Задача №3

Задание: 1.Определить токи всех ветвей.

2. Определить потенциалы узлов.

3.Баланс мощности.

Дано: Е1=5В

R1= 1 Ом

R2= 2 Ом

R3= 2 Ом

R4= 2 Ом

R5= 2 Ом

Решение:

Дана принципиальная электрическая схема

Выберем УПН.

1.Задачу будем решать по уравнениям Кирхгофа.

По первому закону для цепей с n узлами можно составить n-1 уравнение. В этой цепи 4 узла, поэтому

Nур1= 4 -1 = 4 – 1= 3

По первому закону Кирхгофа получаем 3 уравнения. 3 недостающих уравнения составляются по второму закону Кирхгофа. Чтобы составить уравнения по второму закону Кирхгофа нужно использовать независимые контура, то есть в каждый следующий контур должна входить новая ветвь,не входящая в другие контуры.По второму закону

N ур2 = N ветвей – Nур1 – Nист.тока = 6 -3 – 0 = 3

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу ПЭС равна 0.

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма падения напряжения в любом замкнутом контуре ПЭС равна алгебраической схеме ЭДС вдоль этого контура. Выбираем УПН по часовой стрелке в обоих контурах.

1 3

 

 

4

Записываем систему уравнений:

I1 – I6 – I5=0

I3+I4 – I1=0

I5 + I2 – I4=0

I1R1 +I3R3 – E= 0

I2R2+I4R4 –I3R3= 0

I5R5 + E – I2R2= 0

1)Рассмотрим второе уравнение системы.

I3+I4 – I1=0

I1 = I4 + I3 A (1)

2) Рассмотрим четвертое уравнение системы

I1R1 +I3R3 – E= 0

Подставляем в него уравнение (1)

I3*R1 + I4*R1 + I3*2 – 5 = 0

I3*3 + I4*1 = E

I3 = (5 – I4)/3 A (2)

3) Рассмотрим третье уравнение системы:

I5 + I2 – I4=0

I2= I4 – I5 (3)

4) Рассмотрим пятое уравнение системы:

 

I2R2+I4R4 –I3R3= 0

Подставляем в него уравнение (3)

 

I4*4 – I5*2+I4*2/3 = 10/3

I4*14/3 – I5*2= 10/3

I4*14/3 –10/3 = I5*2

(14*I4 – 10)/6= I5 (4)

5) Рассмотрим пятое уравнение системы:

I2R2+I4R4 –I3R3= 0

Подставляем в него уравнение (3),(2),(4)

 

I4*R2 – I5*R2+I4R4 –5/3*R3+ I4*R3/3= 0

I4*2 – I5*2+I4*2 –5/3*2+ I4*2/3= 0

5+28/6*I4 - 2*I4 – 20/6 +I4*28/6- 20/6=0

28*I4/3 - 2*I4=20/3 – 5

22*I4= 5

Получили значение тока:

I4= 5/22= 0,227 A

 

6)Подставляем полученное значение:

I5=(14*I4 – 10)/6

I5 = (14*0,227 – 10)/6= - 1,137 A

7) Подставляем полученное значение:

I3 = (5 – I4)/3 A

I3 = (5 – 0,227)/3 = 1,591 A

 

8) Подставляем полученное значение:

I1 = I4 + I3 A

I1 = 0,227 +1,591 = 1,818 A

 

9) Подставляем полученное значение:

I2= I4 – I5

I2= 0,227+1,137 = 1,364 A

 

10) Подставляем полученное значение:

I6=I1-I5

I6=1,818 + 1,137 = 2,955 A

 

2. Запишем токи, протекающие в цепи, через разность потенциалов по закону Ома

I2= (φ1-φ2)/ R2 А

I4 =( φ2 – φ3)/ R4 А

Через полученные уравнения найдем потенциалы узлов.

φ1= E = 5 B

φ2 = φ1 – I2*R2 = 5 – 2,728 = 2,27 B

φ3 = φ2 – I4*R4 = 2,27- 0,454 = 1,82 B

3.Баланс мощностей.

Мощность, развиваемая источником, равна сумме мощностей потребителей. Имеет место баланс мощностей.

∑Р=0

Рист=Рпотр

Рист=РЕ= -Е* I1= - 5*2,955 = - 14,78 Вт

Рист получили с минусом,потому что падение напряжения на источнике напряжение противоположно обходу контура.

 

Рпотр= Р1 + Р2 + Р3 +Р4 +Р5= I1²* R1 + I2²* R2 + I3²* R3+ I4²* R4+ I5²* R5 = 3,305 + 3,721 +5,063 +0,103 + 2,586 = 14,78 Вт

Рист+Рпотр= -14,78+14,78 = 0

Собираем принципиальную электрическую схему (ПЭС) на ПК в Multisim-9.

Включаем в схему амперметры и измеряем действующие значения токов в ветвях ПЭС. Сравниваем результаты измерений с расчетами.

 

Ответ: I1 = 1,818 A

I2= 1,364 A

I3= 1,591 A

I4= 0,227 A

I5= - 1,137 A

I6= 2,955 A

φ 1= 5 B

φ2 = 2,27 B

φ3 = 1,82 B