Ay, мистер Херш, вы «здесь»?

Рубен Херш принадлежит к небольшой группе математиков, убежденных, что математика реальна лишь в контексте человеческой цивилизации. А я – бесстыжий платоник и предпочитаю иной язык мышления, предполагающий, что если из Вселенной исчезнут все разумные существа, то математические объекты и теоремы в каком‑то смысле никуда не денутся – даже если не останется никого, кто смог бы писать или говорить о них. Гигантские простые числа продолжают быть простыми, хоть никто и не доказывал, что они являются таковыми. Как выразился однажды Бертран Рассел, даже в центре Солнца дважды два – четыре.

Более ранние мои замечания по этой теме см. под заголовком «В защиту платоновского реализма» – так называется глава у моей книги «Джинн из гиперпространства» (Амхерст, штат Нью‑Йорк: «Prometheus Books» , 2008).

Брайан Дэвис в своей статье «Дайте платонизму умереть» («IMS Newsletter»[79], июнь 2007) определяет математический платонизм как убежденность в том, что математические объекты существуют «в некоем математическом царстве, за пределами времени и пространства». Но у меня (как, полагаю, и у большинства математических платоников) – иные убеждения. Аристотель, математический реалист, с радостью ухватился за платоновские универсалии трансцендентального царства («оранжевость», «коровность», «двоечность» и т. п.), приспособив их к объектам, существующим во времени и пространстве. Так, геометрическая форма вазы находится «здесь», в данной вазе, эта форма не плавает где‑то возле платоновской «пещеры».

В качестве примера можно рассмотреть камешки. Пусть каждый из них – модель числа 1. В таком случае очевидно, что все теоремы арифметики можно доказать, перекладывая камешки. В принципе таким путем можно даже доказать, что произвольно выбранное число (не важно, насколько большое) является простым или составным.

Рубен Херш, мой давний оппонент, в своей статье «О платонизме» пишет:

На мой взгляд, платонизм (имея в виду обычный, бытовой платонизм типичного практикующего математика) справедливо признаёт существование математических фактов и объектов, не управляемых волей или прихотью конкретного математика, но обрушиваемых на него как объективные факты и сущности, о которых он должен узнавать и чье независимое существование и чьи качества он стремится обнаруживать и исследовать.

Что ж, профессор Херш, добро пожаловать в Платоновский клуб! Любой платоник всецело согласится с вашими словами. Но затем Херш делает невероятное заявление: «Ошибка платонизма – в неверной интерпретации этой объективной реальности, в выведении ее за рамки человеческой культуры и сознания».

Математические теоремы и объекты, продолжает Херш, подобно «многим другим реалиям культуры» являются «внешними и объективными с точки зрения любой отдельной личности (курсив Херша), но при этом внутренними, историчными и социально обусловленными с точки зрения данного социума или данной культуры в целом (по‑прежнему курсив Херша)».

Получается, Херш все‑таки не платоник! Неужели он вправду отрицает, что перекладывание камешков с целью доказать, скажем, что число 17 является простым, – это процесс, протекающий «здесь» независимо отданной культуры? Разумеется, манипулирование камешками является культурно обусловленным – в том тривиальном смысле, что вообще всякая человеческая деятельность так или иначе обусловлена культурой. Но не более того. Тот факт, что число 17 – простое, очевидным образом реализуется «здесь», в поведении камешков: по сути, аналогичным образом присутствует «здесь» эллиптическая орбита Марса или спиральная форма нашей галактики.

Херш буквально помешан на втискивании математики в социальность; в своей книге «Что же такое математика?» («Oxford University Press», 1997) пишет даже (крепитесь!), что 8+5 не обязательно равняется 13, ибо у отдельных небоскребов нет тринадцатого этажа. Стало быть, если вы доедете на лифте до восьмого этажа, а потом подниметесь еще на пять этажей, вы окажетесь на четырнадцатом этаже. Вероятно, Херш предполагает тем самым, что в субкультуре некоторых высотных зданий законы арифметики постоянно нарушаются?

Надо ли мне отмечать здесь, что с тех пор, как Декарт арифметизировал геометрию, ее модели тоже в принципе возможно строить с помощью камешков? И в самом деле, Вселенная заполнена моделями почти всех математических областей, объектов и теорий. Любой тополог сумеет доказать, построив грубую модель из конверта и затем разрезав ее пополам, что рассечение бутылки Клейна на две равные части даст две зеркальные ленты Мёбиуса[80].

Для комплексных чисел и производных функций, возможно, не существует материальных моделей, однако и эти объекты вкраплениями испещряют Вселенную. Ньютон и Лейбниц, если выражаться обиходным языком, изобрели дифференциальное и интегральное исчисление, но в более глубинном смысле они открыли законы, согласно которым живет Вселенная. Множество Мандельброта не находится вне пространства и времени[81]. Оно существует на компьютерных экранах. Неужели антиреалисты считают, что математик, занимающийся свойствами Мандельбротова множества, на самом деле изучает структуры внутри собственного мозга, так как его глаза и мозг воспринимают экран, или что он исследует часть человеческой цивилизации и культуры, к которой он принадлежит, – потому что именно эта цивилизация создала его компьютер?

