рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы - раздел Образование, Если Построение Теории Осуществляется Аксиоматическим Методом, Т.е. По Назван...

Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.

При аксиоматическом построении теории по существу все утверж­дения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.

Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.

Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.

Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.

Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единствен­ный элемент а', непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М.

Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение.Множество N, для элементов которого установ­лено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяю­щее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1- 4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ...

Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.

Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1- 4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от чис­ла 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.

Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:

I, II, III, IIII,...

°, °°, °°°, °°°°, ...

один, два, три, четыре,...

То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1- 4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение.Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 - 4.

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b ' = а.

Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а' также есть в М, поскольку предшествующим для а' является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а' принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.

Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.

Количественные натуральные числа. Счет

Определение. Отрезком Nа натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Используя запись множества, для элементов которого указано характеристическое… Например, отрезок N7 - это множество натуральных чисел, не пре­восходящих числа 7, т. е. N7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. …

СЕМИНАРСКОЕ ЗАНЯТИЕ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА

Вопросы к изучению

1. Содержание понятий «множество», «число», «цифра», «счет».

2. Развитие понятий числа и счета.

3. Раскрытие сущности счета и измерения.

4. Виды письменной нумерации и история их развития.

5. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.

6. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля

Вопросы для самоконтроля

2. Что такое «число», «цифра», «счет»? 3. В чем связь и различие счета и измерения? 4. Раскройте причины возникновения различных видов записи чисел, дайте им характеристику.

Задания для самостоятельной работы

1. Подготовить короткое сообщение по истории возникновения письменной нумерации и возникновения понятия натурального числа.

2. рассматривается Рассмотрите материал учебников математики для начальной школы, где дочисловой период. Приведите примеры различных заданий по формированию у младших школьников счетной деятельности.

3. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество: а) {1,2,3,4}; б) {2,3,4, 5}; в){1,3,5,7}; г){1,2,4,5}?

4. Докажите, что множество В конечное, если: а) В - множество букв в слове «параллелограмм»; б) В - множество учащихся в классе; в) В - множество букв в учебнике математики.

5. Прочитайте записи: n (А) = 5; n (А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих указанное число элементов.

6. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.

7. Рассмотрите иллюстрации и записи, приведенные на той странице учебника по математике, где учащиеся изучают число «три». Объясните, какие из них приведены с целью раскрыть учащимся порядковое и количественное значение числа «три». Какие бы Вы добавили иллюстрации с этой же целью ?

8. Найдите в различных учебниках математики для 1 класса задания, которые можно использовать для формирования у учащихся представлений: а) о количественном и порядковом числе; в) о взаимосвязи между количественным и порядковым числами. Ответьте на вопрос: «Почему установление взаимно однозначного соответствия между элементами предметных множеств подготавливает ребенка к овладению счетом?».

9. Найдите в учебниках различные виды учебных заданий, которые можно предложить детям для усвоения отношений «больше», «меньше», «равно» между однозначными числами. Составьте сами различные задания, которые можно использовать с этой же целью.

10. Составьте учебные задания, в процессе выполнения которых у учащихся формируются навыки присчитывания и отсчитывания по единице.

 

ТЕМА 13. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЕЛ. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.

Содержание

1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Теоретико-множественный смысл суммы

Теоретико-множественный смысл разности.

Теоретико-множественный смысл произведения.

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.

Дополнительная литература [4, 29, 34, 55] Введение. Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснили, что счет… 1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

Теоретико-множественный смысл суммы

Теорема. Пусть А и В — конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем п(А È В) =п(А) + п(В). Доказательство. Докажем сначала, что если а и b - натуральные числа, то… Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N5 и Х = {4, 5, 6, 7, 8} может быть установлено так:…

Теоретико-множественный смысл разности

Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В). Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество.… Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно…

Теоретико-множественный смысл произведения

Теорема 4. Если b > 1, то произведение чисел а и b равно сумме b слагаемых, каждое из которых равно а. Доказательство. Обозначим сумму b слагаемых, каждое из которых равно а, через… Итак, если а и b - натуральные числа и b > 1, то произведение а × b можно рассматривать как сумму b…

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

а× b = с  

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»

2. Теоретико-множественный смысл суммы

3. Теоретико-множественный смысл разности

4. Теоретико–множественный смысл произведения

5. Теоретико– множественный смысл частного

Основные понятия темы

Ø Число «нуль» с теоретико–множественных позиций – это число элементов пустого множества: 0 = n (Æ).

Ø Если отношение “меньше” рассматривать с теоретико–множественной точки зрения, то:

а < b ÛNа Ì N b, где Nа = {1, 2, …,а}, Nb = {1, 2, …, b}

а < b Û А ~ В1 , где В1 Ì В и В1¹ В, В1 ¹ Æ, а = n (В), b = n (В).

Ø Так как количественные натуральные числа связаны с конечными множествами, то действия над числами оказались связанными с действиями над множествами:

Сложение чисел – с объединением конечных непересекающихся множеств;

Вычитание чисел – с дополнением подмножества;

Умножение чисел – с объединением равночисленных попарно непересекающихся множеств;

Деление чисел – с разбиением множества на попарно непересекающиеся подмножества.

