Реферат Курсовая Конспект
Уфа 2013 - раздел Образование, Министерство Образования И Науки Российской Федерации...
|
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уфимский государственный авиационный технический университет»
ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПРАКТИКУМ
Оглавление
Введение …………………………………………………………..................... 5
1. Вычисление определителей ……………………………………….............. 6
1.1 Определители второго порядка ………………………………….......... 6
1.2 Определители третьего порядка …………………………………......... 6
1.3 Задачи для самостоятельного решения……………………………....... 7
1.4 Определители произвольного порядка ………………………….......... 7
1.5 Задачи для самостоятельного решения ….…......………………........ 10
2. Матрицы и операции над ними ….……………………………….............. 11
2.1. Понятие матрицы ...………....….......……..……………………........11
2.2. Умножение матрицы на число .............................................................. 11
2.3. Сложение матриц ................................................................................... 11
2.4. Умножение матриц ................................................................................ 12
2.5. Задачи для самостоятельного решения ……….…………………....... 13
2.6. Обратная матрица ................................................................................... 13
2.7. Задачи для самостоятельного решения ….………………………....... 15
3. Решение систем уравнений ......................................................................... 16
3.1. Линейные системы уравнений .............................................................. 16
3.2. Решение системы уравнений ................................................................. 18
3.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………........ 19
4. Векторы, простейшие действия над ними .................................................. 20
4.1. Основные понятия .................................................................................. 20
4.2. Операции над векторами ........................................................................ 20
4.3. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 21
5. Скалярное произведение векторов .............................................................. 22
5.1. Определение скалярного произведения и его свойства ...................... 22
5.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 23
6. Векторное произведение .............................................................................. 24
6.1. Определение векторного произведения ............................................... 24
6.2. Свойства векторного произведения ...................................................... 24
6.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..….......... 26
7. Смешанное произведение векторов ............................................................ 27
7.1. Определение смешанного произведения и его свойства .................... 27
7.2. Задачи для самостоятельного решения …………………………......... 29
8. Прямая на плоскости ..................................................................................... 30
8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости ...............................30
8.2. Задачи для самостоятельного решения ……….……………..………. 32
8.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой …. 32
8.4. Геометрические задачи с использованием различных уравнений прямой ............................................................................................................ 33
8.5. Задачи для самостоятельного решения …………..…………………. 34
9. Прямая и плоскость в пространстве ............................................................ 35
9.1. Плоскость в пространстве ..................................................................... 35
9.2. Задачи для самостоятельного решения ……..……..…………………. 37
9.3. Прямая и плоскость ................................................................................. 38
9.4. Задачи для самостоятельного решения …….………………………… 40
10. Кривые второго порядка на плоскости ....................................................... 42
11. Введение в анализ ......................................................................................... 44
11.1. Предел функции. Основные определения и обозначения ................. 44
11.2. Неопределенности вида 0/0 .................................................................. 46
11.3. Неопределенности вида ¥/¥ ................................................................ 49
11.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 00, ¥0, 1¥ ............................... 49
11.5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва ... 50
12. Дифференциальное исчисление функций одной переменной .................. 53
12.1. Производная функции. Основные определения и обозначения ....... 53
12.2. Правило Лопиталя ................................................................................. 56
12.3. Геометрические приложения производной ........................................ 58
13. Исследование функций и построение графиков ........................................ 59
13.1. Возрастание и убывание функций. Экстремум .................................. 59
13.2. Направление выпуклости и точки перегиба ....................................... 60
13.3. Асимптоты ............................................................................................. 61
13.4. Построение графиков функций ........................................................... 62
14. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ........ 69
14.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных ........... 69
14.2. Частные производные .......................................................................... 69
14.3. Дифференциал ...................................................................................... 70
14.4. Экстремумы функций нескольких переменных ................................ 71
14.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….…………. 72
15. Домашнее задание ........................................................................................ 73
15.1. Основные правила и требования ........................................................ 73
15.2. Варианты задания ................................................................................ 73
Список литературы ........................................................................................... 102
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей заочной формы обучения, выполняющих расчетно-графическую работу по линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных. Приведенные краткие теоретические сведения, типовые задачи и примеры по каждому разделу позволяют успешно справиться с аналогичными заданиями самостоятельно и способствуют формированию предметного представления о соотношении теоретических и практических результатов.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Определители второго порядка
Определителем второго порядка называется число:
.