Подобные рассуждения грешат таким же искажением научного языка, как и заявления, что астрономы, мол, изучают «нездешние» образования, поскольку телескопы – часть человеческой культуры, не говоря уж о том, что и вся астрономия тоже является ее частью. Отсюда недалеко до утверждений, что и вся Вселенная существует лишь потому, что ее наблюдают человеческие цивилизации (а не наоборот – мы существуем, потому что нас создала Вселенная).

Возможно, кардинальные числа, введенные Кантором[82], не находятся «здесь», но кто знает?.. Не исключено, что они скрываются где‑нибудь в космосе. Подобно физикам, математики часто совершают открытия, исследуя материальные модели. Классический пример: Фрэнк Морли вывел свою «теорему Морли», изучая углы бумажных моделей произвольных треугольников – моделей таких же «здешних», как камни или звезды. Никоим образом нельзя сказать, будто Морли изобрел свою теорему или нашел ее где‑то внутри своего черепа или культуры, к которой принадлежал.

В своей статье Херш справедливо называет меня теистом. И добавляет, что я верю в действенность молитвы. Атеисту Хершу это кажется оскорблением. Что ж, все зависит от значения слова «действенность». Я не верю, что если кто‑нибудь помолится о победе футбольной команды или о выздоровлении любимого человека, больного раком, то Господь приложит десницу к Вселенной и тут же ее изменит. Я могу допустить, что Бог вполне способен менять вероятности исхода событий на квантовом уровне, – в наши дни эта догадка популярна среди теистов, – но все же я склонен сомневаться и в этом.

Однако я в самом деле считаю, что молитвы о прощении оправданны, а молитвы о даровании мудрости помогают принимать верные решения. Гилберт Честертон замечает где‑то, что для атеиста настанет грустный день, когда с ним произойдет что‑то чудесное, а ему будет некого за это поблагодарить.

Херш пишет также, что как‑то раз я обвинил его в сталинизме. Не могу себе представить, как бы я мог такое сделать. Если все‑таки сделал – приношу свои извинения. Возможно, я однажды напомнил ему душераздирающую сцену из оруэлловского «1984», где чиновник ухитряется, пытая узника, заставить того поверить, что, когда два пальца прибавляют к двум, появляется еще и пятый.

Кроме того, Херш заявляет: один раз я обвинил его в том, что он солипсист. И снова я не совсем понимаю, что он имеет в виду. Не исключаю, что я описывал его антиреализм как туманную разновидность социального (коллективного) солипсизма. Херш – большой поклонник статьи антрополога Лесли Уайта «Место математической реальности». Ее место, как заявляет Уайт, не во внешнем мире, а в человеческой культуре. Математические теоремы сходны в этом смысле с правилами дорожного движения, модами, живописью, музыкой и т. п.

Конечно же это не солипсизм в обычном смысле слова. За пределами психиатрических лечебниц вообще нет истинных и последовательных солипсистов. Однако антиреализм Уайта и Херша приправлен социальным солипсизмом – поскольку, по их утверждениям, если исчезнет человеческая цивилизация, уйдет в небытие и вся математика. Ну да, Вселенная при этом не погибнет, однако больше не останется никого, кто занимался бы математикой (разве что ученые на других планетах). Полагаю, Херш согласится: то, что мы называем математическими структурами и явлениями, будет по‑прежнему существовать, однако если не останется ни одного разумного существа, которое бы изучало их, во Вселенной не будет ничего, что заслуживало бы названия математики.

И тут снова возникает вопрос о том, какой же научный язык в данном случае самый лучший и наименее противоречивый. Мне кажется, лучше всего сказать, что если исчезнут все разумные существа, то 2+2 по‑прежнему будет равно четырем, отношение длины окружности лунного диска к его диаметру по‑прежнему будет близко к та, а сумма внутренних углов евклидова треугольника будет по‑прежнему составлять 180°. Подозреваю, Херш предпочтет заявить, что ни одно из этих суждений больше не будет верным, поскольку не останется цивилизаций, где такие утверждения могли бы выдвигаться. А если он думает иначе, тогда Херш, чего доброго, превратится в платоника.

Вместе с Полем Дираком и тысячами других выдающихся математиков я верю, что существует Бог – непревзойденный математик, чьи познания в этой науке гораздо, гораздо обширнее наших. Но бесконечны ли они – откуда мне знать? Господу наверняка неведома последняя цифра числа то, ибо такой цифры не существует вообще. Даже будь я атеистом, мне бы казалось чудовищным высокомерием считать, что математика реально существует лишь в сознании разумных обезьян.