Ø Было установлено, что:

а + b = n (А ÈB), где n (А ), b = n (В) и A Ç B = Æ;

а – b = n (А В), где а = n (А ), b = n (В) и В Ì А;

а × b = n (А 1È А 2È…È А n), где n (А1) = n (А2)= …= n (А n) = а и множества А 1, А 2, …, А n попарно не пересекаются;

а : b, то:

1) число элементов в каждом подмножестве разбиения множества А, если n (А) = а и b - число подмножеств;

2) число подмножеств в разбиении множества А, если n (А) = а и b – число элементов в каждом подмножестве.

Ø Так как действия над числами получили теоретико–множественную трактовку, то такую же трактовку оказалось возможным дать и их свойствам.

 

Практическая часть

Обязательные задания

1. Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно исполь­зовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных множеств?

2. Какой подход к определению отношения «меньше» используется при ознакомлении младших школьников с неравенством 3 < 4, если выполняются следующие действия: возьмем три розовых кружка и четыре синих и каждый розовый кружок наложим на синий; видим, что синий кружок остался незакрытым, значит, розовых кружков меньше, чем синих, поэтому можно записать: 3 < 4.

3. Исходя из различных определений отношения «меньше», объяс­ните, почему 2 < 5?

4. Как, используя теоретико-множественный подход к числу, объ­яснить, что 4 = 4?

5. Каков теоретико-множественный смысл суммы: а) 3 + 5; б) 0 + 4; в) 0 + 0.

6. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественный смысл суммы: а) 3 + 4 + 2; б) 1 + 2 + 3 + 4.

7. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением.

а) Дима сорвал 8 слив, Нина - 4. Сколько всего слив сорвали Дима и Нина вместе?

б) Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?

8. Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл выражений: а) 8 - 3; б) 4 - 4; в) 4 - 0.

9. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при по­мощи вычитания.

а) В корзине было 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось?

б) На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?

в) На верхней полке шкафа 7 книг, а на нижней 4. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?

10. Обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) На одной полке 5 книг, на другой на 3 больше. Сколько книг на двух полках?

б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько всего детей гуляло во дворе?

11. Запишите, используя символы, правило вычитания суммы из числа и дайте его теоретико-множественное истолкование.

12. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2 ´ 4.

13. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2 ´ 4, используя определение произведения чисел через декартово произве­дение множеств.

14. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.

а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько все­го яблок положили?

б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?

16. Используя теоретико-множественный смысл действий над чис­лами, обоснуйте выбор действий при решении задач.

а) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники - 4 ряда, а третьеклассники - 5 рядов. Сколько учеников начальных клас­сов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?

б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?

17. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными при выполнении ими следующих заданий.

а) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов.

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?

Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения: 72+ 72; 72×2; 8×9-8.

б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?

18. Объясните, что означают выражения, составленные по условию данной задачи: 9× 6; 8 × 2; 8 × 6; 9 - 8; (9 - 8) ×2; (9-8) × 6.

19. Используя теоретико-множественный смысл частного, объясните смысл выражений: а) 10:2; б)5:1; в) 5:5.

20. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления.

а) 15 редисок связали в пучки по 5 редисок в каждом. Сколько получилось пучков?

б) 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый?

21. Назовите отношения, которые рассматриваются в задачах, ре­шите задачи арифметическим методом, выбор действий обоснуйте.

а) Для украшения елки девочка вырезала 4 звездочки, а флажков в 3 раза больше. Сколько флажков вырезала девочка?

б) У Коли в 4 раза больше открыток, чем у Вовы. А у Лены их на 20 меньше, чем у Коли. Сколько открыток у Лены, если у Вовы их 7?

22. в) Миша поймал 48 окуней, Саша - на 6 меньше, чем Миша, а Коля - в 7 раз меньше, чем Саша. Сколько окуней поймали все мальчики?

23. Какое правило является обобщением различных арифметических способов решения задачи.

а) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?

б) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?

Творческие задания

1.Докажите, что дистрибутивность умножения относительно сложения вытекает из равенства А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С), а относительно вычитания - из равенства (А В) ´ С) = (А ´ В) (А ´ С).

2.Составьте сценарий практической работы для младших школьников по сравнению численностей множеств без их нахождения.

3.Проведите практическую работу, подтверждающую, что сумма 5 + 3 не зависит от выбора множеств, численности которых равны 5 и 3.

4.Докажите, что 0+0+…+0=0.

5.Докажите важное правило прибавления суммы к сумме, опираясь на теоретико-множественный подход к определению суммы: (a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d), (a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)

6.Придумайте практическую работу по нахождению того, на сколько в одном множестве больше элементов (без нахождения их численности).

7.Опишите практическую работу в начальной школе, подтверждающую эквивалентность деления “на” и “по”.

ТЕМА 14. ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ

1. Позиционные и непозиционные системы счисления. 2. Запись числа в десятичной системе счисления. Основная литература [17, 18, 33, 34, 35];

Позиционные и непозиционные системы счисления

Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возникла и необходимость в названии и записи чисел.

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Способ «записи» чисел при помощи зарубок или узлов был не слишком удобным, так как для записи больших чисел приходилось делать много зарубок или… Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Эта… Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систем счисления арабы. Распространению же этого способа записи…

Запись числа в десятичной системе счисления

Определение. Десятичной записью натурального числа х называй его представление в виде: Х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1… Сумму аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 в… Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального…

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ЗАПИСЬ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Цель.Раскрыть различные подходы к записи целых неотрицательных чисел. Обосновать методические подходы к обучению младших школьников способам записи чисел в десятичной системе счисления.

Теоретическая часть

1.Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.

2.Понятие системы счисления.

3.Позиционные и непозиционные системы счисления.

4.Запись и названия чисел в десятичной системе счисления.

Основные понятия темы

Ø Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.

Ø Различают позиционные и непозиционные системы счисления.

Ø В по­зиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Ø Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чи­сел всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.

Ø Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обо­значается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания.

Ø Десятичная запись натурального числа – это его представление в виде

Х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 = , где аn, а n – 1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а n¹ 0.

Ø В таком виде можно записать любое натуральное число и запись эта единственная.

Практическая часть

Обязательные задания

1. Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XLIV, XXI, LXII, LXXVIII, XCV, CDXXIII, MCDVII, MCDXIX, MDCCCLXXI.

2. Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1941, 1997, 2001.

3. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых: а) 4725; б) 3370; в) 10255.

4. Какие числа представлены следующими суммами: а) 6·103+5·10+8; б) 7·103+ 1·10; в) 8·104+103+3·10+1; г) 105 + 102?

5. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в ко­торых все цифры различны.

6. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:

а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.

б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?

Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?

7. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?

Творческие задания

1. Выполните поиск решения задачи всеми способами. Решите задачу одним способом и проверьте, решив другим. Какие математические знания необходимы для решения данной задачи? «На фабрике за три смены выработано 12840 м ткани. В первую смену выработали на 594 м больше, чем во вторую, а в третью - на 312 м меньше, чем в первую. Сколько мет­ров ткани выработали в каждую смену?».

2. Решите задачу. Какой способ поиска арифметического решения задачи вы выбрали? «Рабочий выработал за смену в среднем 432 детали. Применив более рациональные спо­собы работы, он выработал в первый день 1528, а во второй день 2114 и в третий 2838 деталей. На сколько деталей и во сколько раз увеличилась средняя дневная вы­ра­ботка рабочего?».

3. Постройте модель задачи и решите ее. «Три большие реки России Обь, Лена и Амур имеют общую длину 14206 км. Обь и Ле­на вместе имеют длину 9852 км, Лена и Амур - 8623 км. Какова длина каждой из этих рек?».

4. Решите задачу. Какой метод решения задачи выбран? «Два автобуса отправились одновременно из города в спортивный лагерь, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в лагерь на 15 мин. раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км в час больше другого?».

5. Решите задачу и выполните ее проверку. «Двое мужчин купили для посадки 500 штук капустной рассады и заплатила поровну. На огороде у одного поместилось на 40 штук больше, чем у другого и он доплатил второму 8 грн. Сколько рассады посадил каждый и сколько стоил 1 десяток рассады?».

6. Решите задачу арифметическим методом и выполните ее проверку. Методическое указание: при арифметическом способе решения задачи предположите, что все бревна сосновые. Сколько арифметических способов решения имеет данная задача? «На платформу погрузили 70 сосновых и еловых бревен общей массой 165 ц. Сосновое бревно имело массу 210 кг, а еловое - 250 кг. Сколько было тех и других бревен?».

8. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозмож­ных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6 так, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?

ТЕМА 15. АЛГОРИТМЫ ДЕЙСТВИЙ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Содержание

1. Алгоритм сложения.

2. Алгоритм вычитания.

3. Алгоритм умножения.

4. Алгоритм деления.

Основная литература[7, 13, 16, 17, 18, 33, 34];

Дополнительная литература [16, 31, 55, 58, 60, 73, 84]

Алгоритм сложения

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму… Например, + 7238

Алгоритм вычитания

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычи­тания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения… Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в… (4 102 + 8 10 + 5) - (2 102+3 10 + 1)= (4 102+8 10+5) - 2 102 – 3 10-1.

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность… 3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, т.е. b0 >… 4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д.…

Алгоритм умножения

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило,… Умножим, например, столбиком 428 на 263. ´ 263

Алгоритм деления

Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то… 51 9 - 45 5

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.

2. Если а >b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9,… 3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то… а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд…

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. АЛГОРИТМЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Цель. Показать на практических примерах использование алгоритмов действий сложения, умножения, вычитания и деления над натуральными числами. Уметь обосновать каждый шаг алгоритмов при выполнении практических заданий и решении текстовых задач из курса начальной школы.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Запись числа в десятичной системе счисления

2. Алгоритм сложения

3. Алгоритм вычитания

4. Теоретические основы алгоритмов умножения и деления

5. Алгоритмы умножения и деления

Основные понятия темы

Ø Десятичная запись натурального числа – это его представление в виде

х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 = , где аn, а n – 1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а n¹ 0.

- В таком виде можно записать любое натуральное число и запись эта единственная.

- Десятичная запись натуральных чисел позволяет их сравнивать и выполнять, по определенным правилам (алгоритмам), над ними действия.

- В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Ø В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b0 = 1 • 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с0, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.

Ø Вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

– способе записи числа в десятичной системе счисления;

– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

– таблице сложения однозначных чисел.

Ø В общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления следующий:

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшае­мого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц ис­комого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + а0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Ø Теоретической основой алгоритма умножения многозначного числа на многозначное являются:

- запись чисел в десятичной системе счисления;

- свойства сложения и умножения;

- знание таблиц сложения и умножения однозначных чисел.

Ø Общий вид алгоритма умножения числа х = на число у = :

1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х × b0 под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение х × b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножению х × b1 на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х × bk.

5. Полученные k + 1 произведения складываем.

Ø Теоретической основой алгоритма деления целого неотрицательного числа на натуральное число является:

- действие деления с остатком.

Ø Алгоритмом деления уголком целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий:

1.Если а = b, то частное q = 1, остаток r = 0.

2.Если а > b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, так как а < 10 b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b .

3.Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последова­тельности:

а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b . Перебором нахо­дим частное q1 чисел d1, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q1, и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1.

в) Проводим черту под bq1 и находим разность r1 = d1 - bq1.

г) Записываем разность r1, под числом bq1 , приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b .

д) Если полученное число d2 больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q2 записываем после q1.

е) Если полученное число d2 меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 то же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом в частном, а остаток r = d3.

Практическая часть

1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.

2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения: 231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?

3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:

а) 2746 + 7254 + 9876; б)7238+8978+2768;

в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;

д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643).

4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания.

а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:

2459+121 53075+2306

2458+122 53076+2305

2457+123 53006+2375

2456 + 124 53306+2075

б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания: 4583+321 4593+311 4573+331

5. На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания чисел столбиком.

6. Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг алгоритма: а)84072 - 63894; б)940235-32849; в)935204 - 326435; г) 653481 - 233694.

7. Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим из этих пятизначных чисел?

8. Назовите способы проверки правильности вычитания многозначных чисел и дайте им обоснование.

9. Вычислите (устно) значение выражения, использованные приемы обоснуйте: а) 2362-(839 + 1362); б) (1241 +576)-841; в) (7929 + 5027 + 4843) - (2027 + 3843). На примере умножения числа 357 на 4 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на однозначное.

10. На примере умножения 452 на 186 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на многозначное.

10. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:

а) На элеватор отвезли 472 т овса, ржи на 236 т больше, чем овса, пшеницы в 4 раза больше, чем овса и ржи вместе. Сколько тонн пшеницы отвезли на элеватор?

б) Столяр делает в день 18 рам, а его помощник на 4 рамы меньше. Сколько рам они сделают за 24 дня, если каждый день будут работать, вместе?

12. Как могут рассуждать учащиеся, выполняя следующее задание:

13. «Ширина земельного участка прямоугольной формы равна 24 м. Это в 6 раз меньше его длины. Объясни, что обозначают выражения, записанные по условию задачи, и вычисли их значения: 24× 6; 24× (24 × 6); (24 + 24 × 6) × 6; 24 × 2; 24 × 2 + 24 × 6 × 2».

14. Выполните умножение чисел, используя запись столбиком, и объясняя каждый шаг алгоритма: а) 984 × 27; б)7040 × 234; в)8276 × 73; г)4569 × 357.

15. Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональ­ным способом значение выражения:

а)8 × 13 × 4 × 125 × 25; г)124× 4 + 116× 4;

б) 24×(27×125); д) (3750-125) ×8;

в) (88 + 48) ×125; е)1779×1243 - 779×1243.

16. Зная, что 650×34 = 22100, найдите произведение чисел, не выпол­няя умножения столбиком: а) 650×36; б)650×32; в) 649×34.

17. Найдите и обоснуйте приемы умножения 24 на 35 и, пользуясь ими, умножьте на 35 числа: 12, 18, 24, 32, 48, 64.

18. Вычислите рациональным способом значение выражения: а) (420-394) × 405 – 25 × 405; б) 105 × 209 + (964 - 859) × 209 × 400.

19. Найдите значения выражений 13 ×11, 27 ×11, 35 ×11, 43 ×11, 54 ×11. Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа меньше 10, достаточно между цифрами данного числа написать число, равное сумме его цифр?

20. Найдите значение выражений 29 × 11, 37 × 11, 47 × 11, 85×11, 97 × 11. Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа больше или равна 10, достаточно между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать число, равное разности между суммой его цифр и чис­лом 10?

21. Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел: а) 486 и 7; б) 7243 и 238;в) 5792 и 27; г) 43126 и 543.

22. На примере деления числа 867 на 3 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма деления трехзначного числа на однозначное.

23. Обоснуйте процесс деления уголком а на b , если а) а = 4066, b = 38; б) а = 4816, b = 112.

24. Как, не вычисляя, можно установить, что деление выполнено неправильно, если: а) 51 054:127 = 42; б) 405945:135 = 307?

25. Не вычисляя значений выражений, поставьте знаки > или <, чтобы получились верные неравенства.

а) 1834:7 … 783:9; б ) 8554:91 ...7488:72; в) 137532:146 ... 253242:198; г) 7248:6 ...758547:801.

26. Не производя деления, разбейте данное выражение на классы при помощи отношения «иметь в частном одно и тоже число цифр»: а)20700:300; б)20300:700; в) 5460:60; г) 14 640 : 80; д) 30 720:40; е) 1500:300.

27. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение.

а) Туристы совершили экскурсию по реке на катере, проплыв всего 66 км. Сначала 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч, а остальной путь - со скоростью 15 км/ч. Сколько всего часов находились в пути туристы?

б) Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов по 6 пачек в каждом. Определите массу сложенного в ящик печенья.

28. Найдите значение первого выражения, а затем используйте его при вычислении значения второго.

а) 45120: (376×12), б) 241×(1264:8), в) 45120: (376×3); г) 241×(1264:4).

29. Найдите двумя способами значение выражения: а) (297+405+567):27; б) 56×(378:14); в) (240×23); 48; г) 15120:(14×5×18).

30. Найдите значение выражения: а)8919:9 + 114240:21; б) 1190-35360:34+271; в) 8631-(99+44 352:63); г) 48 600×(5 045-2 040): 243- (86043:43 +504) ×200; д) 4880×(546+534): 122-6390×(8 004-6924) ×213.

Творческие задания

1. Докажите, что а + (b – с) =

2. Используя это правило, вычислите значение выражения:

а) 6420+(3580-1736); б) 5480 + (6290 - 3480).

3. Докажите, что а – ( b - с) =

4. Используя это правило, вычислите значение выражения: а) 3720-(1742-2678), б) 2354-(965-1246).

5. Докажите, что (а – в) – с =

6. Используя это правило, вычислите значение выражения: а) (4317-1928)-317; б) (5243-1354)-1646.

7. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи умножения чисел и решите их.

а) Земля при обращении вокруг Солнца за сутки проходит примерно 2 505 624 км. Какой путь проходит Земля за 365 дней?

б) В школу привезли 56 пачек книг, по 24 книги в каждой пачке. Сколько всего книг привезли в школу?

8. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи деления чисел, и решите их.

а) В 125 коробок разложили поровну 3000 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?

б) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки по 300 г в каждой. Сколько коробок конфет получилось?

ТЕМА 16. ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ И ЕГО СВОЙСТВА

Содержание

1. Отношение делимости и его свойства.

Признаки делимости.

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.

5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел. Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34]; Дополнительная литература [ 31, 43]

Отношение делимости и его свойства

В этом случае число b называютделителем числа а, а число а - кратным числа b. Например, 24 делится на 8, так как существует такое q = 3, что 24 = 8×3.… В том случае, когда а делится на b, пишут: а M b. Эту запись часто читают и так: «а кратно b».

Признаки делимости

Признаки делимости позволяют установить по записи числа делится ли оно на другое, не выполняя деления. Теорема 11 (признак делимости на 2). Для того чтобы число х делилось на 2,… Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, т.е. х = ап × 10п + а п-1 × 10п –1+…

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

Определение.Общим кратным натуральных чисел а и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел. Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим… Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b). Например, два числа 12 и 18 общими кратными…

В) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, является взаимно простыми числами.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются вза­имно простыми. Следовательно, D (24, 36) = 12.

Простые числа

Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифметики натуральных чисел, которая приводится без доказательства. Теорема. Любое составное число можно единственным образом представить в виде… Например, запись 110 = 2 ×5×11 есть представление числа 110 в виде произведения простых множителей или…

Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел

Пусть даны два числа 3600 и 288. Представим их в каноническом виде: 3600 = 24×32×52; 288 = 25×32. Найдем наибольший общий делитель… Вообще, чтобы найти наибольший общий делитель данных чисел: 1) представляют каждое данное число в каноническом виде;

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Цель. Рассмотреть на практических примерах использование теорем о свойствах делимости, уметь находить разными способами наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Отношение делимости и его свойства

Признаки делимости

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель

4. Простые числа

5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел

Основные понятия темы

Ø делитель данного числа;

Ø простое число;

Ø составное число;

Ø общий делитель данных чисел;

Ø наибольший общий делитель данных чисел;

Ø взаимно простые числа;

Ø общее кратное данных чисел;

Ø наименьшее общее кратное данных чисел.

Рассмотрены

Ø теоремы о свойствах де­лимости и признаках делимости на 2, 3, 4, 5, 9.

Ø дан способ получения признаков делимости на те составные числа, которые мож­но представить в виде произведения взаимно простых чисел.

Ø основная теорема арифметики, в которой утверждает­ся, что любое составное число можно представить в виде произведе­ния простых множителей.

Правила

Ø нахождения наибольшего общего делителя двух чисел двумя способами. Первый основан на разложении данных чисел на простые множители, а второй является алгоритмом Евклида.

Ø Наименьшее общее кратное двух чисел можно находить, используя разложение данных чисел на простые множители, или, если известен наибольший общий делитель чисел а и b, то по формуле К(а,b) =

Практическая часть

Обязательные задания

1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не яв­ляется делителем числа 70.

2. Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = {2, 6, 12, 18, 24}. Как отражены на этом графе свойства данного отношения?

3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 – делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.

4. Запишите множество делителей числа: а) 24; б)13; в)1.

5. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?

6. Докажите или опровергните следующие утверждения:

а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.

б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.

г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.

7. Верно ли, что: а) аM m и bM n Þ а bM mn; б) аbM n Þ аM n или bM n.

8. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 12000 те, которые: а) делятся на 2; б) делятся на 4; в) делятся на 2 и не делятся на 4; г) делятся и на 2 и на 4.

10. Верно ли утверждение:

а) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4?

б) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4?

11. Из ряда чисел 72,312,522,483, 1197 выпишите те, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) делятся на 3 и не делятся на 9;

г) делятся и на 3 и на 9. Сделайте вывод о взаимосвязи делимости на 3 и на 9. Докажите его.

12. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выраже­ния на 4:

а) 284+ 1440 + 113; в)284+ 1441 + 113;

6) 284 + 1440 + 792224; г)284 + 1441 + 113 + 164.

13. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9. а) 360 - 144; б) 946 - 540; в) 30 240 - 97.

14. Верно ли, что для делимости числа х на 8 в десятичной системе счис­ления необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось трехзначное число, образованное последними тремя цифрами десятичной записи числа х?

15. Даны числа 36 и 45.

а) Найдите все общие делители этих чисел.

б) Можно ли назвать все их общие кратные?

в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.

г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?

16. Верны ли записи: а) D (32, 8) =8 и K(32, 8) = 32; б)D(17,35)=1 и K(17,35)=595; в) D(255, 306) = 17 и K(255, 306) = 78030.

17. Найдите K(а,b), если известно, что:

а) а = 47, b = 105 и D(47, 105) = 1; б) a = 315, b = 385 и D (315, 385) =35.

18. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.

19. Делятся ли на 18 числа 1548 и 942?

20. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

21. Найдите цифры а и b числа 72а-3 b, если известно, что это число делится на 45.

22. Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30: а)105×20; б)47×12×5; в)85×33×7.

24. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений делятся на 36. а) 72 + 180+ 252; б) 612-432; в) 180 + 252 + 100; г) 180+250+200.

25. Из множества чисел 13, 27, 29; 51, 67 выпишите простые числа, а составные разложите на простые множители.

26. Докажите, что число 819 не является простым числом.

27. Разложите на простые множители числа 124, 588, 2700, 3780.

28. Какое число имеет разложение: а)23 × 32× 7× 13; б)22× 3× 53?

30. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее крат­ное данных чисел, представив их в каноническом виде: а) 948 и 624; б)120,540,418.

Творческие задания

1. Докажите, что при любом натуральном п истинны утверждения: а) n(n+ 1)(n+2) M 6; б) n(n+1)(n+2)(n+3) M 12.

2. Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.

3. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий дели­тель чисел. а) 846 и 246; б) 585 и 1960; в) 15283 и 10013.

4. Верно ли, что: а) D(448, 656) = 16; б) K(578, 8670) = 8670?

5. Докажите, что числа 432 и 385 взаимно простые.

6. Найдите наибольший общий делитель всех пятизначных чисел, записанных при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в записи чисел не по­вторяются).

ТЕМА 17. О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

1. Понятие дроби. 2. Положительные рациональные числа. 3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Понятие дроби

И тогда, говоря о длине отрезка х, мы должны указать два числа 4 и 14: четвертая часть отрезка е укладывается в отрезке точно 14 раз. Поэтому… Определение. Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е.… В записи дробичисла m и n - натуральные, m называется числителем, n - знаменателем дроби.

Положительные рациональные числа

Например, множество дробей - это один класс, множество дробей это другой класс и т.д. Дроби одного класса выражают длину одного и того же отрезка. Но длина отрезка… Определение.Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь, принадлежащая этому…

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных… Так как Х=Е, то nХ=mЕ, а из того, что Е =Е1 следует, что qЕ=рЕ1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе –…

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей

Определение. Десятичной называется дробь вида , где m и n- натуральные числа. Десятичные дроби принято записывать без знаменателя. Например, дробь -… Пусть дана дробь где m, nÎN. Представим ее числитель в следующем виде:

Действительные числа

Пусть X - отрезок, длину которого надо измерить, е - единичный отрезок. Длину отрезка х обозначим буквой X, а длину отрезка е - буквой Е. Пусть отрезок х состоит из n отрезков, равных… Чтобы получить ответ с большей точностью, возьмем отрезок е1 - десятую часть отрезка е и будем укладывать его в…

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕЙСТВИЯ НАД ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ

Цель. Уметь выполнять различные тождественные преобразования над положительными действительными числами

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Понятие дроби.

2. Положительные рациональные числа.

3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

4. Действительные числа.

Основные понятия темы

Ø дробь (правильная и неправильная);

Ø равные дроби;

Ø несократимая дробь;

Ø положительное рациональное число;

Ø равенство положительных рациональных чисел;

Ø смешанная дробь;

Ø десятичная дробь;

Ø бесконечная периодическая десятичная дробь;

Ø бесконечная непериодическая десятичная дробь;

Ø иррациональное число;

Ø действительное число.

Замечания, выводы

· Отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовавшись этим определяют понятие положительного рационального числа.

· Сложение и умножение положительных рациональных чисел связано с измерением длин отрезков; получены формулы для нахождения их суммы и про­изведения.

· Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.

· Доказано, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.

· Введя десятичные дроби доказано, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.

· Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.

· Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ÇJ+ = R+

· Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.

Обязательные задания

1. Известно, что длина отрезка х при единичном отрезке b выражается дробью . Как могла получиться такая дробь при измерении длины отрезка х? Существуют ли другие дроби, выражающие длину отрезка х при том же единичном отрезке е?

2. Выберите единицу длины и постройте отрезок, длина которого выражается дробью: а) ; б) ; в) .

3. Как установить, равны ли дроби: а) и ; б) и .

4. На множестве дробей отношение равенства. Постройте граф этого отношения. Каковы особенности этого графа? С чем они связаны?

5. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а) и б) и ; в) и

6. Найдите несократимую дробь, равную следующей: а);б) ; в); г); д) .

7. Рациональное число представлено дробью . Может ли оно быть представлено дробью? А дробью ?

8. Какие из следующих дробей несократимые: а) б)

в)

9. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых дробей; выполненные преобразования обоснуйте: а); б) ; в) г)

10. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых дробей; выполненные преобразования обоснуйте: а) б) в)

11. Сравните числа: а) и б) и ; в) и ;

г) и .

12. Найдите три дроби, которые заключены между дробями и .

13. Найдите значение следующих выражений: а);

б) в) .

14. Выполните указанные действия и найдите значение выражения:

15. Какие из данных чисел являются дробными: а)б)в)г)

16. Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получи­лось - больше или меньше числа 2? А если 2 умножить на неправиль­ную дробь?

17. Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь полу­читься число: а) меньше 1; б) больше 1?

18. Запишите дроби в виде десятичных.

19. Запишите числа 7,11; 0,45; 13,745 в виде несократимых обыкновенных дробей.

20. Какими будут численные значения следующих величин, если в качестве единицы длины взять 1 м: а) 23 см 2 мм; б) 90 дм 16 см 8 мм; в) 5м 17дм; г) 1км 120м?

21. Выразите в килограммах: а) 1,52 т; б) 0,38 т; в) 13,6 г; г) 426,5 г.

22. Выразите в квадратных сантиметрах: а) 3,548 дм2; б) 3,9 м2; в) 635мм2.

23. Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дробей; выполните действия: а) 8,23 + 3,568; б) 7,395 - 6,27; в) 12,364 + 17,729; г) 15,36-9,68.

24. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей и объясните, почему в произведении запятой отделяют столько последних цифр, сколько их отделено в первом и втором множителях вместе.

25. Сформулируйте правило деления десятичных дробей; проиллюстрируйте его на примере деления числа 4,62 на 0,2.

26. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. Скорость света 300 тыс. км/с. За сколько минут луч Солнца достигнет Земли?

27. Вычислите наиболее простым способом:

а) 49,5+2,738- 6,856+(7,956-2,638); б) 4,3 - 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44×(0,1-0,02).

28. Не выполняя вычислений, сравните следующие произведения: а) 19,91×199,2 и 1,991×1992; б)1,992×199,3 и 1,992×1993.

29. Что больше: 35% от 40 или 40% от 35?

30. Увеличьте число: а) 60 на 10%; б) 80 на 2,5%.

31. Число х увеличили на 45%. Во сколько раз увеличили число?

32. Число х увеличили в 2,4 раза. На сколько процентов увеличили число?

33. Туристы прошли 75% маршрута и им осталось пройти еще 5,5 км. Какова длина маршрута?

34. Какие из следующих чисел можно записать в виде конечных десятичных дробей: а)б)в) г)

35. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных: а) б) в) г)

Творческие задания

1. Докажите, что отношение «меньше» на множестве Q+ является отношением порядка.

2. Решите задачи арифметическим способом.

а) Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Сначала закрасили прямоугольника, потом , затем . Весь ли прямоугольник за­красили?

б) Мальчик отпил чашки черного кофе и долил молока, затем отпил чашки и опять долил молока, потом отпил еще чашки и снова долил молока. Наконец, он допил кофе с молоком. Чего больше выпил мальчик - кофе или молока?

