Методические указания и задания контрольных работ

 

МАТЕМАТИКА

 

Методические указания и задания контрольных работ

для студентов первого курса

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение..................................................................................................... 4

Общие методические указания............................................................... 4

1. Контрольная работа 1 ....................................................................... 12

2. Контрольная работа 2 ....................................................................... 19

3. Методические указания к выполнению контрольной

работы 1................................................................................................ 25

4. Методические указания к выполнению контрольной

работы 2................................................................................................ 56

Литература .............................................................................................. 87

Приложения ............................................................................................ 88

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Программа дисциплины «Математика» предусматривает изучение студентами первого курса основ аналитической геометрии и математического анализа. Настоящая методическая разработка содержит задания контрольных работ № 1 и № 2 и методические указания к их выполнению, где приведены образцы решения типовых задач по указанным разделам. В работе имеется справочный материал по основным теоретическим вопросам курса, а также по элементарной математике.

Обратите внимание на правила оформления работ.

Если контрольная работа возвращена на доработку, то необходимо исправить недочеты (в той же тетради) и сдать работу на повторную проверку.

По каждой контрольной работе со студентом проводится собеседование, после чего выставляется оценка: «зачтено» или «незачтено».

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ЗА ПЕРВЫЙ КУРС

Тема 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и… 2. Решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функций. Производная сложной функции. Производная обратной функции. 17. Производные высших порядков. 18. Дифференциал функции; его геометрический смысл. Свойства дифференциала. Применение дифференциала в приближенных…

Тема 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей. 31. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный… 32. Производная от определенного интеграла по верхнему пределу. Связь между определенным и неопределенным интегралом…

ПРАВИЛО ВЫБОРА ВАРИАНТА

Вариант контрольной работы определяется по двум последним цифрам номера зачетной книжки студента (таблицы 1 и 2). Например, если две последние цифры номера зачетной книжки студента 78, то вариант контрольных работ - 78.

В левой графе таблицы (по вертикали), где размещены цифры от 0 до 9, необходимо выбрать цифру, являющуюся предпоследней в номере вашего варианта. В верхней строке (по горизонтали), где также размещены цифры от 0 до 9, следует выбрать цифру, являющуюся последней в номере вашего варианта.

На пересечении вертикальной и горизонтальной линий вы найдете номера заданий своей контрольной работы.

Например, если номер варианта 78, то контрольная работа 1 должна включать задачи 4, 17, 23, 39, 47, 56; контрольная работа 2 – задачи 4, 18, 22, 37, 45, 53.

Обратите внимание: имеется отдельная таблица выбора варианта каждой контрольной работы.

Будьте внимательны при выборе варианта. Работа, выполненная не по своему варианту, возвращается без проверки.

Таблица 1

 

ВЫБОР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

 

Последняя цифра номера варианта

Предпоследняя цифра номера варианта

Окончание табл. 1

 

Последняя цифра номера варианта

Предпоследняя цифра номера варианта

 

Таблица 2

ВЫБОР ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2

		Последняя цифра номера варианта
Предпоследняя цифра номера варианта

Окончание табл. 2

		Последняя цифра номера варианта
Предпоследняя цифра номера варианта

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного и зеленого, оставляя поля для замечаний… 2. На обложке тетради разборчиво написать фамилию, инициалы, номер контрольной… 3. Работа обязательно должна содержать все задачи именно вашего варианта.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Задачи 1–20

Даны вершины треугольника: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3). Сделать чертеж и найти: 1) длину стороны АВ;

Тема 2. Элементы линейной алгебры

Задачи 21–30

21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29.

Тема 3. Введение в математический анализ

 

Задачи 31–40

  31. ;  

Задачи 41–50

41. а) ; б) .   42. а) ; б) .

Задачи 51– 60

Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) и построить ее график.   51.52.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2

Тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задачи 1–10

Найти производные данных функций и их дифференциалы.   1. а) ; б) ;   в); г) . …

Задачи 11– 20

Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

 

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

Задачи 21– 30

Дана функция и значения аргумента и . Найти приближенное значение данной функции при , исходя из ее точного значения.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

Тема 2. Интегральное исчисление

Задачи 31– 40

Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.   31. а) 32.а) б) б) в)…

Задачи 41–50

  41. 42. 43. …

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1

В методических указаниях даны образцы решения задач, аналогичных предлагаемым в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и… Детально приводя решения задач, не следует вдаваться в подробные словесные…  

Аналитическая геометрия на плоскости

· Формула расстояния между двумя точками А(хA;уA) и В(хB;уB):  

Задачи 21–30

Пределы функций, основные теоремы о пределах

1. Теоремы о пределах. Пусть существуют конечные пределы и . Тогда справедливы следующие…   ;

Задачи 31– 40

Замечательные пределы,

Эквивалентные бесконечно малые функции

1. Замечательные пределы: · первый замечательный предел: ; · второй замечательный предел:

Решение.

