Метод наименьших квадратов.
Экстраполяция - это метод научного исследования, который основан на распространении прошлых и настоящих тенденций, закономерностей, связей на будущее развитие объекта прогнозирования.
Различают формальную и прогнозную экстраполяцию. Формальная базируется на предположении о сохранении в будущем прошлых и настоящих тенденций развития объекта прогноза; при прогнозной фактическое развитие увязывается с гиотезами о динамике исследуемого процесса с учетом изменений влияния различных факторов в перспективе.
Цель методов экстраполяции – показать, к какому состоянию в будущем может прийти объект, если его развитие будет осуществляться с той же скоростью или ускорением, что и в прошлом. Основу экстраполяционных методов прогнозирование составляет изучение динамических рядов. Динамический ряд – это множество наблюдений, полученных последовательно во времени.
Методы экстраполяции достаточно широко применяются на практике, так как они просты, дешевы, и не требуют для расчетов большой статистической базы. Использование методов экстраполяции предполагает два допущения:
а) основные факторы, тенденции прошлого сохранят свое проявление в будущем;
б) исследуемое явление развивается по плавной траектории, которую можно выразить, описать математически. Названные допущения в большинстве случаев характерны для экономических процессов.
Первое приближение к ожидаемой в будущем прогнозируемой величине дает метод прогнозирования на основе вычисленного тренда (или тенденции), показывающего общее направление развития исследуемого процесса. Собственно тренд — это не что иное, как линия регрессии в динамических рядах. Если у(х) —случайные величины, распределение которых зависит от времени х, то трендом называют такую функцию у(х), значения которой в интервале произведенных наблюдений в каждой точке х равны среднему значению у(х).
Выделяют несколько видов динамических рядов, по-разному отражающих процесс развития прогнозируемой величины в прошлом и, следовательно, требующих применения различных методов прогнозирований:
- ряды с ярко выраженной устойчивой тенденцией;
- ряды с проявляющейся неустойчивой тенденцией;
- ряды с отсутствием тенденции.
Для определения вида динамического ряда вычисляют выборочный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи в динамическом ряду:
При значениях 
0,70 тренд устойчив.
В противном случае у динамического ряда тенденция неустойчива. При значениях же коэффициента корреляции, близких к нулю, можно говорить об отсутствии корреляционной связи.
Если наличие устойчивой тенденции установлено, динамический ряд разлагается на две составляющие:
y=yt+
t (t=1,2,...,n),
где yt — тенденция эволюции (тренд);
- остаточные элементы, действия которых вызываются случайными причинами.
Главным этапом экстраполяции тренда является выбор оптимального вида функции, описывающей эмпирический ряд. Для этого проводятся предварительная обработка и преобразование исходных данных с целью облегчения выбора вида тренда путем сглаживания и выравнивания временного ряда. Задача выбора функции заключается в подборе по фактическим данным (хj, yi) формы зависимости (линии) так, чтобы отклонения (Δi) данных исходного ряда yi, от соответствующих расчетных 
находящихся на линии, были наименьшими (рис. 1). После этого можно продолжить эту линию и получить прогноз.
Расчет параметров (а, b) для конкретной функциональной зависимости осуществляется методом наименьших квадратов (МНК) и его модификаций. Суть МНК состоит в отыскании параметров модели тренда, минимизирующих отклонения расчетных значений от соответствующих значений исходного ряда, т.е. искомые параметры должны удовлетворять условию:
Где n – число наблюдений.
Выбор модели осуществляется с помощью специально разработанных программ. Есть программы, предусматривающие возможность моделирования экономических рядов по 16-ти функциям: линейной (y=a+bx), гиперболической различных типов (y=a+b/x), экспоненциальной, степенной, логарифмической и др. Каждая из них может иметь свою, специфическую область применения при прогнозировании экономических явлений.
Так, линейная функция (у = а + bх) (рис. 5.2) применяется для описания процессов, равномерно развивающихся во времени. Параметр b (коэффициент регрессии) показывает скорость изменения прогнозируемого у при изменении х.
Гиперболы (рис. 5.4) хорошо описывают процессы, характеризующиеся насыщением, когда существует фактор, сдерживающий рост прогнозируемого показателя.
Модель выбирается, во-первых, визуально, на основе сопоставления вида кривой, ее специфических свойств и качественной характеристики тенденции экономического явления; во-вторых, исходя из значения критерия. В качестве критерия чаще всего используется сумма квадратов отклонений S. Из совокупности функций выбирается та, которой соответствует минимальное значение S.
Прогноз предполагает продление тенденции прошлого, выражаемой выбранной функцией, в будущее, т.е. экстраполяцию динамического ряда.
В связи с тем, что этот метод исходит из инерционности экономических явлений и предпосылок, что общие условия, определяющие развитие в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем, его целесообразно использовать при разработке краткосрочных прогнозов обязательно в сочетании с методами экспертных оценок. Причем динамический ряд может строиться на основании данных не по годам, а по месяцам, кварталам.
Экстраполяция методом подбора функций учитывает все данные исходного ряда с одинаковым "весом". Классический метод наименьших квадратов предполагает равноценность исходной информации в модели. Однако, как показывает опыт, экономические показатели имеют тенденцию "старения". Влияние более поздних наблюдений на развитие процесса в будущем существеннее, чем более ранних. Проблему "старения" данных динамических рядов решает метод экспоненциального сглаживания с регулируемым трендом. Он позволяет построить такое описание процесса (динамического ряда), при котором более поздним наблюдениям придаются большие "веса" по сравнению с более ранними, причем "веса” наблюдений убывают по экспоненте. В результате создается возможность получить оценку параметров тренда, характеризующих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения.
Скорость старения данных характеризует параметр сглаживания а. Он изменяется в пределах 0 < а < 1.
В зависимости от величины параметра прогнозные оценки по-разному учитывают влияние исходного ряда наблюдений: чем больше а, тем больше вклад последних наблюдений в фор- мированис тренда, а влияние начальных условий быстро убывает. При малом а прогнозные оценки учитывают все наблюде- ния, при этом уменьшение влияния более "старой” информации происходит медленно, т.е. чем меньше а, тем данные более стабильны, и наоборот.
В области экономического прогнозирования наиболее употребимы пределы 0,05 < а < 0,3. Значение а в общем случае должно зависеть от срока прогнозирования: чем меньше срок, тем большим должно быть значение параметра.
Прогноз должен иметь высокую точность, ошибка прогноза будет тем меньше, чем меньше период (срок) упреждения и чем больше база прогноза. Следует отметить, что методы экстраполяции необходимо применять на начальном этапе прогнозирования для выявления тенденций изменения показателей.
Период (срок) упреждения - это интервал времени, на который разрабатывается прогноз. База прогноза - это статистическая информация за ряд лет, на которую мы опираемся при построении расчетов. Срок упреждения должен составлять не менее 1/3 базы прогноза.
Построенные с помощью методов экстраполяции прогнозы нельзя рассматривать как конечный этап прогнозирования, ибо полученный показатель следует оценить с помощью экспертов и в случае необходимости скорректировать, если экономические, политические и другие условия в стране (городе) меняются.
Процедура экстраполяции - это чисто механический прием, следовательно, большое значение здесь имеет расчет доверительного интервала, т.е. диапазона отклонения полученной прогнозной оценки. Доверительный интервал рассчитывается двумя способами: формальным и неформальным. Формальный основан на применении специальных математических формул, а неформальный – на использовании экспертных оценок, заключений.
Метод скользящей среднейдает возможность выравнивать динамический ряд на основе его средних характеристик. При экстраполяции с помощью среднего уровня ряда используется принцип, при котором прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней ряда в прошлом.
Данный метод дает прогнозную точечную оценку и более эффективно используется при краткосрочном прогнозировании. Преимущество данного метода состоит в том, что он прост в применении и не требует обширной информационной базы.
Метод экспоненциального сглаживания дает возможность выявить тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения, и позволяет оценить параметры модели, описывающей тренд, который сформировался в конце базисного периода. Этот метод адаптируется к меняющимся во времени условиям, а не просто экстраполирует действующие зависимости в будущее.
Метод экспоненциального сглаживания наиболее эффективен при разработке кратко- и среднесрочных прогнозов. Его основные достоинства заключаются в простоте вычисления и учете весов исходной информации, т. е. новые данные или данные за последние периоды имеют больший вес, чем данные более отдаленных периодов.
При использовании для прогнозирования данного метода возникают следующие затруднения:
а) выбор значения параметра сглаживания;
б) определение начального значения экспоненциально взвешенной средней.
Метод наименьших квадратов основан на выявлении параметров модели, которые минимизируют суммы квадратических отклонений между наблюдаемыми величинами и расчетными. Модель, описывающая тренд, в каждом конкретном случае подбирается в соответствии с рядом статистических критериев. На практике наибольшее распространение получили такие функции, как линейная, квадратическая, экспоненциальная, степенная, показательная.