Задание K.I. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.
По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Необходимые для решения данные приведены в табл. 3.
Пример выполнения задания. Исходные данные:
х = 4t; у = 16 t2 - 1; (1)
t1 = 0,5 (х и у — в см, t и t1 — в с.
Решение. Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время t из уравнений (1).
Получаем у = х2 — 1, т. е. траекторией точки является парабола, показанная на рис. 1.
Вектор скорости точки
= x + y . (2)
Вектор ускорения
= a x + a y .
Здесь ,— орты осей х и у; vx, vy, ax, ay — проекции скорости и ускорения точки на оси координат.
Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):
vx = х’ = 4 см/с; ax = х”= 0;
vy = у’ = 32t; ay= y” = 32 см/с2.
По найденным проекциям определяются модуль скорости:
v = (4)
и модуль ускорения точки:
а = (5)
Модуль касательного ускорения точки
ar = ׀ dv/dt ׀, (6)
или
ar = ׀ • /v ׀; (6')
ar = ׀ (vx ax + vyay) / v ׀; (б")
dv/dt выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при dv/dt означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают; знак «—», — что движение замедленное.
Модуль нормального ускорения точки
аn = v2 / р. (7)
Если радиус кривизны траектории р в рассматриваемой точке неизвестен, то аn можно определить по формуле
аn = ׀ x ׀ / v . (8)
При движении точки в плоскости формула (8) принимает вид
аn = ׀ vx ay + vy ax ׀/ v . ( 8')
Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:
аn = . (9)
После того, как найдено нормальное ускорение по формулам (8) или (9), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения
р = v2/ аn . (10)
Результаты вычислений по формулам (3) - (6), (8) и (10) для заданного момента времени t1 = 0,5 с приведены в табл. 1
Табл.1
Координаты, см | Скорость, см / с | Ускорение, см / с2 | Радиус кривизны, см | |||||||
x | Y | vx | vy | V | ax | ay | а | ar | аn | р |
16,5 | 7,8 |
На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющим х и y, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Вектор строим по составляющим x и y и затем раскладываем на составляющие n и r. Совпадение величин ar и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.
Рис. 1
Дополнение к заданию K.I. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 3) добавляется третье уравнение (табл. 2).
Общий порядок выполнения задания в этом случае такой же, как и в приведенном выше примере.
Табл.2
Номер варианта | z = z (t), см | Номер варианта | z = z (t), см | Номер варианта | z = z (t), см | Номер варианта | z = z (t), см | Номер варианта | z = z (t), см |
3t | 2,5t | 1,5t | 6t | 5t | |||||
2t | 5t | 2t + 2 | 2t | 6t | |||||
1,5t | 4t + 8 | 3t | 4t | 3,5t | |||||
4t +4 | T | 1,5t | t | 4t | |||||
T | 2t | 5t | 1,5t | 5t | |||||
3t | 3t | 3,5t | 2t | 1,5t |
Табл. 3
Номер Варианта | Уравнения движения | t1 c | |
х = x (t) | y = y (t) | ||
-2 t2 + 3 | -5t | ½ | |
4 cos2 (πt/3) + 2 | 4 sin2 (πt/3) | ||
- cos (πt 2/3) + 3 | sin (πt 2/3) – 1 | ||
4t + 4 | - 4 / (t + 1) | ||
2 sin (πt /3) | -3 cos (πt/3) + 4 | ||
3 t2 + 2 | - 14 t | ½ | |
3 t2 - t + 1 | 5 t2 + 5t / 3 – 2 | ||
7 sin (πt 2/6) + 3 | 2 – 7 cos (πt 2/6) | ||
- 3 / (t + 2) | 3 t + 6 | ||
- 4 cos (πt/3) | - 2 sin (πt/3) – 3 | ||
- 4 t2 + 1 | 8 – 3t | ½ | |
5 sin2 (πt /6) | – 5 cos2 (πt /6) – 3 | ||
5 cos (πt2 /3) | - 5 sin (πt2 /3) | ||
- 2t - 2 | - 2 / (t + 1) | ||
4 cos (πt/3) | - 3sin (πt/3) | ||
3t | 4t2 + 1 | ½ | |
7 sin2 (πt /6) - 5 | - 7 cos2 (πt /6) | ||
1 + 3 cos (πt 2/3) | 3 sin (πt2 /3) + 3 | ||
- 5 t2 - 4 | 3t | ||
2 – 3t – 6t2 | 3 – 3t / 2 – 3t2 | ||
6 sin (πt 2/6) - 2 | 6 cos (πt 2/6) + 3 | ||
7 t2 - 3 | 5 t | ¼ | |
3 – 3 t2 + t | 4 - 5 t2 + 5t / 3 | ||
- 4 cos (πt/3) -1 | - 4 sin (πt/3) | ||
- 6t | - 2t 2 – 4 | ||
8 cos2 (πt /6) + 2 | - 8 sin2 (πt /6) – 7 | ||
- 3 – 9 sin (πt 2/6) | - 9 cos (πt 2/6) + 5 | ||
- 4 t2 + 1 | - 3t | ||
5 t2 + 5t / 3 – 3 | 3 t2 + t + 3 | ||
2 cos (πt2 /3) – 2 | - 2 sin (πt2 /3) + 3 |
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4 (2.3.4.)