В рассматриваемых задачах неопределенность вида была раскрыта после замены бесконечно малых функций на эквивалентные им и сокращения полученных… Ответ. Задача. Вычислить предел

Решение.

   

Непрерывность функции

1.Односторонние пределы функции в точке.   · Правый предел: .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 2

Вторая контрольная работа посвящена темам «Дифференциальное исчисление функции одной переменной» (задачи 1–10, 11– 20), «Интегральное исчисление» (задачи 31–40 и 41–50), Ниже приведен справочный материал по этим темам и даны образцы решения задач.

 

Задачи 1–10

 

Производная и дифференциал функции одной переменной

  Пусть даны дифференцируемые функции u(x) и (x), тогда справедливы формулы:

Производная сложной функции.

y = f(u), где u = u(x) , т.е. функция от функции. Например, · функция является сложной, так как ее можно представить в виде, где

Таблица производных.

 

Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

 

4. Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной:

 

Задача.Найти производные данных функций и их дифференциалы:

 

а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Решение.

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирования, используя правила действия со степенями (прил. 1).  

Задачи 11 – 20

Исследование функции

1.Проиллюстрируем на примере некоторые важные свойства графика функции (рис. 4).    

Задача. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.

1. Область определения функции. В нашем примере это множество всех действительных чисел, т.е. x(–;+).

Задачи 31–40

Неопределенный интеграл, методы интегрирования

  1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.  

Проверка.

 

Проверка.

  Что и требовалось показать.

Проверка.

. Получена подынтегральная функция.  

Проверка.

Что и требовалось показать. б.4) . За новую переменную возьмем функцию, стоящую в основании степени . Тогда

Проверка.

.

Получена подынтегральная функция.

 

Интеграл под буквой в в контрольной работе также берется методом замены переменной (подстановкой). Ознакомимся с примерами таких подстановок.

в.1) .

За новую переменную удобно взять аргумент тригонометрической функции, если к тому же под интегралом присутствует производная этого аргумента (с точностью до постоянного множителя).

Проверка.

Что и требовалось показать. в.2) . Здесь за новую переменную удобно принять показатель степени, учитывая, что под знаком интеграла присутствует…

Проверка.

Что и требовалось показать. в.3) . За новую переменную удобно взять подкоренное выражение, так как под интегралом присутствует также его производная (с…

В.6) .

Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции.

 

 

Проверка.

Что и требовалось показать.

Интеграл под буквой г берется методом интегрирования по частям:

.

 

г.1) .

 

Проверка.

Что и требовалось показать. г.2) .*

Задачи 41–50

 

Определенный интеграл, вычисление площадей

1. Понятие определенного интеграла. Определенный интеграл – это число, которое находится по формуле… ,

S

 

S

0 a b x

 

0 a b x

 

Рис. 8 Рис. 9

 

3.Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь фигуры, заключенной между кривыми и на отрезке , вычисляется по формуле

,

при этом для (рис. 9).

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и . Сделать чертеж.

 

 

Решение. Выполним чертеж.

Первое уравнение определяет параболу, а второе – прямую линию.

Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.

Если уравнение параболы , то вершина параболы находится в точке . В данной задаче , . Итак, вершина параболы – точка (3;– 4).

Точки пересечения параболы с осями.

С осью Ox: , тогда . Решив квадратное уравнение (прил.1, п. 2), получаем . Точки пересечения параболы с осью есть точки (1;0) и (5;0).

С осью Oy: , тогда . Точка пересечения параболы с осью есть точка (0;5).

Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх, т.к. (рис. 10).

Прямую строим по двум точкам, например,

при ; при .

Получены точки: .

 

 

 

 

 

 

0 1 3 5 6

–1

 

 

 

–4

 

Рис. 10

Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

.

Решим полученное квадратное уравнение:

Найдем соответствующие ординаты из уравнения y = x–1: . Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки .

Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой (рис.10). Здесь функции и ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при .

Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой

 

.

Ответ. Искомая площадь равна:

Замечание.Если одна из линий – гипербола, например, xy = –6, то ее можно построить по точкам. Удобно взять точки с абсциссами и вычислить соответствующие им ординаты y, в нашем случае по формуле .

Если в ответе задачи получен логарифм числа, то значение логарифма можно взять из прил.1, п. 9.

 

 

.

.

Следовательно, экстремум в точке есть. Так как , то в точке – максимум функции.

 

6. Найдем значение функции в точке максимума:

.

Ответ.– точка максимума функции .

ЛИТЕРАТУРА

1. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, 1997.

 

2. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1996.

 

3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании. – М.: Дело, 2001.

 

4. Математический анализ: Учебно-методическое пособие. – Новосибирск: СибУПК, 2003.

 

5. Методические указания по изучению элементарной математики для студентов 1 курса. – Новосибирск: СибУПК, 1989.

 

6. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике: В 2-х ч. – М.: Рольф, 2000.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

 

Справочный материал по элементарной математике

  2. Формулы для нахождения корней квадратного уравнения

Графики основных элементарных функций

1. Степенные функции:            

ТАБЛИЦА ТА Н ГЕНСОВ

Градусы	Доли градусов
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	0,0000	0,0017	0,0035	0,0052	0,0070	0,0087	0,0105	0,0122	0,0140	0,0157
	0,0175	0,0192	0,0209	0,0227	0,0244	0,0262	0,0279	0,0297	0,0344	0,0332
	0,0349	0,0367	0,0384	0,0402	0,0419	0,0437	0,0454	0,0472	0,0489	0,0507
	0,0524	0,0542	0,0559	0,0577	0,0594	0,0612	0,0629	0,0647	0,0664	0,0682
	0,0699	0,0717	0,0734	0,0752	0,0769	0,0787	0,0805	0,0822	0,0840	0,0857
	0,0875	0,0892	0,0910	0,0928	0,0945	0,0963	0,0981	0,0998	0,1016	0,1033
	0,1051	0,1069	0,1086	0,1104	0,1122	0,1139	0,1157	0,1175	0,1192	0,1210
	0,1228	0,1246	0,1263	0,1281	0,1299	0,1317	0,1334	0,1352	0,1370	0,1388
	0,1405	0,1423	0,1441	0,1459	0,1477	0,1495	0,1512	0,1530	0,1548	0,1566
	0,1584	0,1602	0,1620	0,1638	0,1655	0,1673	0,1691	0,1709	0,1727	0,1745
	0,1763	0,1781	0,1799	0,1817	0,1835	0,1853	0,1871	0,1890	0,1908	0,1926
II	0,1944	0,1962	0,1980	0,1998	0,2016	0,2035	0,2053	0,2071	0,2089	0,2107
	0,2126	0,2144	0,2162	0,2180	0,2199	0,2217	0,2235	0,2254	0,2272	0,2290
	0,2309	0,2327	0,2345	0,2364	0,2382	0,2401	0,2419	0,2438	0,2456	0,2475
	0,2493	0,2512	0,2530	0,2549	0,2568	0,2586	0,2605	0,2623	0,2642	0,2661
	0,2679	0,2698	0,2717	0,2736	0,2754	0,2773	0,2792	0,2811	0,2830	0,2849
	0,2867	0,2886	0,2905	0,2924	0,2943	0,2962	0,2981	0,3000	0,3010	0,3038
	0,3057	0,3076	0,3096	0,3115	0,3134	0,3153	0,3172	0,3191	0,3211	0,3230
	0,3249	0,3269	0,3288	0,3307	0,3327	0,3346	0,3365	0,3385	0,3404	0,3424
	0,3443	0,3463	0,3482	0,3502	0,3522	0,3541	0,3561	0,3581	0,3600	0,3620
	0,3640	0,3659	0,3679	0,3699	0,3719	0,3739	0,3759	0,3779	0,3799	0,3819
	0,3839	0 3859	0,3879	0,3899	0,3919	0,3939	0,3959	0 3979	0,4000	0,4020
	0,4040	0,4061	0,4081	0,4101	0,4122	0,4142	0,4163	0,4183	0,4204	0,4224
	0,4245	0,4265	0,4286	0,4307	0,4327	0,4348	0,4369	0,4390	0,4411	0,4431
	0,4452	0,4473	0,4494	0,4515	0,4536	0,4557	0,4578	0,4599	0,4621	0,4642
	0,4663	0,4684	0,4706	0,4727	0,4748	0,4770	0,4791	0,4813	0,4834	0,4856
	0,4877	0,4899	0,4921	0,4942	0,4964	0,4986	0,5008	0,5029	0,5051	0,5073
	0,5095	0,5117	0,5139	0,5161	0,5184	0,5206	0,5228	0,5250	0,5272	0,5295
	0,5317	0,5340	0,5362	0,5384	0,5407	0,5430	0,5452	0,5475	0,5498	0,5520
	0,5543	0,5566	0,5589	0,5612	0,5635	0,5658	0,5681	0,5704	0,5727	0,5750
	0,5774	0,5797	0,5820	0,5844	0,5867	0,5890	0,5914	0,5938	0,5961	0,5985
	0,6009	0,6032	0,6056	0,6080	0,6104	0,6128	0,6152	0,6176	0,6200	0,6224
	0,6249	0,6273	0,6297	0,6322	0,6346	0,6371	0,6395	0,6420	0,6445	0,6469
	0,6494	0,6519	0,6544	0,6569	0,6594	0,6619	0,6644	0,6669	0,6694	0,6720
	0,6745	0,6771	0,6796	0,6822	0,6847	0,6873	0,6899	0,6924	0,6950	0,6976
	0,7002	0,7028	0,7054	0,7080	0,7107	0,7133	0,7159	0,7186	0,7212	0,7239
	0,7265	0,7292	0,7319	0,7346	0,7373	0,7400	0,7427	0,7454	0,7481	0,7508
	0,7536	0,7563	0,7590	0,7618	0,7646	0,7673	0,7701	0,7729	0,7757	0,7785
	0,7813	0,7841	0,7869	0,7898	0,7926	0,7954	0,7983	0,8012	0,8040	0,8069
	0,8098	0,8127	0,8156	0,8185	0,8214	0,8243	0,8273	0,8302	0,8332	0,8361
	0,8391	0,8421	0,8451	0,8481	0,8511	0,8541	0,8571	0,8601	0,8632	0,8662
	0,8693	0,8724	0,8754	0,8785	0,8816	0,8847	0,8878	0,8910	0,8941	0,8972
	0,9004	0,9036	0,9067	0,9099	0,9131	0,9163	0,9195	0,9228	0,9260	0,9293
	0,9325	0,9358	0,9391	0,9424	0,9457	0,9490	0,9523	0,9556	0,9590	0,9623
	0,9657	0,9691	0,9725	0,9759	0,9793	0,9827	0,9861	0,9896	0,9930	0,9965
	1,0000	1,00015	1,0070	1,0105	1,0141	1,0176	1,0212	1,0247	1,0283	1,0319

 

Окончание прил.3

 

Градусы	Доли градусов
	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9
	1,0000	1,0035	1,0070	1,0105	1,0141	1,0176	1,0212	1,0247	1,0283	1,0319
	1,0355	1,0392	1,0428	1,0464	1,0501	1,0538	1,0575	1,0612	1,0649	1,0686
	1,0724	1,0761	1,0799	1,0837	1,0875	1,0913	1,0951	1,0990	1,1028	1,1067
	1,1106	1,1145	1,1184	1,1224	1,1263	1,1303	1,1343	1,1383	1,1423	1,1463
	1,1504	1,1544	1,1585	1,1626	1,1667	1,1708	1,1750	1,1792	1,1833	1,1875
	1,1918	1,1960	1,2002	1,2045	1,2088	1,2131	1,2174	1,2218	1,2261	1,2305
	1,2349	1,2393	1,2437	1,2483	1,2527	1,2572	1,2617	1,2662	1,2708	1,2753
	1,2799	1,2846	1,2892	1,2938	1,2985	1,3032	1,3079	1,3127	1,3175	1,3222
	1,3270	1,3319	1,3367	1,3416	1,3465	1,3514	1,3564	1,3613	1,3663	1,3713
	1,3764	1,3814	1,3865	1,3916	1,3968	1,4019	1,4071	1,4124	1,4176	1,4229
	1,4281	1,4335	1,4388	1,4442	1,4496	1,4550	1,4605	1,4659	1,4715	1,4770
	1,4826	1,4882	1,4938	1,4994	1,5051	1,5108	1,5166	1,5224	1,5282	1,5340
	1,5399	1,5458	1,5517	1,5577	1,5637	1,5697	1,5757	1,5818	1,5880	1,5941
	1,6003	1,6066	1,6128	1,6191	1,6255	1,6319	1,6383	1,6447	1,6512	1,6577
	1,6643	1,6709	1,6725	1,6842	1,6909	1,6977	1,7045	1,7113	1,7182	1,7251
	1,7321	1,7391	1,7461	1,7532	1,7603	1,7675	1,7747	1,7820	1,7893	1,7966
	1,8040	1,8115	1,8190	1,8265	1,8341	1,8418	1,8495	1,8572	1,8650	1,8728
	1,8807	1,8887	1,8967	1,9047	1,9128	1,9210	1,9292	1,9375	1,9458	1,9542
	1,9626	1,9711	1,9797	1,9883	1,9970	2,0057	2,0145	2,0233	2,0323	2,0413
	2,0503	2,3463	2,3482	2,3502	2,3522	2,3541	2,3561	2,3581	2,3600	2,3620
	2,1445	2,1543	2,1642	2,1742	2,1842	2,1943	2,2045	2,2148	2,2251	2,2355
	2,2460	2,2566	2,2673	2,2781	2,2889	2,2998	2,3109	2,3220	2,3332	2,3445
	2,3559	2,3673	2,3798	2,3906	2,4023	2,4142	2,4262	2,4383	2,4504	2,4627
	2,4751	2,4876	2,5002	2,5129	2,5257	2,5386	2,5517	2,5649	2,5782	2,5916
	2,6051	2,6187	2,6325	2,6464	2,6605	2,6746	2,6889	2,7034	2,7179	2,7326
	2,7475	2,7625	2,7776	2,7927	2,8083	2,8239	2,8397	2,8556	2,8716	2,8878
	2,9042	2,9208	2,9375	2,9544	2,9714	2,9887	3,0061	3,0237	3,0415	3,0595
	3,0777	3,0961	3,1146	3,1334	3,1524	3,1716	3,1910	3,2106	3,2305	3,2506
	3,2709	3,2914	3,3122	3,3332	3,3544	3,3759	3,3977	3,4197	3,4420	3,4646
	3,4874	3,5105	3,5329	3,5576	3,5816	3,6059	3,6305	3,6554	3,6806	3,7062
	3,7321	3,7583	3,7848	3,8118	3,8391	3,8667	3,8947	3,9232	3,9520	3,9812
	4,0108	4,0408	4,0713	4,1022	4,1335	4,1653	4,1976	4,2303	4,2635	4,2972
	4,3315	4,3662	4,4015	4,4373	4,4737	4,5107	4,5483	4,5864	4,6252	4,6646
	4,7046	4,7453	4,7867	4,8288	4,8716	4,9152	4,9594	5,0045	5,0504	5,0970
	5,1446	5,1929	5,2422	5,2924	5,3435	5,3955	5,4486	5,5026	5,5578	5,6140
	5,6713	5,7297	5,7894	5,8502	5,9124	5,9758	6,0405	6,1066	6,1742	6,2432
	6,3138	6,3859	6,4596	6,5350	6,6122	6,6912	6,7720	6,8548	6,9395	7,0264
	7,1154	7,2066	7,3002	7,3962	7,4947	7,5958	7,6996	7,8062	7,9158	8,0285
	8,1443	8,2636	8,3863	8,5126	8,6427	8,7769	8,9152	9,0579	9,2052	9,3572
	9,5144	9,6768	9,8448	10,0187	10,1988	10,3854	10,5789	10,7797	10,9882	11,2048
	11,4301	11,6645	11,9087	12,1632	12,4288	12,7062	12,9962	13,2996	13,6174	13,9507
	14,3007	14,6685	15,0557	15,4638	15,8945	16,3499	16,8319	17,3432	17,8863	18,4645
	19,0811	19,7403	20,4465	21,2049	22,0217	22,9038	23,8593	24,8978	26,0307	27,2715
	28,6363	30,1444	31,8205	33,6935	35,8006	38,1885	40,9174	44,0661	47,7395	52,0807
	57,2900	63,6567	71,6151	81,8470	95,4895	114,588	143,237	190,984	296,477	572,957