рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Уфа 2013

Уфа 2013 - раздел Образование, Министерство Образования И Науки Российской Федерации...

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный авиационный технический университет»

ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

ПРАКТИКУМ

Уфа 2013

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет» … ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ И НЕСКОЛЬКИХ…

Оглавление

Введение …………………………………………………………..................... 5

1. Вычисление определителей ……………………………………….............. 6

1.1 Определители второго порядка ………………………………….......... 6

1.2 Определители третьего порядка …………………………………......... 6

1.3 Задачи для самостоятельного решения……………………………....... 7

1.4 Определители произвольного порядка ………………………….......... 7

1.5 Задачи для самостоятельного решения ….…......………………........ 10

2. Матрицы и операции над ними ….……………………………….............. 11

2.1. Понятие матрицы ...………....….......……..……………………........11

2.2. Умножение матрицы на число .............................................................. 11

2.3. Сложение матриц ................................................................................... 11

2.4. Умножение матриц ................................................................................ 12

2.5. Задачи для самостоятельного решения ……….…………………....... 13

2.6. Обратная матрица ................................................................................... 13

2.7. Задачи для самостоятельного решения ….………………………....... 15

3. Решение систем уравнений ......................................................................... 16

3.1. Линейные системы уравнений .............................................................. 16

3.2. Решение системы уравнений ................................................................. 18

3.3. Задачи для самостоятельного решения …………………………........ 19

4. Векторы, простейшие действия над ними .................................................. 20

4.1. Основные понятия .................................................................................. 20

4.2. Операции над векторами ........................................................................ 20

4.3. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 21

5. Скалярное произведение векторов .............................................................. 22

5.1. Определение скалярного произведения и его свойства ...................... 22

5.2. Задачи для самостоятельного решения ................................................. 23

6. Векторное произведение .............................................................................. 24

6.1. Определение векторного произведения ............................................... 24

6.2. Свойства векторного произведения ...................................................... 24

6.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..….......... 26

7. Смешанное произведение векторов ............................................................ 27

7.1. Определение смешанного произведения и его свойства .................... 27

7.2. Задачи для самостоятельного решения …………………………......... 29

8. Прямая на плоскости ..................................................................................... 30

8.1. Различные виды уравнений прямой на плоскости ...............................30

8.2. Задачи для самостоятельного решения ……….……………..………. 32

8.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой …. 32

8.4. Геометрические задачи с использованием различных уравнений прямой ............................................................................................................ 33

8.5. Задачи для самостоятельного решения …………..…………………. 34

9. Прямая и плоскость в пространстве ............................................................ 35

9.1. Плоскость в пространстве ..................................................................... 35

9.2. Задачи для самостоятельного решения ……..……..…………………. 37

9.3. Прямая и плоскость ................................................................................. 38

9.4. Задачи для самостоятельного решения …….………………………… 40

10. Кривые второго порядка на плоскости ....................................................... 42

11. Введение в анализ ......................................................................................... 44

11.1. Предел функции. Основные определения и обозначения ................. 44

11.2. Неопределенности вида 0/0 .................................................................. 46

11.3. Неопределенности вида ¥/¥ ................................................................ 49

11.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 00, ¥0, 1¥ ............................... 49

11.5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва ... 50

12. Дифференциальное исчисление функций одной переменной .................. 53

12.1. Производная функции. Основные определения и обозначения ....... 53

12.2. Правило Лопиталя ................................................................................. 56

12.3. Геометрические приложения производной ........................................ 58

13. Исследование функций и построение графиков ........................................ 59

13.1. Возрастание и убывание функций. Экстремум .................................. 59

13.2. Направление выпуклости и точки перегиба ....................................... 60

13.3. Асимптоты ............................................................................................. 61

13.4. Построение графиков функций ........................................................... 62

14. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных ........ 69

14.1. Предел и непрерывность функции нескольких переменных ........... 69

14.2. Частные производные .......................................................................... 69

14.3. Дифференциал ...................................................................................... 70

14.4. Экстремумы функций нескольких переменных ................................ 71

14.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….…………. 72

15. Домашнее задание ........................................................................................ 73

15.1. Основные правила и требования ........................................................ 73

15.2. Варианты задания ................................................................................ 73

Список литературы ........................................................................................... 102


ВВЕДЕНИЕ

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей заочной формы обучения, выполняющих расчетно-графическую работу по линейной алгебре, аналитической геометрии, дифференциальному исчислению функций одной и многих переменных. Приведенные краткие теоретические сведения, типовые задачи и примеры по каждому разделу позволяют успешно справиться с аналогичными заданиями самостоятельно и способствуют формированию предметного представления о соотношении теоретических и практических результатов.


 

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Определители второго порядка

Определителем второго порядка называется число:

.

Определение показывает несложность вычисления определителей второго порядка.

Примеры.

 

Определители третьего порядка

  .

Задачи для самостоятельного решения

  1) 2) ; 3)  

Определители произвольного порядка

Пусть задан определитель n-го порядка .  

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Вычислить определители:

 


МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Понятие матрицы

Матрицей порядка называется прямоугольная таблица чисел вида . Числа называются элементами матрицы. Матрицу будем коротко записывать . Если , то матрица называется квадратной…

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить матрицу А на число l, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Пример. Для матрицы найдем произведение . Из определения получаем

 

Сложение матриц

Пример. Найдем сумму матриц где

Умножение матриц

  Практически перемножение матриц осуществляется следующим образом: берут i-ю строку матрицы А, умножают ее поэлементно…

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2) Найти произведения АВ и ВА, где

Обратная матрица

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А-1. Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы была… а) n=m;

Найдем разность матриц

Вычислим матрицу А-1

 

 

Тогда

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1) Найти где

 

Задача 2) Решить матричное уравнение где

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

Линейные системы уравнений

. (3.1) Решением этой системы называется любая совокупность n чисел (a1, a2,..., an),…

Матрицы

являются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3.1). Исследование на совместность и решение системы производят обычно одновременно…

Решение системы уравнений

После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде… Примеры. а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего пункта. После элементарных преобразований (см. выше)…

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать и в случае совместности решить предлагаемые ниже системы линейных уравнений.

Задача 1) Задача 2)

Задача 3)

 


ВЕКТОРЫ, ПРОСТЕЙШИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

Основные понятия

Понятие вектора известно из школьного курса. Наиболее часто мы будем пользоваться координатной формой записи векторов: . Напомним, что всегда вектор предполагается свободным, т.е. его можно без изменения длины и направления переносить в любую точку пространства. В случае координатного задания вектора его длина вычисляется по формуле:

. (4.1)

Направление же вектора определяется углами a, b, g, образованными вектором с положительными полуосями координат Ох, Оу, Oz, которые можно найти из формул для направляющих косинусов этих углов:

(4.2)

Операции над векторами

 

Произведение вектора на скалярный множитель l определяется по формуле l= (lа1, lа2, lа3).

Для двух векторов , их сумма и разность определяются по правилам:

 

Геометрически сумма и разность векторов строится как на рис. 1.

 

Рис. 1

 

Если точка О – начало координат, а М – точка с координатами (x, y, z), то вектор называется радиусом-вектором точки М.

Вектор с началом в точке А(x1, y1, z1) и концом в точке В(x2, y2, z2) в координатном виде записывается так: =.

 

Примеры.

а) В треугольнике АВС сторона АВ точками М и N разделена на три равные части: Найти вектор , если . Если построить треугольник и указанные вектора, то из геометрических правил сложения и вычитания легко получаются равенства т.е. . Так как , то Та-ким образом,

б) Найти длину вектора = (10, 15, -30) и его направляющие косинусы.

По формулам (4.1) и (4.2) определяем

 

в)Найти вектор , если А(2, 1, 0) и В(3, 0, 5).

 

Из формулы для координат вектора имеем = (3-2, 0-1, 5-0) =

= (1, -1, 5).

 

Задачи для самостоятельного решения

  Задача 2) Найти координаты вектора где А(0, 0, 1), В(3, 2, 1), С(4, 6, 5),…  

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Определение скалярного произведения и его свойства

  Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение…  

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2) Вычислить работу силы = (1, 2, 1) при перемещении материальной точки из положения М1(-1, 2, 0) в положение М2(2, 1, 3). Напомним, что… Задача 3) Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору = (2, 1, 0) и его скалярное произведение на вектор равно 3, т.е.

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Определение векторного произведения

, где – орты осей координат Ox, Oy, Oz, соответственно:

Свойства векторного произведения

а) ; б) , т.е. модуль векторного произведения равен площади параллелограмма,… в) ;

Задачи для самостоятельного решения

Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, -1, 2), В(5, -6,2), С(1, 3, -1) найти высоту h = . Задача 3) Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам = (2, 1, -3) и = (1, 3, -2), а также удовлетворяет условию (1, -7, 2)=10.

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

 

Определение смешанного произведения и его свойства

называется число Смешанное произведение обладает следующими свойствами: а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);

Задачи для самостоятельного решения

  Задача 2) В треугольной пирамиде с вершинами в точках А(1, 1, 1), В(2, 0, 2),…  

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Ах + Ву + С = 0, (8.1) причем вектор = (А, В) ¹ 0. Вектор является ортогональным к прямой (8.1)… (8.2)

Или

у - у0 = k (х - х0) . (8.9)

Уравнение прямой, проходящей через две точки (х0, у0) и (х1, у1) записывается в виде

или . (8.10)

 

 

Пример. Составим уравнение прямой, проходящей через точки (-1, 3) и (2, 5).

Из (8.9) имеем или (х + 1)/3 = (у - 3)/2, или

2х - 3у + 11 = 0.

 

Задачи для самостоятельного решения

1) прямая проходит через точку М(-1, 2) перпендикулярно вектору = (2, -3); 2) прямая проходит через точку М(-1, 1) параллельно вектору = (2, 0); 3) прямая проходит через точки М1(1, 2) и М2(-1, 0).

Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой

Если общее уравнение прямой (8.1) умножить на где знак выбирается из условия mС<0, то получим уравнение

Геометрические задачи с использованием различных

Уравнений прямой

вектор = (l, m) параллелен этой прямой (направляющий вектор), а прямая…  

Задачи для самостоятельного решения

  Задача 2) В треугольнике с вершинами А(1, 2), В(2, -2), С(6, 1) найти: 1) уравнение стороны АВ;

ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ

Плоскость в пространстве

Приведем уравнения плоскости в пространстве: – общее уравнение плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0, (9.1)

Задачи для самостоятельного решения

  Задача 2) Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало… х + 2у + z = 0.

Прямая и плоскость

. (9.10) На практике больше применяется каноническое уравнение прямой в пространстве … (9.11)

Задачи для самостоятельного решения

1) вектору =(2, -3, 5); 2) прямой (х - 1)/5 = (у + 2)/2 = (z + 1)/(-1); 3) прямой

Предел функции. Основные определения и обозначения

Обозначение: или при Говорят, что число является пределом функции при и пишут если для любого… Наряду с введенным выше понятием предела функции используется также следующее понятие одностороннего предела. Число…

Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва

 

Под окрестностью точки будем понимать любой интервал, содержащий эту точку. Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой ее окрестности и Если функция не определена в самой точке или не является непрерывной в точке то эта точка является точкой разрыва функции . При этом различают три случая:

а) существует, но не равен или не определено. В этом случае называют точкой устранимого разрыва функции .

б) Существуют и конечны оба односторонних предела и , которые не равны друг другу. В этом случае называют точкой разрыва 1-го рода функции а разность называют скачком функции в этой точке.

в) Хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. В этом случае называют точкой разрыва 2-го рода функции .


Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны также функции:

1) , где и любые действительные числа,

2) ,

3) , если .

Примеры.

а) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Точка является точкой разрыва функции . Поскольку существует , то точка является точкой устранимого разрыва функции . График функции изображен на рис. 2. Если положить то получим функцию, непрерывную на всей числовой прямой.

 

 

 
 

б) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Точка является точкой разрыва функции . Для определения характера разрыва найдем пределы слева и справа в этой точке:

Следовательно, точка является точкой разрыва 1-го рода функции . График функции изображен на рис. 3.

 

 

 

в) Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.

Точка является точкой разрыва функции . Для определения характера разрыва найдем пределы слева и справа в этой точке:

Следовательно, точка является точкой разрыва 2-го рода функции . График функции изображен на рис. 4.

 


 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

 

Производная функции. Основные определения и обозначения

Назовем разность – приращением функции в точке соответствующим приращению аргумента Производной функции в точке называется предел Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией. Процесс…

Правило Лопиталя

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки , и пусть в . Если функции и являются…   Примеры.

Геометрические приложения производной

Прямая, задаваемая уравнением называется касательной к графику функции в точке где

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции, проведенной через точку

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали можно записать в таком виде

 

 

На рис. 5 изображены касательная и нормаль к графику функции в точке .

 

Пример.

Написать уравнение касательной и нормали к графику функции в точке

Решение.

Значение функции в точке равно значение производной в точке равно Поэтому уравнение касательной а уравнение нормали После небольших преобразований запишем уравнение касательной в виде а уравнение нормали в виде


ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Возрастание и убывание функций. Экстремум

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале если из неравенства где следует неравенство (соответственно ). Если функция дифференцируема на интервале и при всех то функция возрастает на… В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из…

Направление выпуклости и точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если дуга кривой на этом интервале расположена выше касательной, проведенной… Если же на интервале всякая касательная располагается выше дуги кривой, то… На рис. 6 изображены графики выпуклых вниз (слева) и вверх (справа) функций.

Асимптоты

Асимптотой графика функции называется такая прямая, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном… Если при этом координата точки стремится к конечному числу , то прямая… Если же координата точки стремится к или , то имеем наклонную асимптоту для существования которой необходимо и…

Построение графиков функций

Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме. 1. Найти область определения функции. 2. Определить четность или нечетность данной функции, её периодичность. Если рассматриваемая функция четная или…

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Предел и непрерывность функции нескольких переменных

В качестве окрестности точки (или – окрестности) будем рассматривать множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству .… Число А называется пределом функции при (то есть при и )

Частные производные

Частной производной по переменной х от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению,… . Частная производная по х есть обычная производная от функции , которая рассматривается как функция только от…

Дифференциал

Назовем величину полным приращением функции . Если полное приращение представимо в виде , где , при , , то функция называется дифференцируемой, а величина

Экстремумы функций нескольких переменных

Говорят, что функция имеет локальный максимум в точке , т.е. при , если для всех точек, достаточно близких к точке (т.е. лежащих в некоторой её… Говорят, что функция имеет локальный минимум в точке , т.е. при , если для… (Слово «локальный» мы, далее, будем опускать). Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Задачи для самостоятельного решения

  , , . Задача 2) Найти частные производные второго порядка

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

Основные правила и требования

Каждый студент выполняет один вариант задания. Выбор варианта осуществляется по номеру в журнале группы или по указанию преподавателя. Преподаватель также определяет какие задачи должен решить каждый студент.

Сроки сдачи задания устанавливаются преподавателем.

Варианты задания

Задача 1. Дана расширенная матрица системы. Найти решение этой системы и соответствующей ей однородной системы.

 

 


Задача 2. Дана прямая Ах + Ву + С = 0. Составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку М0:

Параллельно данной прямой;

Исходные данные взять из табл. 1. Таблица 1 № вари- анта   А   В … Задача 3. Для матрицы третьего порядка вычислить ее определитель; найти ее обратную матрицу:

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. СПб. : Профессия, 2004.

2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями в 2-х частях. – М.: ОНИКС: Мир и Образование, Ч. 1. – 2009. – 368 с.

3. Сборник задач по математике для втузов под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. В 4-х ч. – М.: Физматлит, Ч. 1. – 2001. Ч. 1. – 288 с.

 

– Конец работы –

Используемые теги: Уфа, 20130.049

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уфа 2013

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Профессиональная этика 04.09.2013
Органы судейского сообщества в РФ являются... Всероссийский съезд судей... Конференции судей субъектов РФ Совет судей РФ...

Площадка: РК Клуб Огни Уфы, ул. 50-летия Октября, 19
Дата мая... Мероприятие Winston Freedom Music... Время работы...

Взаимодействие веществ с электромагнитным излучением в видимой и УФ областях спектра. Атомные и молекулярные спектры. Закон Бугера –Ламберта –Бера
Количественные законы абсорбционного метода... Основные положения и законы абсорбции излучения справедливы для всех областей... МОЛЕКУЛЯРНАЯ АБСОРБЦИОННАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ В УФ И ВИДИМОЙ ОБЛАСТЯХ...

Федеральный закон от 24.07.2007 N 221-ФЗ ред. от 28.07.2012 "О государственном кадастре недвижимости" с изм. и доп., вступающими в силу с 01.01.2013
На сайте allrefs.net читайте: Федеральный закон от 24.07.2007 N 221-ФЗ ред. от 28.07.2012 "О государственном кадастре недвижимости" с изм. и доп., вступающими в силу с 01.01.2013. июля года N ФЗ...

Тема №1 Ответы на ГИА по географии 31 мая 2013
Тема Ответы на ГИА по географии мая Описание Центр Урал Сибирь... Вариант... Задание...

День автомобилиста-студента 2013
Соревнования по скоростному маневрированию... quot День автомобилиста студента quot...

Проектирование в системе Autodesk Inventor Professional 2013
В М Паклина... Е М Паклина...

Доклад по дисциплине Статистика на тему: Статистические таблицы и их виды. Славгород 2013
доклад по дисциплине Статистика... на тему Статистические таблицы и их виды Выполнил студент...

Основы РЭА, Флёров А.Н, 2013
Лекция тезисы... Фильтры... Предназначены для выделения определенной полосы частот из спектра сигнала и подавление на других частотах ФНЧ ФВЧ...

Грэм Макнилл Зона поражения: Фантастика; СПб.; 2013
Зона поражения... Warhammer...

0.03
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • Фестиваль уличного искусства Экология пространства — 2013 Положение о конкурсе... Идея... Экология пространства фестиваль уличного искусства и движение призванное оживить пермские улицы творчеством...
  • Дата подписания: 15.05.2013 quot Об утверждении СанПиН quot Санитарно эпидемиологические требования к устройству содержанию и организации режима работы... Дата подписания... Дата публикации...
  • Oтпаянные ТЕА-лазеры УФ- и ближнего ИК-диапазонов для применений в лазерной химии и диагностике Основным недостатком ТЕА-лазеров насмесях этих газов являются низкие частоты повторения импульсов и уровни среднеймощности излучения.В настоящей… Накачкаосуществлялась в активных объемах Va 28 2 0.5 см3 и Va 45 2.5 0.6… Основной причиной образования микронеоднородносте является наличие на разрядном промежутке послепротекания тока…
  • Универсиада 2013 Около 60% участников Всемирных Универсиад выступают на Олимпийских Играх. Всемирные летние Универсиады собирают более 10 тысяч спортсменов из… Всемирная Универсиада 2013 – грандиозный праздник молодости и спорта, мира и… По словам Председателя Правительства Владимира Путина Всемирная Универсиада 2013 в Казани послужит дальнейшей…
  • Ранняя история окрестностей Уфы Основным занятием являлась коллективная охота на крупных зверей. Орудия труда изготовлялись из камня, кости и дерева. Более полно здесь представлен среднекаменный век мезолит, XV - V тысячелетие до н.э Стоянки древних людей известны на…