рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Аналитическая геометрия на плоскости

Аналитическая геометрия на плоскости - Контрольная Работа, раздел Образование, Методические указания и задания контрольных работ 1. Основные Формулы Метода Координат. · Ф...

1. Основные формулы метода координат.

· Формула расстояния между двумя точками А(хAA) и В(хBB):

 

 

· Формула нахождения координат точки Е – середины отрезка АВ:

 

 

2. Уравнения прямой на плоскости.

Прямую линию на плоскости можно задавать различными способами, приведем некоторые их них.

  • Общее уравнение прямой:

Ax + By + C = 0,

  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

 

y = kx+b.

 

Если известны координаты двух различных точек А(хAA) и В(хBB) на прямой, то угловой коэффициент можно вычислить по формуле

  • Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку (x0;y0):

Если в этом уравнении менять k, то получим семейство прямых, проходящих через точку (x0;y0), которое называют «пучком прямых».

 

  • Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(хAA) и В(хBB):

,

где .

Если , то прямая параллельна оси Oy, ее уравнение: x = xA.

Если , то прямая параллельна оси Ox, ее уравнение: y = yA.

 

Обратите внимание, что уравнение прямой, в каком бы виде оно ни было записано, является уравнением первой степени.

 

3. Взаимное расположение прямых.

 

Пусть k1 и k2 – угловые коэффициенты двух прямых.

Формула нахождения тангенса острого угла между прямыми:

 

· Условие параллельности прямых: .

· Условие перпендикулярности прямых: .

 

4. Положение точки относительно прямой.

Формула нахождения расстояния от точки М(x0;y0) до прямой

Ax + By + C = 0:

Точка М(x0;y0) лежит на прямой Ax + By + C = 0, если ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е. справедливо равенство

Ax0 + By0 + C = 0.

Задача. Даны вершины треугольника А(2;1), В(–4;4), С(–1,5). Сделать чертеж и найти:

1) длину стороны АВ;

2) внутренний угол при вершине А;

3) уравнение высоты CD, проведенной через вершину С;

4) уравнение медианы ВЕ, проведенной через вершину В;

5) точку пересечения высоты CD и медианы ВЕ;

6) длину высоты, опущенной из вершины С.

Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис. 1). Построим точки А(2;1), В(–4;4), С(–1;5) в прямоугольной системе координат Oxy и, соединив их, получим треугольник АВС. Проведем высоту СD и медиану ВЕ, уравнения которых необходимо найти. Обратите внимание, что , а точка Е – середина отрезка АС.

 

 
 

Рис. 1

 

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А(2;1) и В(–4;4):

 

 

2. Отметим, что угол А в треугольнике является острым. Тангенс этого угла можно найти по формуле

Найдем угловые коэффициенты прямых:

Тогда,

С помощью калькулятора или по таблице Брадиса (см. прил. 3) определяем, что такое значение тангенса соответствует углу А26,60.

 

3. Уравнение высоты СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С:

.

По условию перпендикулярности СD и АВ:

Ранее (см. п. 2) было найдено: .

Тогда,

Подставим в уравнение получим

у –5=2(х+1);

у –5=2х+2;

2х – у+7=0 – уравнение высоты СD.

 

Замечание. Всегда следует проверять полученные результаты, причем это делать надо не простым повторением действий, а каким-либо другим способом. Например, в полученное уравнение высоты СD подставьте координаты точки С, должно получится очевидное равенство.

 

4. Медиана ВЕ соединяет вершину В с точкой Е, которая является серединой отрезка АС. Координаты точки Е:

 

Составим уравнение медианы ВЕ по двум точкам В(– 4;4) и Е, воспользовавшись формулой: .

 

2х+9у–28=0 – уравнение медианы ВЕ.

 

5. Координаты точки пересечения высоты CD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений для прямых СD и ВЕ:

 

 

В результате получим точку пересечения К(–1,75; 3,5), коорди­наты которой соответствуют точке на чертеже (рис. 1).

 

6. Длину высоты найдем как расстояние от точки С до прямой АВ по формуле

Уравнение прямой АВ составим, используя уравнение пучка прямых:

, где .

Получим ;

;

;

х+2у – 4 = 0 – уравнение прямой АВ.

 

Тогда, .

Ответы. 1)

2)

3) 2х – у+7 = 0 – уравнение высоты СD;

4) 2х+ 9у –28 = 0 – уравнение медианы ВЕ;

5) К(–1,75; 3,5);

6)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Методические указания и задания контрольных работ

МАТЕМАТИКА... Методические указания и задания контрольных работ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Аналитическая геометрия на плоскости

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ЗА ПЕРВЫЙ КУРС
  Тема 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по

Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл. 16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функ

Тема 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
29. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов. 30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей. 31. Задачи, приводящи

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ по математике нужно придерживаться следующих правил: 1. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного и зе

Задачи 1–20
  Даны вершины треугольника: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3). Сделать чертеж и найти: 1) дли

Задачи 21–30
Решить систему линейных уравнений методом Крамера. 21. 22.

Задачи 31–40
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.   31.

Задачи 41–50
Вычислить пределы, используя замечательные пределы или эквивалентные бесконечно малые функции. 41. а)

Задачи 51– 60
  Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) и построить ее график.   51.

Задачи 1–10
  Найти производные данных функций и их дифференциалы.   1. а)

Задачи 31– 40
  Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.   31. а)

Задачи 41–50
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.   41.

К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1
  В методических указаниях даны образцы решения задач, аналогичных предлагаемым в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошибки, которые допускаются с

Пределы функций, основные теоремы о пределах
1. Теоремы о пределах. Пусть существуют конечные пределы

Эквивалентные бесконечно малые функции
  1. Замечательные пределы: · первый замечательный предел:

Решение.
В рассматриваемых задачах неопределенность вида

Решение.
Очевидно, что     Далее воспользуемся вторым з

Непрерывность функции
  1.Односторонние пределы функции в точке.   · Правый предел:

Производная и дифференциал функции одной переменной
1. Правила дифференцирования.   Пусть даны дифференцируемые функции u(x) и

Производная сложной функции.
Сложная функция (суперпозиция функций) – это функция вида y = f(u), где u = u(x) , т.е. функция от функции. Например, · функция

Решение.
а) . Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцир

Исследование функции
  1.Проиллюстрируем на примере некоторые важные свойства графика функции (рис. 4).    

Задача. Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график.
Решение. Исследование будем проводить по следующей схеме. 1. Область определения функции. В нашем примере это множество всех действительных чисел,

Неопределенный интеграл, методы интегрирования
    1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.   Функция

Проверка.
 

Проверка.
 

Проверка.

Проверка.

Проверка.
Что и требовалось показать. в.2)

Проверка.
Что и требовалось показать. в.3)

Проверка.
Что и требовалось показать. г.2)

Определенный интеграл, вычисление площадей
  1. Понятие определенного интеграла. Определенный интеграл – это число, которое находится по формуле Ньютона-Лейбница:

Справочный материал по элементарной математике
1. Формулы сокращенного умножения:  

Графики основных элементарных функций
  1. Степенные функции:            

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги