Реферат Курсовая Конспект
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы - раздел Образование, Если Построение Теории Осуществляется Аксиоматическим Методом, Т.е. По Назван...
|
Если построение теории осуществляется аксиоматическим методом, т.е. по названным выше правилам, то говорят, что теория построена дедуктивно.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Поэтому к системе аксиом предъявляются особые требования. Прежде всего, она должна быть непротиворечивой и независимой.
Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимно исключающих друг друга предложения.
Если система аксиом не обладает этим свойством, она не может быть пригодной для обоснования научной теории.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы.
При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом. Но они должны быть равносильными. Кроме того, при выборе той или иной системы аксиом математики учитывают, насколько просто и наглядно могут быть получены доказательства теорем в дальнейшем. Но если выбор аксиом условен, то сама наука или отдельная теория не зависят от каких-либо условий, - они являются отражением реального мира.
Аксиоматическое построение системы натуральных чисел осуществляется по сформулированным правилам. Изучая этот материал, мы должны увидеть, как из основных понятий и аксиом можно вывести всю арифметику натуральных чисел. Конечно, его изложение в нашем курсе будет не всегда строгим - некоторые доказательства мы опускаем в силу их большой сложности, но каждый такой случай будем оговаривать.
Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Известными также считаются понятие множества, элемента множества и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики.
Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а'.
Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах.
Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей, и обозначать символом 1.
Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а', непосредственно следующий за а.
Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а.
Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М; 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а' содержится в М.
Сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.
Используя отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.
Определение.Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы - натуральными числами.
В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N. Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1- 4, мы получим модель данной системы аксиом. В математике доказано, что между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее отношение «непосредственно следовать за», и все такие модели будут отличаться только природой элементов, их названием и обозначением. Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1, 2, 3, 4, ...
Каждое число этого ряда имеет свое обозначение и название, которое мы будем считать известными.
Рассматривая натуральный ряд чисел в качестве одной из моделей аксиом 1- 4, следует отметить, что они описывают процесс образования этого ряда, причем происходит это при раскрытии в аксиомах свойств отношения «непосредственно следовать за». Так, натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4). Заметим, что аксиома 4 в формализованном виде описывает бесконечность натурального ряда, и на ней основано доказательство утверждений о натуральных числах.
Вообще моделью системы аксиом Пеано может быть любое счетное множество, например:
I, II, III, IIII,...
°, °°, °°°, °°°°, ...
один, два, три, четыре,...
То обстоятельство, что в аксиоматических теориях не говорят об «истинной» природе изучаемых понятий, делает на первый взгляд эти теории слишком абстрактными и формальными, - оказывается, что одним и тем же аксиомам удовлетворяют различные множества объектов и разные отношения между ними. Однако в этой кажущейся абстрактности и состоит сила аксиоматического метода: каждое утверждение, выведенное логическим путем из данных аксиом, применимо к любым множествам объектов, лишь бы в них были определены отношения, удовлетворяющие аксиомам.
Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1- 4.
Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует», которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.
Определение.Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b.
Отношение «предшествует» обладает рядом свойств. Они формулируются в виде теорем и доказываются с помощью аксиом 1 - 4.
Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.
Истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.
Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b , такое, что b ' = а.
Доказательство. Обозначим через М множество натуральных чисел, состоящее из числа 1 и из всех чисел, имеющих предшествующее. Если число а содержится в М, то и число а' также есть в М, поскольку предшествующим для а' является число а. Это значит, что множество М содержит 1, и из того, что число а принадлежит множеству М, следует, что и число а' принадлежит М. Тогда по аксиоме 4 множество М совпадает с множеством всех натуральных чисел. Значит, все натуральные числа, кроме 1, имеют предшествующее число.
Отметим, что в силу аксиомы 3 числа, отличные от 1, имеют единственное предшествующее число.
Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен. И конечно, знание аксиоматической теории поможет учителю методически грамотно организовать усвоение детьми особенностей натурального ряда чисел.
СЕМИНАРСКОЕ ЗАНЯТИЕ. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПОНЯТИЯ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА
Вопросы к изучению
1. Содержание понятий «множество», «число», «цифра», «счет».
2. Развитие понятий числа и счета.
3. Раскрытие сущности счета и измерения.
4. Виды письменной нумерации и история их развития.
5. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.
6. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля
Задания для самостоятельной работы
1. Подготовить короткое сообщение по истории возникновения письменной нумерации и возникновения понятия натурального числа.
2. рассматривается Рассмотрите материал учебников математики для начальной школы, где дочисловой период. Приведите примеры различных заданий по формированию у младших школьников счетной деятельности.
3. Можно ли назвать отрезком натурального ряда множество: а) {1,2,3,4}; б) {2,3,4, 5}; в){1,3,5,7}; г){1,2,4,5}?
4. Докажите, что множество В конечное, если: а) В - множество букв в слове «параллелограмм»; б) В - множество учащихся в классе; в) В - множество букв в учебнике математики.
5. Прочитайте записи: n (А) = 5; n (А) = 7. Приведите примеры множеств, содержащих указанное число элементов.
6. Что значит сосчитать элементы конечного множества? Сформулируйте правила, которые должны соблюдать учащиеся при счете предметов и которые вытекают из определения счета элементов конечного множества.
