После того как будет отменена английская система мер и весов, самой запутанной системой в мире останется английская денежная система.
Дж. К Джером
Функции системы счисления:
- записывать количества для последующего их наглядного (зрительного) восприятия
- позволять выполнять действия с количествами.
В ходе своего развития человечество изобрело весьма много различных систем счисления (выражения количеств).
Простейшим (в смысле простоты внутренней структуры, но не в смысле простоты технической реализации устройств, выполняющих действия с числами) является способ унарного кодирования:
Унарное кодирование: цифра всего одна (например, 1). Нужное количество изображается соответствующим количеством повторений цифры: 1д=1у, 2 д=11у , 3 д=111у , и т.д. Это чисто «последовательное» представление количеств - фактически «счет камешками» первобытных людей, однако в цифровой вычислительной технике такое представление используется. Именно таков код, поступающий от фотодатчика, стоящего на конвейере и предназначенного для счета изделий. Для преобразования унарного кода в позиционный может быть использовано электронное устройство счетчик.
На другом конце спектра стоит способ, когда для каждого количества используется «своя» цифра. Такой способ представления тоже встречается в ЦВТ, для преобразования M-битового двоичного кода в унарный параллельный используется устройство - дешифратор.
Однако для восприятия человеком и для действий «вручную» оба эти способа представления плохо подходили, когда изображаемые количества сильно превосходили диапазон «первого десятка». Именно поэтому человек изобретал более компактные способы изображения количеств. За свою историю человечество изобрело весьма много различных систем счисления.
Система счисления – способ изображения чисел. Система счисления характеризуется несколькими характеристиками. Системы счисления, которые используются в цифровой технике: десятичная, двоичная и шестнадцатеричная – это системы со следующими свойствами:
позиционные (вес единицы разряда числа зависит от позиции разряда, пример непозиционной системы – римская)
с постоянным основанием системы счисления (количество различных цифр одинаково для любого разряда числа, пример системы с переменным основанием – система исчисления времени)
с естественным порядком следования весов (вес единицы следующего разряда на 1 больше максимального числа, представимого всеми предыдущими разрядами)
с естественным (не кодированным) представлением цифр в разрядах (для каждого разряда используется количество цифр, равное основанию системы счисления, пример системы с кодированным представлением цифр – система исчисления времени, для 60 различных значений секунд используется не 60 разных знаков, а десятичное представление чисел от 0 до 59). Другой пример – двоично-десятичное представление десятичных чисел.
m-разрядное число N = dm-1dm-2…d1d0 в любой позиционной системе счисления с постоянным основанием B и естественным порядком следования весов (например, в двоичной, десятичной, шестнадцатеричной) можно представить в виде:
N=dm-1*Bm-1+dm-2*Bm-2+ dm-3*Bm-3+ …+d1*B1 + d0*B0. =
(((……di)B+di-1)B+…+d2)B+d1)B+d0
Например в десятичной:
1056d=(1*103+0*102+5*101+6*100)d = 1056 (1)
Двоичная система счисления – имеет основание 2, значения цифр: 0 и 1.
101011b = (1*25+0*24+1*23+0*22+1*21+1*20)d =32+8+2+1=43 (2)