Расчет на контактную прочность

В прямозубых колесах зубья входят в зацепление сразу по всей длине. Это явление сопровождается ударами и шумом, особенно при высоких скоростях.

Расчет на контактную прочность выполняют, полагая, что зацепление пары зубьев происходит в полюсе, т.е. в зоне наибольшего давления.

Контакт в полюсе можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусом ρ₁ и ρ₂ (рисунок 3.3). В этом случае справедлива формула Герца для контактных напряжений

(3.7)

где Е_пр – приведенный модуль упругости; μ – коэффициент Пуассона; q – удельная нагрузка; ρ_пр – приведенный радиус кривизны боковых поверхностей зубьев.

Для прямозубых передач удельная нагрузка (рисунок 3.4)

,

(3.8)

где Т₁ – момент крутящий на шестерне; d₁ – делительный диаметр шестерни; b₂ – ширина венца колеса.

Приведённый радиус кривизны боковых поверхностей зубьев

(3.9)

На основании схемы, показанной на рисунке 3.4

,

(3.10)

где u – передаточное число.

Приведённый модуль упругости материала

,

(3.11)

где Е₁ и Е₂ – модуль упругости материала шестерни и колеса. Для стальных колес E_{п р} = E.

Подставив эти значения в формулу Герца, получим

,

(3.12)

Произведя сокращения и применяя подстановку cosα ∙ sinα = sin2α/2, получим для нормального зацепления

,

(3.13)

Вынося из-под корня постоянные значения и принимая μ = 0,3, получим итоговое уравнение проверочного расчета

.

(3.14)

Из уравнения (3.13) также можно получить стандартное уравнение проверочного расчета (ГОСТ 21354-87). Для этого обозначим сомножители, входящие в подкоренное выражение как:

,

(3.15)

- коэффициент, учитывающий механические свойства материала сопряженных колес (для стальных зубчатых колес Z_M = 275);

(3.16)

- коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев (для прямозубых передач Z_H = 1,76);

,

(3.17)

- коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий (для прямозубых колес Z_ε = 0,9).

Обозначим также удельную нагрузку, приходящуюся на единицу длины контактной линии как

.

(3.18)

В этом случае уравнение проверочного расчета будет иметь вид

.

(3.19)

Принимая в качестве проектного параметра межосевое расстояние и применяя подстановки: Т₂ = Т₁u, d₁ = 2a_w / (u ± 1) и b₂ = ψ_baa_w, где ψ_ba – коэффициент ширины венца колеса, получим из уравнения (3.14) стандартное выражение для определения межосевого расстояния передачи:

.

(3.20)

где К_а = 49,5 – коэффициент.

Коэффициент ψ_ba и величину a_w согласуем со стандартными значениями этих параметров.

 

Расчёт на изгибную выносливость

В процессе работы зуб находится в сложном напряжённом состоянии. Согласно схеме, показанной на рисунке 3.4, зуб одновременно подвергается деформациям сжатия и изгиба. При этом наибольшие напряжения развиваются на левой (по схеме) растянутой стороне зуба.

Представим зуб как жестко защемленную консольную балку к вершине которой под углом α^´ приложено нормальное усилие F_n.

Перенесем по линии действия силу F_n на ось зуба и разложим на составляющую изгибающую зуб

,

(3.21)

и сжимающую зуб

.

(3.22)

 

Рисунок 3.10 – Схема нагружения зуба

Напряжение изгиба в опасном сечении зуба согласно эпюрам, изображенным на рисунке 3.4, находим по выражению

(3.23)

где W = b₂s²/6 – осевой момент сопротивления; A = b₂s – площадь опасного сечения.

Выразим величины l и s через модуль зацепления: l = μm и s = νm, где μ и ν - коэффициенты, учитывающие форму зуба. Тогда из выражения (3.23) получим:

.

(3.24)

Заменим выражение, входящее в скобку, коэффициентом Y_F – коэффициент формы зуба, величина которого зависит от числа зубьев. Тогда с учетом коэффициента нагрузки получим формулу проверочного расчета прямозубых передач:

(3.25)

где [σ_F] – допустимое напряжение изгиба.

Применяя подстановку: F_t = 2T₁ / d₁, d₁ = z₁m, b₂ = ψ_mm, получим

.

(3.26)

Откуда требуемый модуль зацепления

.

(3.27)

Полученное значение согласуем со стандартным рядом.