Реферат Курсовая Конспект
Непрерывность функции - Контрольная Работа, раздел Образование, Методические указания и задания контрольных работ 1.Односторонние Пределы Функции В Точке....
|
1.Односторонние пределы функции в точке.
· Правый предел: .
· Левый предел: .
2.Условия непрерывности функции в точке .
Функция f(x) непрерывна в точке , если она определена в точке и имеет конечные односторонние пределы в этой точке, причем справедливо равенство:
.
Если хотя бы одно из условий непрерывности не выполняется, то – точка разрыва функции.
3.Виды точек разрыва.
В точке – разрыв 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы функции в точке , но они либо не равны между собой, либо не равны значению функции в точке .
Причем, разрыв 1-го рода называется:
· неустранимым, если ;
· устранимым, если .
В точке – разрыв 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции в не существует или равен бесконечности.
4.Свойства и графики основных элементарных функций.
К основным элементарным функциями относятся следующие функции:
· степенные: ;
например:
· показательные: ;
например: где ;
· логарифмические: ;
например: ;
· тригонометрические: ;
· обратные тригонометрические: .
Графики этих функций приведены в прил. 2.
Отметим, что все основные элементарные функции непрерывны в области их определения.
5.Наиболее часто встречающиеся элементарные функции.
· Линейная функция задает прямую линию на плоскости. Ее график можно построить по двум любым выбранным точкам. В частности, линейная функция задает на плоскости прямую, параллельную оси .
· Квадратичная функция задает параболу. Вершина параболы находится в точке , . Ветви параболы направлены вверх, если , или вниз, если .
Задача. Исследовать на непрерывность функцию в области ее определения. Указать вид точек разрыва, если они имеются. Построить график.
Решение. а) Функция определена при и непрерывна на интервалах , и , так как задана на них основными элементарными функциями.
Исследуем функцию на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений функции. Найдем в этих точках односторонние пределы функции.
При :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке разрыв второго рода.
При :
Так как односторонние пределы существуют, но не равны, то в точке имеется разрыв первого рода, неустранимый.
Строим график функции (рис. 2).
y
2,5
-1 0 1 3 4 x
-1
Рис. 2.
При строим график показательной функции , а при – график логарифмической функции (прил. 2).
При график функции – прямая . Ее удобно строить по двум точкам, например, (3;2,5) и (4;3), так как при , ; при , .
Ответ.Функция непрерывна во всех точках, кроме точки , где имеется разрыв второго рода, и точки , где имеется разрыв первого рода.
б)
Функция определена при и непрерывна на интервалах , , так как задана на них основными элементарными функциями. При – непрерывна как частное непрерывных функций, где знаменатель .
Исследуем на непрерывность в точках и , где происходит смена аналитических выражений для функции . Найдем в этих точках односторонние пределы функции.
При :
Так как в точке односторонние пределы равны, и они равны значению функции в этой точке , то функция непрерывна в точке (по определению).
При :
Так как один из односторонних пределов бесконечен, то в точке имеется разрыв второго рода.
Строим график функции (рис. 3).
При графиком функции является график тригонометрической функции (прил. 2).
При график функции – прямая , параллельная оси .
При график функции – гипербола , смещенная на 2 единицы вправо по оси х: . График строится по нескольким точкам, взятым из указанного промежутка. Например, при , ; при , . Таким образом, получены точки графика (2,5;2) и (3;1).
Полезно учесть также, что
y
1
-
x
-1
Рис.3.
Ответ.Функция имеет разрыв второго рода в точке , в остальных точках функция непрерывна.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
МАТЕМАТИКА... Методические указания и задания контрольных работ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Непрерывность функции
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов