Пределы функций, основные теоремы о пределах - Контрольная Работа, раздел Образование, Методические указания и задания контрольных работ
1. Теоремы О Пределах.
Пусть Существуют К...
1. Теоремы о пределах.
Пусть существуют конечные пределы и . Тогда справедливы следующие утверждения:
;
;
, где с – число;
, если .
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Бесконечно малой функцией при называется функция , предел которой равен нулю при : .
Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при . Предел этой функции обозначают знаком бесконечности : .
Теорема о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Если , то .
Если , то
Задача. Вычислить пределы функции при
Решение.В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента.
а) .
Здесь применима теорема о пределе частного.
б) .
При подстановке в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида .
Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому, следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби (п.2 и п.3 прил.1).
3х2+10х – 8 = 0;
4х2+15х– 4 = 0;
D =
D =
3х2+10х–8 = 3(х+4)(х–2/3) =
4х2+15х – 4 = 4(х+4)(х–1/4 ) =
= (х+4)(3х–2).
= (х+4)(4х–1).
Таким образом,
в)
Здесь применима теорема о пределе частного, так как существуют конечные пределы числителя и знаменателя, и предел знаменателя не равен нулю.
г)
Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.
д) .
Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.
Чтобы раскрыть неопределенность вида при , каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.
так как
(по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций).
Замечание. Полезно запомнить, что припредел отношения многочленов c одинаковыми наивысшими степенями равен отношению коэффициентов при этих степенях.
В нашем примере, коэффициенты при наивысшей степени х2 многочленов равны 3 и 4, поэтому и предел дроби равен .
МАТЕМАТИКА... Методические указания и задания контрольных работ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Пределы функций, основные теоремы о пределах
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ЗА ПЕРВЫЙ КУРС
Тема 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Определители второго и третьего порядков и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по
Тема 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
15. Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной; ее геометрический и механический смысл.
16. Правила дифференцирования функций. Производные основных элементарных функ
Тема 4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
29. Неопределенный интеграл; его свойства. Таблица основных интегралов.
30. Интегрирование заменой переменной; по частям. Интегрирование рациональных дробей.
31. Задачи, приводящи
ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
При выполнении контрольных работ по математике нужно придерживаться следующих правил:
1. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради чернилами любого цвета, кроме красного и зе
Задачи 1–20
Даны вершины треугольника: А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3).
Сделать чертеж и найти:
1) дли
Задачи 21–30
Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
21. 22.
Задачи 31–40
Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x.
31.
Задачи 41–50
Вычислить пределы, используя замечательные пределы или эквивалентные бесконечно малые функции.
41. а)
Задачи 51– 60
Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) и построить ее график.
51.
Задачи 1–10
Найти производные данных функций и их дифференциалы.
1. а)
Задачи 31– 40
Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
31. а)
Задачи 41–50
Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.
41.
К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 1
В методических указаниях даны образцы решения задач, аналогичных предлагаемым в контрольных работах; обращено внимание на основные трудности и типичные ошибки, которые допускаются с
Производная сложной функции.
Сложная функция (суперпозиция функций) – это функция вида
y = f(u), где u = u(x) , т.е. функция от функции.
Например,
· функция
Решение.
а) .
Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцир
Исследование функции
1.Проиллюстрируем на примере некоторые важные свойства графика функции (рис. 4).
Новости и инфо для студентов