Определение показывает несложность вычисления определителей второго порядка.
Примеры.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Вычислить определители:
МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ
Умножение матрицы на число
Чтобы умножить матрицу А на число l, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.
Пример. Для матрицы найдем произведение . Из определения получаем
Найдем разность матриц
Вычислим матрицу А-1
Тогда
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1) Найти где
Задача 2) Решить матричное уравнение где
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.
Задача 1) Задача 2)
Задача 3)
ВЕКТОРЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Основные понятия
Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:
. (4.1)
Направление же вектора определяется углами a, b, g, образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:
(4.2)
Операции над векторами
Произведение вектора на скалярный множитель l определяется по формуле l= (lа1, lа2, lа3).
Для двух векторов , их сумма и разность определяются по правилам:
Геометрически сумма и разность векторов строится как на рис. 1.
Рис. 1
Если точка О – начало координат, а М – точка с координатами (x, y, z), то вектор называется радиусом-вектором точки М.
Вектор с началом в точке А(x1, y1, z1) и концом в точке В(x2, y2, z2) в координатном виде записывается так: =.
Примеры.
а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е. . Так как , то Та-ким образом,
б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.
По формулам (4.1) и (4.2) определяем
в)Найти вектор , если А(2, 1, 0) и В(3, 0, 5).
Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =
= (1, -1, 5).
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ
Или
у - у0 = k (х - х0) . (8.9)
Уравнение прямой, проходящей через две точки (х0, у0) и (х1, у1) записывается в виде
или . (8.10)
Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки (-1, 3) и (2, 5).
Из (8.9) имеем или (х + 1)/3 = (у - 3)/2, или
2х - 3у + 11 = 0.
Геометрические задачи с использованием различных
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва
Под окрестностью точки будем понимать любой интервал, содержащий эту точку. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой ее окрестности и Если функция не определена в самой точке или не является непрерывной в точке то эта точка является точкой разрыва функции . При этом различают три случая:
а) существует, но не равен или не определено. В этом случае называют точкой устранимого разрыва функции .
б) Существуют и конечны оба односторонних предела и , которые не равны друг другу. В этом случае называют точкой разрыва 1-го рода функции а разность называют скачком функции в этой точке.
в) Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. В этом случае называют точкой разрыва 2-го рода функции .
Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны также функции:
1) , где и любые действительные числа,
2) ,
3) , если .
Примеры.
а) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.
Точка является точкой разрыва функции . Поскольку существует , то точка является точкой устранимого разрыва функции . График функции изображен на рис. 2. Если положить то получим функцию, непрерывную на всей числовой прямой.
Точка является точкой разрыва функции . Для определения характера разрыва найдем пределы слева и справа в этой точке:
Следовательно, точка является точкой разрыва 1-го рода функции . График функции изображен на рис. 3.
в) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.
Точка является точкой разрыва функции . Для определения характера разрыва найдем пределы слева и справа в этой точке:
Следовательно, точка является точкой разрыва 2-го рода функции . График функции изображен на рис. 4.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Геометрические приложения производной
Прямая, задаваемая уравнением называется касательной к графику функции в точке где
Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной через точку
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали можно записать в таком виде
На рис. 5 изображены касательная и нормаль к графику функции в точке .
Пример.
Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в точке
Решение.
Значение функции в точке равно значение производной в точке равно Поэтому уравнение касательной а уравнение нормали После небольших преобразований запишем уравнение касательной в виде а уравнение нормали в виде
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Основные правила и требования
Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Преподаватель также определяет какие задачи должен решить каждый студент.
Сроки сдачи задания устанавливаются преподавателем.
Варианты задания
Задача 1. Дана расширенная матрица системы. Найти решение этой системы и соответствующей ей однородной системы.
Задача 2. Дана прямая Ах + Ву + С = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0:
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб. : Профессия, 2004.
2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями в 2-х частях. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, Ч. 1. – 2009. – 368 с.
3. Сборник задач по математике для втузов под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. В 4-х ч. – М.: Физматлит, Ч. 1. – 2001. Ч. 1. – 288 с.
– Конец работы –
Используемые теги: Уфа, 20130.049
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уфа 2013
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов