Основные понятия. Пусть M - некоторое множество предметов и a, b, c, d - какие-то определённые предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде P(a), Q(b), R(c, d) и т.д. P(a) обозначает высказывание о предмете a, Q(b) - высказывание о предмете b, R(c, d) - высказывание о предметах c и d и т.д. Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны, обозначаемые соответственно символами И и Л. Эти значения ставятся в соответствие определённым предметам или группам предметов.
Пусть M - произвольное непустое множество, а x представляет собой произвольный предмет из этого множества. Тогда выражение F(x) обозначает высказывание, которое становится определённым, когда x замещено определённым предметом из M. F(a), F(b), уже представляют собой вполне определённые высказывания. Например, если M натуральный ряд, то F(x) может обозначать: " x есть простое число". Это неопределённое высказывание становится определённым, если x заменить некоторым числом, например: "3 простое число", "4 простое число" и т. д. Пусть S(x, y) обозначает: " x меньше y". Это высказывание становится определённым, если x и y заменить числами: "1 меньше 3", "5 меньше 2" и т. д. Так как с нашей точки зрения каждое определённое высказывание представляет собой И или Л, то выражение F(x) означает, что каждому предмету из M поставлен в соответствие один из двух символов И или Л. Иначе говоря, F(x) представляет собой функцию, определённую на множестве M и принимающую только два значения И и Л. Таким же образом неопределённое высказывание о двух и более предметах H(x, y), G(x, y, z) и т. д. предвтавляет собой функцию двух, трёх и т. д. переменных.
При этом переменные x, y, z пробегают множество M, а функция принимает значения И и Л. Эти неопределённые высказывания, или функции одного или нескольких переменных, мы будем называть логическими функциями или предикатами.
Предикатом с одним переменным можно выразить свойство предмета, например " x есть простое число", " x - прямоугольный треугольник" и т.д. Все понятия, которые мы будем вводить, относятся всегда к некоторому произвольному множеству M, которое мы будем называть полем.
Элементы этого поля будем обозначать малыми латинскими буквами (иногда эти буквы мы будем снабжать индексами). Буквы конца латинского алфавита x, y, z, u, v, x1, x2, обозначают неопределённые предметы поля. Их мы будем называть предметными переменными.
Буквы начала алфавита a, b, c, a1, a2, обозначают определённые предметы поля. Их мы будем называть индивидуальными предметами или предметными постоянными. Большими латинскими буквами A, B, X, A1, A2, мы будем обозначать переменные, принимающие значения И и Л. Их мы назовём переменными высказываниями.
Мы будем также рассматривать и постоянные высказывания. Их мы будем также обозначать большими латинскими буквами, как-нибудь отмеченными или просто с дополнительной оговоркой. Большие латинские буквы и символы предикатов как индивидуальных предметов, так и от предметных переменных мы будем называть элементарными формулами. Мы будем говорить, что в формулах (х) U(х) и (х) U(х) кванторы (х) и (х) относятся к переменному х или что переменное х связано соответствующим квантором.
Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем называть свободным переменным. Формулы, в которых из операций алгебры высказываний имеются только операции, и , а знаки отрицания относятся только к элементарным предикатам и высказываниям, будем называть приведёнными формулами. Приведённая формула называется нормальной, если она не содержит кванторов или если при образовании её из элементарных формул операции связывания квантором следуют за всеми операциями алгебры высказываний.
Если две формулы U и B, отнесённые к некоторому полю M, при всех замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определёнными на M, индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из M, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле M. Если две формулы равносильны на любых полях M, то мы будем их называть просто равносильными. Нормальную формулу, равносильную некоторой формуле U, мы будем называть нормальной формой формулы U. §1.