7. Рассмотрите иллюстрации и записи, приведенные на той странице учебника по математике, где учащиеся изучают число «три». Объясните, какие из них приведены с целью раскрыть учащимся порядковое и количественное значение числа «три». Какие бы Вы добавили иллюстрации с этой же целью ?
8. Найдите в различных учебниках математики для 1 класса задания, которые можно использовать для формирования у учащихся представлений: а) о количественном и порядковом числе; в) о взаимосвязи между количественным и порядковым числами. Ответьте на вопрос: «Почему установление взаимно однозначного соответствия между элементами предметных множеств подготавливает ребенка к овладению счетом?».
9. Найдите в учебниках различные виды учебных заданий, которые можно предложить детям для усвоения отношений «больше», «меньше», «равно» между однозначными числами. Составьте сами различные задания, которые можно использовать с этой же целью.
10. Составьте учебные задания, в процессе выполнения которых у учащихся формируются навыки присчитывания и отсчитывания по единице.
ТЕМА 13. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЕЛ. ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ.
Содержание
1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
Теоретико-множественный смысл суммы
Теоретико-множественный смысл разности.
Теоретико-множественный смысл произведения.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
2. Теоретико-множественный смысл суммы
3. Теоретико-множественный смысл разности
4. Теоретико–множественный смысл произведения
5. Теоретико– множественный смысл частного
Основные понятия темы
Ø Число «нуль» с теоретико–множественных позиций – это число элементов пустого множества: 0 = n (Æ).
Ø Если отношение “меньше” рассматривать с теоретико–множественной точки зрения, то:
а < b ÛNа Ì N b, где Nа = {1, 2, …,а}, Nb = {1, 2, …, b}
а < b Û А ~ В1 , где В1 Ì В и В1¹ В, В1 ¹ Æ, а = n (В), b = n (В).
Ø Так как количественные натуральные числа связаны с конечными множествами, то действия над числами оказались связанными с действиями над множествами:
Сложение чисел – с объединением конечных непересекающихся множеств;
Вычитание чисел – с дополнением подмножества;
Умножение чисел – с объединением равночисленных попарно непересекающихся множеств;
Деление чисел – с разбиением множества на попарно непересекающиеся подмножества.
Ø Было установлено, что:
а + b = n (А ÈB), где n (А ), b = n (В) и A Ç B = Æ;
а – b = n (А В), где а = n (А ), b = n (В) и В Ì А;
а × b = n (А 1È А 2È…È А n), где n (А1) = n (А2)= …= n (А n) = а и множества А 1, А 2, …, А n попарно не пересекаются;
а : b, то:
1) число элементов в каждом подмножестве разбиения множества А, если n (А) = а и b - число подмножеств;
2) число подмножеств в разбиении множества А, если n (А) = а и b – число элементов в каждом подмножестве.
Ø Так как действия над числами получили теоретико–множественную трактовку, то такую же трактовку оказалось возможным дать и их свойствам.
Практическая часть
Обязательные задания
1. Почему на уроке, где изучается число «четыре», можно использовать картинку с изображением четырех яблок, четырех тетрадей, а можно воспользоваться и другими примерами четырехэлементных множеств?
2. Какой подход к определению отношения «меньше» используется при ознакомлении младших школьников с неравенством 3 < 4, если выполняются следующие действия: возьмем три розовых кружка и четыре синих и каждый розовый кружок наложим на синий; видим, что синий кружок остался незакрытым, значит, розовых кружков меньше, чем синих, поэтому можно записать: 3 < 4.
3. Исходя из различных определений отношения «меньше», объясните, почему 2 < 5?
4. Как, используя теоретико-множественный подход к числу, объяснить, что 4 = 4?
5. Каков теоретико-множественный смысл суммы: а) 3 + 5; б) 0 + 4; в) 0 + 0.
6. Дайте теоретико-множественное истолкование суммы k слагаемых и, используя полученный вывод, объясните теоретико-множественный смысл суммы: а) 3 + 4 + 2; б) 1 + 2 + 3 + 4.
7. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются сложением.
а) Дима сорвал 8 слив, Нина - 4. Сколько всего слив сорвали Дима и Нина вместе?
б) Из коробки взяли 6 красных карандашей и 4 синих. Сколько всего карандашей взяли из коробки?
8. Объясните с теоретико-множественной точки зрения смысл выражений: а) 8 - 3; б) 4 - 4; в) 4 - 0.
9. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи вычитания.
а) В корзине было 7 морковок, 3 из них отдали кроликам. Сколько морковок осталось?
б) На столе 8 чашек, их на 3 больше, чем стаканов. Сколько стаканов на столе?
в) На верхней полке шкафа 7 книг, а на нижней 4. На сколько книг больше на верхней полке, чем на нижней?
10. Обоснуйте выбор действий при решении задач.
а) На одной полке 5 книг, на другой на 3 больше. Сколько книг на двух полках?
б) Во дворе гуляли 6 мальчиков, а девочек на 2 меньше. Сколько всего детей гуляло во дворе?
11. Запишите, используя символы, правило вычитания суммы из числа и дайте его теоретико-множественное истолкование.
12. Используя определение произведения чисел через сумму, объясните, каков теоретико-множественный смысл произведения 2 ´ 4.
13. Раскройте теоретико-множественный смысл произведения 2 ´ 4, используя определение произведения чисел через декартово произведение множеств.
14. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи умножения.
а) На каждую из трех тарелок положили по 2 яблока. Сколько всего яблок положили?
б) Школьники посадили в парке 4 ряда деревьев, по 5 штук в ряду. Сколько деревьев они посадили?
16. Используя теоретико-множественный смысл действий над числами, обоснуйте выбор действий при решении задач.
а) Первоклассники заняли в кинотеатре 3 ряда, второклассники - 4 ряда, а третьеклассники - 5 рядов. Сколько учеников начальных классов было в кинотеатре, если в каждом ряду они занимали по 9 мест?
б) В саду 8 рядов деревьев, по 9 в каждом. Из них 39 яблонь, 18 груш, остальные сливы. Сколько сливовых деревьев в саду?
17. Какие рассуждения учащихся вы будете считать правильными при выполнении ими следующих заданий.
а) Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов тюльпанов, по 9 в каждом, а Надя 9 рядов по 8 тюльпанов.
Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя?
Пользуясь данным условием, объясните, что означают выражения: 72+ 72; 72×2; 8×9-8.
б) В гараже в 6 рядов стояло по 9 машин. Из каждого ряда выехало 8 машин. Сколько машин осталось в гараже?
18. Объясните, что означают выражения, составленные по условию данной задачи: 9× 6; 8 × 2; 8 × 6; 9 - 8; (9 - 8) ×2; (9-8) × 6.
19. Используя теоретико-множественный смысл частного, объясните смысл выражений: а) 10:2; б)5:1; в) 5:5.
20. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления.
а) 15 редисок связали в пучки по 5 редисок в каждом. Сколько получилось пучков?
б) 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый?
21. Назовите отношения, которые рассматриваются в задачах, решите задачи арифметическим методом, выбор действий обоснуйте.
а) Для украшения елки девочка вырезала 4 звездочки, а флажков в 3 раза больше. Сколько флажков вырезала девочка?
б) У Коли в 4 раза больше открыток, чем у Вовы. А у Лены их на 20 меньше, чем у Коли. Сколько открыток у Лены, если у Вовы их 7?
22. в) Миша поймал 48 окуней, Саша - на 6 меньше, чем Миша, а Коля - в 7 раз меньше, чем Саша. Сколько окуней поймали все мальчики?
23. Какое правило является обобщением различных арифметических способов решения задачи.
а) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?
б) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?
Творческие задания
1.Докажите, что дистрибутивность умножения относительно сложения вытекает из равенства А ´ (В È С) = (А ´ В) È (А ´ С), а относительно вычитания - из равенства (А В) ´ С) = (А ´ В) (А ´ С).
2.Составьте сценарий практической работы для младших школьников по сравнению численностей множеств без их нахождения.
3.Проведите практическую работу, подтверждающую, что сумма 5 + 3 не зависит от выбора множеств, численности которых равны 5 и 3.
4.Докажите, что 0+0+…+0=0.
5.Докажите важное правило прибавления суммы к сумме, опираясь на теоретико-множественный подход к определению суммы: (a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d), (a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c)
6.Придумайте практическую работу по нахождению того, на сколько в одном множестве больше элементов (без нахождения их численности).
7.Опишите практическую работу в начальной школе, подтверждающую эквивалентность деления “на” и “по”.
Позиционные и непозиционные системы счисления
Понятие числа возникло в глубокой древности. Тогда же возникла и необходимость в названии и записи чисел.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ЗАПИСЬ ЦЕЛЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Цель.Раскрыть различные подходы к записи целых неотрицательных чисел. Обосновать методические подходы к обучению младших школьников способам записи чисел в десятичной системе счисления.
Теоретическая часть
1.Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
2.Понятие системы счисления.
3.Позиционные и непозиционные системы счисления.
4.Запись и названия чисел в десятичной системе счисления.
Основные понятия темы
Ø Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.
Ø Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Ø В позиционных системах один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.
Ø Непозиционные системы характеризуются тем, что каждый знак (из совокупности знаков, принятых в данной системе для обозначения чисел всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа.
Ø Примером такой системы может служить римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления имеются знаки для узловых чисел: единица обозначается - I, пять - V, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все остальные числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания.
Ø Десятичная запись натурального числа – это его представление в виде
Х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 = , где аn, а n – 1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а n¹ 0.
Ø В таком виде можно записать любое натуральное число и запись эта единственная.
Практическая часть
Обязательные задания
1. Запишите в десятичной системе счисления: XXVII, XLIV, XXI, LXII, LXXVIII, XCV, CDXXIII, MCDVII, MCDXIX, MDCCCLXXI.
2. Запишите в римской системе счисления: 24, 117, 468, 1941, 1997, 2001.
3. Запишите число в виде суммы разрядных слагаемых: а) 4725; б) 3370; в) 10255.
4. Какие числа представлены следующими суммами: а) 6·103+5·10+8; б) 7·103+ 1·10; в) 8·104+103+3·10+1; г) 105 + 102?
5. Напишите наибольшее трехзначное и десятизначное числа, в которых все цифры различны.
6. Решите арифметическим методом задачи из начального курса математики:
а) Сумма цифр двузначного числа равна 9, причем цифра десятков вдвое больше цифры единиц. Найдите это число.
б) Сумма цифр двузначного числа равна наименьшему двузначному числу. Цифра десятков обозначает число в 4 раза меньшее, чем цифра единиц. Какое это двузначное число?
Какие некорректности допущены в формулировках данных задач? Следует ли их исправлять?
7. Каждая цифра пятизначного числа на единицу больше предыдущей, а сумма его цифр равна 30. Какое это число?
Творческие задания
1. Выполните поиск решения задачи всеми способами. Решите задачу одним способом и проверьте, решив другим. Какие математические знания необходимы для решения данной задачи? «На фабрике за три смены выработано 12840 м ткани. В первую смену выработали на 594 м больше, чем во вторую, а в третью - на 312 м меньше, чем в первую. Сколько метров ткани выработали в каждую смену?».
2. Решите задачу. Какой способ поиска арифметического решения задачи вы выбрали? «Рабочий выработал за смену в среднем 432 детали. Применив более рациональные способы работы, он выработал в первый день 1528, а во второй день 2114 и в третий 2838 деталей. На сколько деталей и во сколько раз увеличилась средняя дневная выработка рабочего?».
3. Постройте модель задачи и решите ее. «Три большие реки России Обь, Лена и Амур имеют общую длину 14206 км. Обь и Лена вместе имеют длину 9852 км, Лена и Амур - 8623 км. Какова длина каждой из этих рек?».
4. Решите задачу. Какой метод решения задачи выбран? «Два автобуса отправились одновременно из города в спортивный лагерь, расстояние до которого 72 км. Первый автобус прибыл в лагерь на 15 мин. раньше второго. С какой скоростью шел каждый автобус, если скорость одного из них на 4 км в час больше другого?».
5. Решите задачу и выполните ее проверку. «Двое мужчин купили для посадки 500 штук капустной рассады и заплатила поровну. На огороде у одного поместилось на 40 штук больше, чем у другого и он доплатил второму 8 грн. Сколько рассады посадил каждый и сколько стоил 1 десяток рассады?».
6. Решите задачу арифметическим методом и выполните ее проверку. Методическое указание: при арифметическом способе решения задачи предположите, что все бревна сосновые. Сколько арифметических способов решения имеет данная задача? «На платформу погрузили 70 сосновых и еловых бревен общей массой 165 ц. Сосновое бревно имело массу 210 кг, а еловое - 250 кг. Сколько было тех и других бревен?».
8. Младшим школьникам предложена задача: «Запиши 5 четырехзначных чисел, используя цифры 2, 5, 0, 6 (одна и та же цифра не должна повторяться в записи числа)». А сколько вообще всевозможных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 5, 0 и 6 так, чтобы одна и та же цифра не повторялась в записи числа?
ТЕМА 15. АЛГОРИТМЫ ДЕЙСТВИЙ НАД ЦЕЛЫМИ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Содержание
1. Алгоритм сложения.
2. Алгоритм вычитания.
3. Алгоритм умножения.
4. Алгоритм деления.
Основная литература[7, 13, 16, 17, 18, 33, 34];
Дополнительная литература [16, 31, 55, 58, 60, 73, 84]
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. АЛГОРИТМЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Цель. Показать на практических примерах использование алгоритмов действий сложения, умножения, вычитания и деления над натуральными числами. Уметь обосновать каждый шаг алгоритмов при выполнении практических заданий и решении текстовых задач из курса начальной школы.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Запись числа в десятичной системе счисления
2. Алгоритм сложения
3. Алгоритм вычитания
4. Теоретические основы алгоритмов умножения и деления
5. Алгоритмы умножения и деления
Основные понятия темы
Ø Десятичная запись натурального числа – это его представление в виде
х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 = , где аn, а n – 1,…, а1, а0 принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а n¹ 0.
- В таком виде можно записать любое натуральное число и запись эта единственная.
- Десятичная запись натуральных чисел позволяет их сравнивать и выполнять, по определенным правилам (алгоритмам), над ними действия.
- В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:
- способ записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;
- дистрибутивность умножения относительно сложения;
- таблица сложения однозначных чисел.
Ø В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:
1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находилось друг под другом.
2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).
3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а0 + b0 = 1 • 10 + с0, где с0 - однозначное число; записывают с0, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.
4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.
Ø Вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:
– способе записи числа в десятичной системе счисления;
– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
– таблице сложения однозначных чисел.
Ø В общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления следующий:
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.
2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.
3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. b0 > а0, а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + а0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.
4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем b0 из 10 + а0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.
5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.
6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.
Ø Теоретической основой алгоритма умножения многозначного числа на многозначное являются:
- запись чисел в десятичной системе счисления;
- свойства сложения и умножения;
- знание таблиц сложения и умножения однозначных чисел.
Ø Общий вид алгоритма умножения числа х = на число у = :
1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.
2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х × b0 под числом у.
3. Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение х × b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х × b1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х × bk.
5. Полученные k + 1 произведения складываем.
Ø Теоретической основой алгоритма деления целого неотрицательного числа на натуральное число является:
- действие деления с остатком.
Ø Алгоритмом деления уголком целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий:
1.Если а = b, то частное q = 1, остаток r = 0.
2.Если а > b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, так как а < 10 b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел а и b .
3.Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в числе b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:
а) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d1, больше или равное b . Перебором находим частное q1 чисел d1, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q1 под уголком (ниже b).
б) Умножаем b на q1, и записываем произведение под числом а так, чтобы младший разряд числа bq1 был написан под младшим разрядом выделенного числа d1.
в) Проводим черту под bq1 и находим разность r1 = d1 - bq1.
г) Записываем разность r1, под числом bq1 , приписываем справа к r1 старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d2 с числом b .
д) Если полученное число d2 больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q2 записываем после q1.
е) Если полученное число d2 меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число d3, большее или равное b. В этом случае записываем после q1 то же число нулей. Затем относительно d3 поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q2 записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d3 < b, то тогда частное чисел d3 и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом в частном, а остаток r = d3.
Практическая часть
1. На примере сложения чисел 237 и 526 покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения многозначных чисел.
2. При изучении алгоритма сложения трехзначных чисел в начальной школе последовательно рассматриваются такие случаи сложения: 231 + 342; 425 + 135; 237 + 526; 529 + 299. Каковы особенности каждого из этих случаев?
3. Вычислите устно значение выражение; использованный прием обоснуйте:
а) 2746 + 7254 + 9876; б)7238+8978+2768;
в) (4729 + 8473) + 5271; г) 4232 + 7419 + 5768 + 2591;
д) (357 + 768 + 589) + (332 + 211 + 643).
4. Какие рассуждения школьников вы будете считать правильными при выполнении задания.
а) Можно ли утверждать, что значения сумм в каждом столбике одинаковы:
2459+121 53075+2306
2458+122 53076+2305
2457+123 53006+2375
2456 + 124 53306+2075
б) Можно ли записать значения этих сумм в порядке возрастания: 4583+321 4593+311 4573+331
5. На примере нахождения разности чисел 469 и 246, 757 и 208 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма вычитания чисел столбиком.
6. Выполните вычитание, используя запись и объясняя каждый шаг алгоритма: а)84072 - 63894; б)940235-32849; в)935204 - 326435; г) 653481 - 233694.
7. Сколько пятизначных чисел можно записать, используя цифры 1 и 0? Чему равна разность между наибольшим и наименьшим из этих пятизначных чисел?
8. Назовите способы проверки правильности вычитания многозначных чисел и дайте им обоснование.
9. Вычислите (устно) значение выражения, использованные приемы обоснуйте: а) 2362-(839 + 1362); б) (1241 +576)-841; в) (7929 + 5027 + 4843) - (2027 + 3843). На примере умножения числа 357 на 4 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на однозначное.
10. На примере умножения 452 на 186 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма умножения многозначного числа на многозначное.
10. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение:
а) На элеватор отвезли 472 т овса, ржи на 236 т больше, чем овса, пшеницы в 4 раза больше, чем овса и ржи вместе. Сколько тонн пшеницы отвезли на элеватор?
б) Столяр делает в день 18 рам, а его помощник на 4 рамы меньше. Сколько рам они сделают за 24 дня, если каждый день будут работать, вместе?
12. Как могут рассуждать учащиеся, выполняя следующее задание:
13. «Ширина земельного участка прямоугольной формы равна 24 м. Это в 6 раз меньше его длины. Объясни, что обозначают выражения, записанные по условию задачи, и вычисли их значения: 24× 6; 24× (24 × 6); (24 + 24 × 6) × 6; 24 × 2; 24 × 2 + 24 × 6 × 2».
14. Выполните умножение чисел, используя запись столбиком, и объясняя каждый шаг алгоритма: а) 984 × 27; б)7040 × 234; в)8276 × 73; г)4569 × 357.
15. Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональным способом значение выражения:
а)8 × 13 × 4 × 125 × 25; г)124× 4 + 116× 4;
б) 24×(27×125); д) (3750-125) ×8;
в) (88 + 48) ×125; е)1779×1243 - 779×1243.
16. Зная, что 650×34 = 22100, найдите произведение чисел, не выполняя умножения столбиком: а) 650×36; б)650×32; в) 649×34.
17. Найдите и обоснуйте приемы умножения 24 на 35 и, пользуясь ими, умножьте на 35 числа: 12, 18, 24, 32, 48, 64.
18. Вычислите рациональным способом значение выражения: а) (420-394) × 405 – 25 × 405; б) 105 × 209 + (964 - 859) × 209 × 400.
19. Найдите значения выражений 13 ×11, 27 ×11, 35 ×11, 43 ×11, 54 ×11. Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа меньше 10, достаточно между цифрами данного числа написать число, равное сумме его цифр?
20. Найдите значение выражений 29 × 11, 37 × 11, 47 × 11, 85×11, 97 × 11. Верно ли: чтобы найти результат умножения двузначного числа на 11 в случае, когда сумма цифр двузначного числа больше или равна 10, достаточно между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать число, равное разности между суммой его цифр и числом 10?
21. Не выполняя деления, определите число цифр частного чисел: а) 486 и 7; б) 7243 и 238;в) 5792 и 27; г) 43126 и 543.
22. На примере деления числа 867 на 3 проиллюстрируйте теоретические основы алгоритма деления трехзначного числа на однозначное.
23. Обоснуйте процесс деления уголком а на b , если а) а = 4066, b = 38; б) а = 4816, b = 112.
24. Как, не вычисляя, можно установить, что деление выполнено неправильно, если: а) 51 054:127 = 42; б) 405945:135 = 307?
25. Не вычисляя значений выражений, поставьте знаки > или <, чтобы получились верные неравенства.
а) 1834:7 … 783:9; б ) 8554:91 ...7488:72; в) 137532:146 ... 253242:198; г) 7248:6 ...758547:801.
26. Не производя деления, разбейте данное выражение на классы при помощи отношения «иметь в частном одно и тоже число цифр»: а)20700:300; б)20300:700; в) 5460:60; г) 14 640 : 80; д) 30 720:40; е) 1500:300.
27. Решение задачи запишите в виде числового выражения, а затем найдите его значение.
а) Туристы совершили экскурсию по реке на катере, проплыв всего 66 км. Сначала 2 ч они плыли со скоростью 18 км/ч, а остальной путь - со скоростью 15 км/ч. Сколько всего часов находились в пути туристы?
б) Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов по 6 пачек в каждом. Определите массу сложенного в ящик печенья.
28. Найдите значение первого выражения, а затем используйте его при вычислении значения второго.
а) 45120: (376×12), б) 241×(1264:8), в) 45120: (376×3); г) 241×(1264:4).
29. Найдите двумя способами значение выражения: а) (297+405+567):27; б) 56×(378:14); в) (240×23); 48; г) 15120:(14×5×18).
30. Найдите значение выражения: а)8919:9 + 114240:21; б) 1190-35360:34+271; в) 8631-(99+44 352:63); г) 48 600×(5 045-2 040): 243- (86043:43 +504) ×200; д) 4880×(546+534): 122-6390×(8 004-6924) ×213.
Творческие задания
1. Докажите, что а + (b – с) =
2. Используя это правило, вычислите значение выражения:
а) 6420+(3580-1736); б) 5480 + (6290 - 3480).
3. Докажите, что а – ( b - с) =
4. Используя это правило, вычислите значение выражения: а) 3720-(1742-2678), б) 2354-(965-1246).
5. Докажите, что (а – в) – с =
6. Используя это правило, вычислите значение выражения: а) (4317-1928)-317; б) (5243-1354)-1646.
7. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи умножения чисел и решите их.
а) Земля при обращении вокруг Солнца за сутки проходит примерно 2 505 624 км. Какой путь проходит Земля за 365 дней?
б) В школу привезли 56 пачек книг, по 24 книги в каждой пачке. Сколько всего книг привезли в школу?
8. Объясните, почему следующие задачи решаются при помощи деления чисел, и решите их.
а) В 125 коробок разложили поровну 3000 карандашей. Сколько карандашей в каждой коробке?
б) Расфасовали 12 кг 600 г конфет в коробки по 300 г в каждой. Сколько коробок конфет получилось?
ТЕМА 16. ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ И ЕГО СВОЙСТВА
Содержание
1. Отношение делимости и его свойства.
Признаки делимости.
В) Частные, получаемые при делении двух данных чисел на их наибольший общий делитель, является взаимно простыми числами.
Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно, D (24, 36) = 12.
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕЛИМОСТЬ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Цель. Рассмотреть на практических примерах использование теорем о свойствах делимости, уметь находить разными способами наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное нескольких чисел.
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Отношение делимости и его свойства
Признаки делимости
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
4. Простые числа
5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
Основные понятия темы
Ø делитель данного числа;
Ø простое число;
Ø составное число;
Ø общий делитель данных чисел;
Ø наибольший общий делитель данных чисел;
Ø взаимно простые числа;
Ø общее кратное данных чисел;
Ø наименьшее общее кратное данных чисел.
Рассмотрены
Ø теоремы о свойствах делимости и признаках делимости на 2, 3, 4, 5, 9.
Ø дан способ получения признаков делимости на те составные числа, которые можно представить в виде произведения взаимно простых чисел.
Ø основная теорема арифметики, в которой утверждается, что любое составное число можно представить в виде произведения простых множителей.
Правила
Ø нахождения наибольшего общего делителя двух чисел двумя способами. Первый основан на разложении данных чисел на простые множители, а второй является алгоритмом Евклида.
Ø Наименьшее общее кратное двух чисел можно находить, используя разложение данных чисел на простые множители, или, если известен наибольший общий делитель чисел а и b, то по формуле К(а,b) =
Практическая часть
Обязательные задания
1. Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.
2. Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = {2, 6, 12, 18, 24}. Как отражены на этом графе свойства данного отношения?
3. Известно, что число 24 - делитель числа 96, а число 96 – делитель числа 672. Докажите, что число 24 делитель числа 672, не выполняя деления.
4. Запишите множество делителей числа: а) 24; б)13; в)1.
5. На множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?
6. Докажите или опровергните следующие утверждения:
а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.
б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.
в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.
г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.
7. Верно ли, что: а) аM m и bM n Þ а bM mn; б) аbM n Þ аM n или bM n.
8. Выпишите из ряда чисел 132, 1050, 1114, 364, 12000 те, которые: а) делятся на 2; б) делятся на 4; в) делятся на 2 и не делятся на 4; г) делятся и на 2 и на 4.
10. Верно ли утверждение:
а) Для того чтобы число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4?
б) Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4?
11. Из ряда чисел 72,312,522,483, 1197 выпишите те, которые: а) делятся на 3; б) делятся на 9; в) делятся на 3 и не делятся на 9;
г) делятся и на 3 и на 9. Сделайте вывод о взаимосвязи делимости на 3 и на 9. Докажите его.
12. Не выполняя сложения, установите, делится ли значение выражения на 4:
а) 284+ 1440 + 113; в)284+ 1441 + 113;
6) 284 + 1440 + 792224; г)284 + 1441 + 113 + 164.
13. Не выполняя вычитания, установите, делится ли разность на 9. а) 360 - 144; б) 946 - 540; в) 30 240 - 97.
14. Верно ли, что для делимости числа х на 8 в десятичной системе счисления необходимо и достаточно, чтобы на 8 делилось трехзначное число, образованное последними тремя цифрами десятичной записи числа х?
15. Даны числа 36 и 45.
а) Найдите все общие делители этих чисел.
б) Можно ли назвать все их общие кратные?
в) Найдите три трехзначных числа, которые являются общими кратными данных чисел.
г) Чему равны D(36, 45) и K(36, 45)? Как проверить правильность полученных ответов?
16. Верны ли записи: а) D (32, 8) =8 и K(32, 8) = 32; б)D(17,35)=1 и K(17,35)=595; в) D(255, 306) = 17 и K(255, 306) = 78030.
17. Найдите K(а,b), если известно, что:
а) а = 47, b = 105 и D(47, 105) = 1; б) a = 315, b = 385 и D (315, 385) =35.
18. Из множества чисел 1032, 2964, 5604, 8910, 7008 выпишите те, которые делятся на 12.
19. Делятся ли на 18 числа 1548 и 942?
20. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.
21. Найдите цифры а и b числа 72а-3 b, если известно, что это число делится на 45.
22. Не выполняя умножения и деления уголком, установите, какие из следующих произведений делятся на 30: а)105×20; б)47×12×5; в)85×33×7.
24. Не выполняя сложения или вычитания, установите, значения каких выражений делятся на 36. а) 72 + 180+ 252; б) 612-432; в) 180 + 252 + 100; г) 180+250+200.
25. Из множества чисел 13, 27, 29; 51, 67 выпишите простые числа, а составные разложите на простые множители.
26. Докажите, что число 819 не является простым числом.
27. Разложите на простые множители числа 124, 588, 2700, 3780.
28. Какое число имеет разложение: а)23 × 32× 7× 13; б)22× 3× 53?
30. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное данных чисел, представив их в каноническом виде: а) 948 и 624; б)120,540,418.
Творческие задания
1. Докажите, что при любом натуральном п истинны утверждения: а) n(n+ 1)(n+2) M 6; б) n(n+1)(n+2)(n+3) M 12.
2. Сформулируйте признаки делимости на 12,15,18,36,45,75.
3. Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель чисел. а) 846 и 246; б) 585 и 1960; в) 15283 и 10013.
4. Верно ли, что: а) D(448, 656) = 16; б) K(578, 8670) = 8670?
5. Докажите, что числа 432 и 385 взаимно простые.
6. Найдите наибольший общий делитель всех пятизначных чисел, записанных при помощи цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры в записи чисел не повторяются).
ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ДЕЙСТВИЯ НАД ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
Цель. Уметь выполнять различные тождественные преобразования над положительными действительными числами
Теоретическая часть
Вопросы к изучению
1. Понятие дроби.
2. Положительные рациональные числа.
3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
4. Действительные числа.
Основные понятия темы
Ø дробь (правильная и неправильная);
Ø равные дроби;
Ø несократимая дробь;
Ø положительное рациональное число;
Ø равенство положительных рациональных чисел;
Ø смешанная дробь;
Ø десятичная дробь;
Ø бесконечная периодическая десятичная дробь;
Ø бесконечная непериодическая десятичная дробь;
Ø иррациональное число;
Ø действительное число.
Замечания, выводы
· Отношение равенства дробей есть отношение эквивалентности и воспользовавшись этим определяют понятие положительного рационального числа.
· Сложение и умножение положительных рациональных чисел связано с измерением длин отрезков; получены формулы для нахождения их суммы и произведения.
· Определение отношения «меньше» на множестве Q+ позволило назвать его основные свойства: оно упорядоченное, плотное, в нем нет наименьшего и наибольшего числа.
· Доказано, что множество Q+ положительных рациональных чисел удовлетворяет всем тем условиям, которые позволяют его считать расширением множества N натуральных чисел.
· Введя десятичные дроби доказано, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью.
· Бесконечные непериодические дроби считают записями иррациональных чисел.
· Если объединить множества положительных рациональных и иррациональных чисел, то получаем множество положительных действительных чисел: Q+ÇJ+ = R+
· Если к положительным действительным числам присоединить отрицательные действительные числа и нуль, то получаем множество R всех действительных чисел.
Обязательные задания
1. Известно, что длина отрезка х при единичном отрезке b выражается дробью . Как могла получиться такая дробь при измерении длины отрезка х? Существуют ли другие дроби, выражающие длину отрезка х при том же единичном отрезке е?
2. Выберите единицу длины и постройте отрезок, длина которого выражается дробью: а) ; б) ; в) .
3. Как установить, равны ли дроби: а) и ; б) и .
4. На множестве дробей отношение равенства. Постройте граф этого отношения. Каковы особенности этого графа? С чем они связаны?
5. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю: а) и б) и ; в) и
6. Найдите несократимую дробь, равную следующей: а);б) ; в); г); д) .
7. Рациональное число представлено дробью . Может ли оно быть представлено дробью? А дробью ?
8. Какие из следующих дробей несократимые: а) б)
в)
9. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых дробей; выполненные преобразования обоснуйте: а); б) ; в) г)
10. Вычислите значения следующих выражений, записав их в виде несократимых дробей; выполненные преобразования обоснуйте: а) б) в)
11. Сравните числа: а) и б) и ; в) и ;
г) и .