3. Решите арифметическим методом задачи.

а) В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин в первом гараже составляет числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в раза больше машин, чем в первом. Сколько ма­шин в каждом гараже?

б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час накм больше другого. С какой скоростью шел каждый, если через 2 ч после выхода расстояние между ними стало км?

в) Двум машинисткам было поручено перепечатать рукопись. Пер­вая машинистка перепечатала всей рукописи, а вторая - всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первая машинистка пе­репечатала на 7 страниц больше, чем вторая?

4. Решите задачи арифметическим методом.

а) Турист прошел в первый день всего маршрута, во второй день 40 % остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день? Какова длина маршрута?

б) На уборке улицы работают две машины. Первая из них может уб­рать всю улицу за 40 мин, второй для этого требуется 75% времени пер­вой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной работы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. За сколько времени после этого первая машина закончила уборку улицы?

5. Известно, что любое положительное рациональное число можно изобразить точкой на координатном луче. Исчерпывают ли точки с положительными рациональными координатами весь координатный луч?

6. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью: а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).

7. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?

8. Дано множество: {7; 35,91; - 12,5; -0; 0,123; 4136}. Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?

9. Известно, что любое число можно изобразить точкой на коорди­натной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?

 

ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Из истории возникновения понятия натурального числа.

2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.

3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля.

4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»

Теоретико-множественный смысл суммы.

6. Законы сложения.

Теоретико-множественный смысл разности.

9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. 10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и… 11. Понятие системы счисления.

Признаки делимости.

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.

23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.

24. Понятие дроби.

Положительные рациональные числа.

Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.

28. Действительные числа.    

ТЕМА 18. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН

Содержание

1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.

3. Смысл суммы и разности.

4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Основная литература [7, 9-11, 26, 33, 34, 38];

Дополнительная литература [10, 14, 71, 77, 79]

 

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

1) Многие окружающие нас предметы имеют длину. 2) Стол имеет длину. В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что…

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот :А = В Û т(А) = т(В); А < В Û т(А) < т(В); А > В Û т(А) > т(В).

Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В достаточно сложить численные значения величин А и В: А + В = С Þ т(А +В)= т(А) + т(В).

– Конец работы –

Используемые теги: Непротиворечивая, система, аксиом, называется, независимой, если, аксиом, этой, системы, является, следствием, других, аксиом, этой, системы0.134

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Операционная система. Определение. Уровни операционной системы. Функции операционных систем. Понятие операционной системы
Понятие операционной системы.. причиной появления операционных систем была необходимость создания удобных в.. операционная система ос это программное обеспечение которое реализует связь между прикладными программами и..

Экспертные системы. Классификация экспертных систем. Разработка простейшей экспертной системы
Структура систем, основанных на знаниях. Категории пользователей экспертных систем. Подсистема приобретения знаний. ЭС выдают советы, проводят анализ, дают консультации, ставят диагноз. Практическое применение ЭС на предприятиях способствует эффективности работы и повышению квалификации специалистов.

Система координат действия и общая теория систем действия: культура, личнсть и место социальных систем
В центре данного исследования стоит разработка теоретической схемы. Систематическое рассмотрение ее эмпирического использования будет предпринято.. Основные положения системы координат действия подробно излагались ранее, и.. При помощи ее анализируются структура и процессы систем, состоящих из отношений таких элементов к их ситуациям..

Система национальных счетов – это система взаимоувязанных
Показателей применяемых для описания и анализа макроэкономичес.. ких процессов она дает сведения обо всех стадиях экономического кру.. гооборота производстве и обмене первичном и вторичном распреде..

Телекоммуникационные системы. Сигналы и каналы электрической связи. Системы связи с частотным разделением каналов. Цифровые системы передачи
Лабораторные работы часа.. практические занятия часа.. всего аудиторных занятий часов..

Микропроцессорные системы: система ДЦ-МПК, система "Юг"
Использован практический опыт внедрения линейных пунктов управления (ЛПУ) на 60 станциях в увязке с ЭЦ-4, ЭЦ-9, МРЦ-12, МРЦ-13. Выполнен переход на.. В состав аппаратуры центрального пункта управления (ПУ) входят IBM-совместные.. Круглосуточный режим работы аппаратных средств ПУ обеспечивается источниками бесперебойного питания, а также системой..

Если ты читаешь это, тебе повезло - ты жив. Продолжай отвечать на вопросы. Слау, имеющая решение, называется
А совместной.. б определ нной.. в регулярной г несовместной д неопредел нной..

Радиолокационная система как сложная неравновесная система с рефлексией
На сайте allrefs.net читайте: 1.2. радиолокационная система как сложная неравновесная система с рефлексией 47. введение..

Система эвристического анализа и искусственного интеллекта Экспертные системы
Усложнение информации, ее структурное изменение, да и увеличение ее объемов во много раз, порождают новые требования к ее обработке, увеличение.. Экспертные системы не смогли бы получить столь широкого распространения в.. Использование методов поиска или языков программирования, характерных для систем искусственного интеллекта, не..

0.035
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам