деформаций и перемещений в теле, возникающих при заданных объемных и поверхностных нагрузках, а также кинематических граничных условиях на его поверхности.

Рассмотрим вопрос о том, как задаются граничные условия на поверхности тела.

На тонкую пластинку, показанную на рис. 11, наложены связи, препятствующие перемещению пластинки как жесткого тела в плоскости

. Любые перемещения точек пластинки происходят лишь за счет ее деформации. Эти перемещения разложим на составляющие

, параллельные соответствующим осям координат

. Ограничения, которые связи накладывают на перемещения точек контура пластинки, называют кинематическими граничными условиями.

На участке AK контура пластинки (рис. 11а) имеется жесткая связь пластинки с неподвижным и абсолютно твердым телом и для всех точек контакта обоих тел соблюдаются условия . Контур пластинки в точках C и D имеет дискретные связи с тем же абсолютно твердым телом. Перемещения точки D контура пластинки равны нулю, т. е. . Из двух перемещений точки в плоскости пластинки лишь одно, параллельное оси , равно нулю, а другое, параллельное оси x , в результате деформаций пластинки может иметь место (табл. 2.1).

К пластинке приложены поверхностные нагрузки, параллельные ее плоскости и распределенные равномерно по её толщине t (рис. 11б). Проекция интенсивности поверхностных нагрузок вдоль оси равна нулю, т. е. , и, кроме того, равны нулю и объемные силы . В связи с этим напряженное состояние в любой точке определяется только тремя компонентами напряжения: , лежащими в одной плоскости. Эти напряжения можно считать постоянными по толщине (составляющие напряжения равны нулю в точках, прилегающих к боковым поверхностям пластинки, и без существенной ошибки можно предположить, что они обращаются в нуль и по толщине пластинки). Таким образом, в пластинке имеет место плоское напряженное состояние.

В дальнейшем обсуждении толщина пластинки не имеет значения, и этот размер, как обычно, полагается равным единице. Компоненты напряжения меняются непрерывно от точки к точке по всей пластинке, и при достижении ее границ должны быть такими, чтобы уравновесить внешние силы, приложенные по контуру. Рассмотрим малую трехгранную призму (рис. 11в). Ее грань совпадает с границей пластинки, как показано на рис. 11а. Проекции на оси интенсивности поверхностных нагрузок, приложенных к контуру пластинки, равны соответственно . Условия равновесия на контуре пластинки будут иметь следующий вид (рис. 11в)

(2.1)

где и – направляющие косинусы нормали к контуру пластинки.

Уравнения (2.1) называются статическими граничными условиями.

Контур пластинки состоит из пяти прямолинейных участков и полуокружности. Значения проекции поверхностных нагрузок и направляющих косинусов нормалей к отдельным участкам контура пластинки приведены в таблице 2.2.

Проекция интенсивности поверхностных нагрузок имеет знак плюс, если совпадает с положительной осью координат , и знак минус, если противоположна положительной оси .

В заключение отметим, что роль граничных условий в теории упругости заключается в следующем:

1. при помощи статических граничных условий (2.1) обеспечивается равновесие внутренних и внешних сил на поверхности нагруженного тела (см. рис. 11в);

2. при помощи кинематических граничных условий соблюдается совместимость перемещений точек тела в результате деформаций с наложенными на тело связями (см. рис. 11а);

3. при интегрировании дифференциальных уравнений теории упругости появляются постоянные интегрирования (или функции интегрирования), которые определяются из граничных условий.