Министерство Образования Российской Федерации Поморский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова КУРСОВАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ НА ТЕМУ: Логика предикатов с одним переменным Выполнил студент II-го курса математического факультета Бережной Андрей Витальевич Коряжма 1997 СОДЕРЖАНИЕ Введение .3 Основные понятия .4 §1. Логика предикатов с одним переменным .5 §2. Практика по решению проблемы разрешимости формул, содержащих предикаты от одного переменного .9 Литература 12 ВВЕДЕНИЕ Проблема разрешимости — эта проблема ставится для формул исчисления предикатов, лишённых символов постоянных предметов и символов индивидуальных предикатов.
В последующем изложении предполагается, что рассматриваемые формулы таковы (если не сделано специальных оговорок). Каждая такая формула представляет собой определённое утверждение, истинное или ложное, когда оно относится к определённому полю M. Если такая формула истинна для некоторого поля M и некоторых предикатов, на нём определённых, мы будем называть её выполнимой.
Если формула истинна для данного поля M и для всех предикатов, определённых на M, мы будем называть её тождественно истинной для поля M. Если формула истинна для всякого поля M и для всяких предикатов, будем называть её тождественно истинной или просто истинной. Формула называется ложной или невыполнимой, если ни для какого поля ни при каких замещениях предикатов она не является истинной.
Легко показать, что если формула U тождественно истинна, то формула ложна, и наоборот. Постановка проблемы разрешимости для логики предикатов аналогична постановке этой проблемы для алгебры высказываний. Её решение и является целью данной курсовой работы. Итак, проблема ставится следующим образом: дать эффективный способ для определения — является ли данная формула выполнимой или нет. Умея решать вопрос о выполнимости, мы тем самым сможем решать и вопрос об истинности любой формулы.
В самом деле, если формула U истинна, то формула невыполнима, и обратно. Поэтому, доказав выполнимость или невыполнимость, мы тем самым проверим истинность U. Проблема разрешимости для логики предикатов является усилением проблемы разрешимости для исчисления высказываний, так как все формулы исчисления высказываний входят в число формул логики предикатов. Однако в то время как решение проблемы разрешимости для исчисления высказываний никаких трудностей не представляет, проблема разрешимости для логики предикатов оказалась связанной с серьёзными трудностями.
Современные исследования пролили свет на природу этих затруднений. В настоящее время представляется достаточно ясным, что решение этой проблемы в указанном смысле вообще невозможно. Иначе говоря, не может существовать никакого конструктивного правила, которое позволяло бы определять для любой формулы логики предикатов, является ли она тождественно истинной или нет. Для некоторых частных типов формул, однако, проблема разрешимости решается.
Мы рассмотрим наиболее важный тип формул, для которых решение проблемы разрешимости может быть осуществлено, это формулы логики предикатов, зависящие от одного переменного.
Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде P(a), ... Таким же образом неопределённое высказывание о двух и более предметах ... Формулы, в которых из операций алгебры высказываний имеются только опе... Приведённая формула называется нормальной, если она не содержит кванто... Нормальную формулу, равносильную некоторой формуле U, мы будем называт...
Известные формы высказываний этой логики и формы умозаключений, так на... покажем, что выражение (x) R ((х), y, u) равносильно выраж... Пусть (x) R ((х), y, u) имеет значение И. Заметим, что достаточно проверить, является ли данная формула U тождес... Легко видеть, что, как и в предыдущем примере, представляет собой форм...
Литература П. С. Новиков, “Элементы математической логики”, государственное издательство физико-математической литературы, М 1959.