Теорема Ферма

Теорема(Ферма) (о равенстве нулю производной). Если функция f(x), дифференцируема на интервале (a, b) и достигает наибольшего или наименьшего значения в точке с є (a, b), тогда производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f'(с) = 0.

Рис. 1

Доказательство. Пусть функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b) и в точке х = с принимает наибольшее значение M при с є (a, b) (рис. 1), т.е.

f(с) ≥ f(x) или f(x) – f(c) ≤ 0 или f(с + Δх) – f(с) ≤ 0.

Производная f'(x) в точке х = с:.

Если x > c, Δх > 0 (т.е. Δх → 0 справа от точки с), то и поэтому f'(с) ≤ 0.

Если x < с, Δх < 0 (т.е. Δх → 0 слева от точки с), то , откуда следует, что f'(с) ≥ 0.

По условию f(x) дифференцируема в точке с, следовательно, ее предел при x → с не зависит от выбора направления приближения аргумента x к точке с, т.е. .

Получаем систему , из которой следует f'(с) = 0.

В случае, когда f(с) = т (т.е. f(x) принимает в точке с наименьшее значение), доказательство аналогичное. Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма: в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс.