Теорема Лагранжа и ее следствия

Теорема(Лагранж) (о конечных приращениях). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна точка с є (a, b) такая, что выполняется равенство

f(b) – f(a) = f'(с) (b – a) – формула Лагранжа (о конечном приращении).

Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши, если положить φ(х) = х. В этом случае

φ(b) – φ(a) = b – a, φ'(x) = 1, φ'(с) = 1.

Подставляя эти значения в формулу , получаем или f(b) – f(a) = f'(с) (b – a).

Формула Лагранжа: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a, b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.

Геометрический смысл формулы Лагранжа.

Запишем формулу Лагранжа в виде , где a < c < b. Отношение есть угловой коэффициент секущей АВ, а f'(с) – угловой коэффициент касательной к кривой в точке х = с (рис. 2).

Рис. 2

Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: на графике функции f(x) найдется точка С(с, f(с)), в которой касательная к графику f(x) параллельна секущей АВ.

Следствие 1.Если f'(х) = 0 на некотором промежутке (a, b), то функция f(x) постоянна на этом промежутке.

Доказательство. Пусть f'(х) = 0 для любого х є (a, b). Возьмем произвольные х₁ и х₂ из (a, b) и пусть х₁ < х₂. Тогда по теореме Лагранжа существует точка с є (a, b) такая, что f(х₂) – f(х₁) = f'(с) (х₂ – х₁). Но по условию f'(х) = 0, стало быть, f'(с) = 0, где х₁ < с < х₂. Поэтому имеем f(х₂) – f(х₁) = 0 или f(х₂) = f(х₁). А так как х₁ и х₂ – произвольные точки из (a, b), то имеем f(x) = с.

Следствие 2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Доказательство. Пусть f'₁(х) = f'₂(х) при х є (a, b).

Тогда (f₁(х) – f₂(х))' = f'₁(х) – f'₂(х) = 0. Следовательно, согласно следствию 1, функция f₁(х) – f₂(х) есть постоянная, т.е. f₁(х) – f₂(х) = с для . Теорема доказана.

Для отрезка [х, х + Δх] формула Лагранжа будет иметь вид:

f(х + Δх) – f(х) = f'(с) Δх.