Ортогональное представление матриц рассматриваемого вида.Для этих (см. разд.1) матриц: а) собственные значения вещественны; б) собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимоортогональны; в) собственные векторы, соответствующие одинаковым собственным значениям, могут быть ортогонализированы; г) может быть введена, поэтому система векторов, удовлетворяющих условию ортонормированности:
(21)
Справедливо ортогональное представление матрицы через ее собственные векторы и собственные значения :
(22)
Подставив (22) в левую часть соотношения (18), можно убедиться в соблюдении этого соотношения для всех пар если только соблюдается (21), что справедливо для рассматриваемого класса матриц. Для вещественных матриц знак сопряжения в (21) – (22) выпадает.
Приведение квадратических форм к простейшему виду. Имеются в виду квадратические формы с матрицами рассматриваемых классов, для которых справедливы соотношения (21) – (22). Для эрмитовых матриц
(23)
где - комплексное число, - его модуль. Для симметрических
вещественных матриц
(24)
где - вещественное число. Квадратичные формы (23) – (24) положительны (неотрицательны, отрицательны) при всех отличных от нуля векторных аргументах u, если все собственные значения матрицы, а положительны (неотрицательны, отрицательны). Сами квадратичные формы и определяющие их матрицы называют в этих случаях положительно (неотрицательно, отрицательно) определенными.
Геометрическая трактовка. Пусть матрица, а примера 2 (разд. 4) положительно определенная Уравнение кривой второго порядка или является благодаря этому уравнением эллипса. Направления главных осей эллипса определяются собственными векторами матрицы . Приведение квадратичной формы к простейшему виду соответствует повороту системы координат в направлении главных осей эллипса. Уравнение эллипса в новой системе координат или . Размеры главных полуосей эллипса обратны корням квадратным из собственных значений матрицы.
Унитарные и ортогональные матрицы. Сводятся к блочным вектор-строкам, составленным из собственных вектор-столбцов исходной матрицы а:
(25)
Называются унитарными (унитарными комплексными), если исходные матрицы а эрмитовы, и ортогональными (унитарными вещественными), если они симметрические. В силу (21)
(26)
знак сопряжения в случае ортогональных матриц опускается. Определитель произведения одинарные вертикальные черточки использованы здесь для образования модуля. Из (14) и (26) следует
(27)
Диагонализация эрмитовых и симметрических матриц. Сводится к представлению их в форме
(28)
где - диагональная матрица собственных значений:
(29)
Путем перемножения (10) блочных матриц (25) и диагональной матрицы (29), а также использования условия ортонормированности собственных векторов (21) можно убедиться в эквивалентности (28) и (22).
След и определитель матрицы являются инвариантами диагонализации:
(30)