Основные уравнения теории упругости

1) Статические уравнения (дифференциальные уравнения равновесия внутри тела – уравнения Навье):

(3.1)

При выводе уравнений (3.1) использованы допущения о сплошности материала и малости деформаций.

2) Геометрические уравнения (соотношения между деформациями и перемещениями – уравнения Коши)

(3.2)

При выводе уравнений (3.2) также использованы допущения о сплошности материала и малости деформаций.

Так как шесть компонент деформаций выражаются только через три компоненты смешения , то деформации не могут быть независимыми друг от друга. Зависимости, выражающие непрерывность деформаций тела без трещин, – это условия сплошности Сен-Венана в виде шести уравнений совместности деформаций

(3.3)

3) Физические уравнения (обобщенный закон Гука для изотропного тела) могут быть выписаны в форме соотношений, где деформации выражены через напряжения:

(3.4)

и в форме равенств, где, наоборот,напряжения выражены через деформации:

(3.5)

где – объёмная деформация, вычисляемая по формуле (1.28).

При выводе уравнений закона Гука использованы допущения о сплошности, упругости, изотропности материала, а также о малости деформаций. Статические уравнения (3.1), связывающие компоненты напряжения с проекциями интенсивности объемной силы , должны удовлетворяться во всех точках внутри тела. Напряжения по объему тела изменяются непрерывно, и при переходе к поверхности они должны находиться в равновесии с внешними нагрузками, действующими на поверхности тела.

Уравнения равновесия на поверхности имеют вид

(3.6)

где – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела в рассматриваемой точке. Уравнения равновесия (3.6) называют статическими граничными условиями в случае объемного напряженного состояния.

Чтобы определить напряженное состояние в теле под действием заданных нагрузок, необходимо найти шесть компонентов напряжений. Трех статических уравнений (3.1), содержащих шесть компонентов напряжений , недостаточно для их определения. Задача является статически неопределимой. Чтобы получить решение задачи, мы должны рассмотреть упругие деформации тела. Для раскрытия статической неопределимости используются шесть геометрических уравнений Коши (3.2), связывающих перемещения с деформациями, а также шесть физических соотношений между напряжениями и деформациями в виде (3.4) или (3.5). В итоге для определения 15 неизвестных функций

,

имеется 15 уравнений (3.1), (3.2), (3.4) или (3.5). При этом напряжения должны удовлетворять граничным условиям (3.6), деформации – условиям сплошности или неразрывности (3.3), а перемещения – кинематическим граничным условиям (условиям закрепления тела).

Различают прямой, обратный и полуобратный метод решения задач в теории упругости.

1. Прямой метод – метод непосредственного интегрирования уравнений (3.1) и (3.2) для тела заданной конфигурации, нагруженного заданными нагрузками. Точное решение получить или невозможно, или очень трудно. Основные затруднения заключаются в точном удовлетворении кинематическим граничным условиям и уравнениям (3.6). Эти трудности исчезают при решении задачи обратным методом.

2. Решение задачи обратным методом является сравнительно более простым, т. к. этот метод связан с дифференцированием функций. При этом методе, например, задаются перемещениями как функциями координат и отыскиваются на основании уравнений (3.4) деформации, а по ним находят и напряжения на основании уравнений (3.5); знание последних позволяет при помощи уравнений (3.6) определить поверхностные внешние нагрузки, которым соответствуют заданные перемещения.

Имея несколько таких решений, каждое из которых соответствует определенным граничным условиям, можно комбинированием этих решений получить решение и для некоторых задач, которые не решаются прямым методом.

3. Полуобратный метод решения уравнений был предложен Сен-Венаном. При этом методе задают часть перемещений и часть внешней нагрузки и отыскивают остальные компоненты напряженно-деформированного состояния из условия удовлетворения соответствующим уравнениям, приведенным выше.

Рассмотрим обратный способ на примере решения простейшей задачи теории упругости. Характерной особенностью простейших задач является то, что напряжения и деформации – постоянные величины или линейные функции координат.

В этом случае условия сплошности (или неразрывности) Сен-Венана (3.3) тождественно удовлетворяется, ибо в эти уравнения входят слагаемые в виде вторых производных функций деформации по координатам.

К задачам такого рода относятся:

1)центральное растяжение (сжатие) стержней силами, приложенными на торцах;

2)растяжение (сжатие) стержня под действием собственного веса;

3)чистый изгиб призматического стержня;

4)кручение стержня круглого поперечного сечения.

К простейшим задачам относятся также и комбинации указанных четырех задач, например, изгиб с кручением или изгиб с растяжением под действием собственного веса.