Собственные значения матрицы.Собственными значениями (собственными числами) матрицы а называют значения скалярного параметра λ, для которых однородное уравнение
(18)
имеет отличные от нуля решения. Условие (18) означает, что линейное преобразование а u вектора u сводится лишь к его растяжению или сжатию λ u (без какого-либо поворота). Соблюдение равенства (18) для отличных от нуля u возможно в силу (15), (17), если определитель равен нулю
(19)
Уравнение (19), называемое характеристическим, содержит в левой части многочлен от λ степени m. Оно имеет вещественные или комплексные корни являющиеся собственными значениями матрицы а. Сумма корней равна коэффициенту при , иначе, сумме диагональных элементов матрицы а, называемой ее следом (по нем. – spur, по англ. – trace):
Произведение корней равно свободному члену уравнения, совпадающему с определителем матрицы:
Собственные значения, следы и определители матриц при транспонировании последних не изменяются. Собственные значения треугольных (диагональных в том числе) матриц равны их диагональным элементам.
Собственные векторы матриц. Собственным вектором (здесь вектор-столбцом) матрицы а, соответствующим собственному значению , называют вектор , удовлетворяющий уравнению (18) при . Поскольку собственные векторы определяются из(18) с точностью до произвольного множителя (в том числе комплексного) налагается дополнительное условие нормировки:
(20)
Пример 1. Пусть
Корни уравнения и являются собственными числами матрицы а, их сумма равна ее следу их произведение – ее определителю
В матричное равенство (18) подставляют поочередно , и Матричное равенство (18) распадается на два (эквивалентных в обоих случаях) скалярных. С учетом (20) можно найти:
Отсюда и
Окончательные выражения собственных векторов принимают вид
где и - произвольные фазовые множители. Векторы и ортогональны
Пример 2. Пусть
откуда собственные значения Скалярные составляющие векторов определяются так же, как и в примере 1, из (18), (20). Собственные векторы содержат только вещественные составляющие и взаимоортогональны:
Случай пучка (пары) квадратных матриц. Под пучком понимается пара матриц , одна из которых , по крайней мере, положительно определенная ( разд. 5). Собственные значения и собственные векторы пучка вводятся из видоизмененного уравнения 18):
Они используются при моноимпульсной пеленгации источников излучений на основе двух элементных антенных решеток или подрешеток.