12. Найдите три дроби, которые заключены между дробями и .
13. Найдите значение следующих выражений: а);
б) в) .
14. Выполните указанные действия и найдите значение выражения:
15. Какие из данных чисел являются дробными: а)б)в)г)
16. Число 2 умножили на правильную дробь. Какое число получилось - больше или меньше числа 2? А если 2 умножить на неправильную дробь?
17. Может ли при умножении числа 3 на правильную дробь получиться число: а) меньше 1; б) больше 1?
18. Запишите дроби в виде десятичных.
19. Запишите числа 7,11; 0,45; 13,745 в виде несократимых обыкновенных дробей.
20. Какими будут численные значения следующих величин, если в качестве единицы длины взять 1 м: а) 23 см 2 мм; б) 90 дм 16 см 8 мм; в) 5м 17дм; г) 1км 120м?
21. Выразите в килограммах: а) 1,52 т; б) 0,38 т; в) 13,6 г; г) 426,5 г.
22. Выразите в квадратных сантиметрах: а) 3,548 дм2; б) 3,9 м2; в) 635мм2.
23. Сформулируйте правила сложения и вычитания десятичных дробей; выполните действия: а) 8,23 + 3,568; б) 7,395 - 6,27; в) 12,364 + 17,729; г) 15,36-9,68.
24. Сформулируйте правило умножения двух десятичных дробей и объясните, почему в произведении запятой отделяют столько последних цифр, сколько их отделено в первом и втором множителях вместе.
25. Сформулируйте правило деления десятичных дробей; проиллюстрируйте его на примере деления числа 4,62 на 0,2.
26. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн. км. Скорость света 300 тыс. км/с. За сколько минут луч Солнца достигнет Земли?
27. Вычислите наиболее простым способом:
а) 49,5+2,738- 6,856+(7,956-2,638); б) 4,3 - 3,5 + 1,44 : 3,6 + 3,6 : 1,44×(0,1-0,02).
28. Не выполняя вычислений, сравните следующие произведения: а) 19,91×199,2 и 1,991×1992; б)1,992×199,3 и 1,992×1993.
29. Что больше: 35% от 40 или 40% от 35?
30. Увеличьте число: а) 60 на 10%; б) 80 на 2,5%.
31. Число х увеличили на 45%. Во сколько раз увеличили число?
32. Число х увеличили в 2,4 раза. На сколько процентов увеличили число?
33. Туристы прошли 75% маршрута и им осталось пройти еще 5,5 км. Какова длина маршрута?
34. Какие из следующих чисел можно записать в виде конечных десятичных дробей: а)б)в) г)
35. Следующие обыкновенные дроби запишите в виде десятичных: а) б) в) г)
Творческие задания
1. Докажите, что отношение «меньше» на множестве Q+ является отношением порядка.
2. Решите задачи арифметическим способом.
а) Прямоугольник разделили на 8 равных частей. Сначала закрасили прямоугольника, потом , затем . Весь ли прямоугольник закрасили?
б) Мальчик отпил чашки черного кофе и долил молока, затем отпил чашки и опять долил молока, потом отпил еще чашки и снова долил молока. Наконец, он допил кофе с молоком. Чего больше выпил мальчик - кофе или молока?
3. Решите арифметическим методом задачи.
а) В трех гаражах помещается 460 машин. Число машин в первом гараже составляет числа машин, помещающихся во втором, а в третьем гараже в раза больше машин, чем в первом. Сколько машин в каждом гараже?
б) Из двух пунктов, расстояние между которыми 25 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них проходил в час накм больше другого. С какой скоростью шел каждый, если через 2 ч после выхода расстояние между ними стало км?
в) Двум машинисткам было поручено перепечатать рукопись. Первая машинистка перепечатала всей рукописи, а вторая - всей рукописи. Сколько страниц в рукописи, если первая машинистка перепечатала на 7 страниц больше, чем вторая?
4. Решите задачи арифметическим методом.
а) Турист прошел в первый день всего маршрута, во второй день 40 % остатка, после чего ему осталось пройти на 6,5 км больше, чем он прошел во второй день? Какова длина маршрута?
б) На уборке улицы работают две машины. Первая из них может убрать всю улицу за 40 мин, второй для этого требуется 75% времени первой. Обе машины начали работу одновременно. После совместной работы в течение 0,25 часа вторая машина прекратила работу. За сколько времени после этого первая машина закончила уборку улицы?
5. Известно, что любое положительное рациональное число можно изобразить точкой на координатном луче. Исчерпывают ли точки с положительными рациональными координатами весь координатный луч?
6. Опишите процесс измерения длины отрезка, если отчет о нем представляется дробью: а) 3,46; б) 3,(7); в) 3,2(6).
7. Седьмая часть единичного отрезка укладывается в отрезке а 13 раз. Конечной или бесконечной дробью будет представлена длина этого отрезка? Периодической или непериодической?
8. Дано множество: {7; 35,91; - 12,5; -0; 0,123; 4136}. Можно ли разбить его на два класса: рациональные и иррациональные?
9. Известно, что любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Исчерпывают ли точки с рациональными координатами всю координатную прямую? А точки с действительными координатами?
ВОПРОСЫ К КОЛЛОКВИУМУ
1. Из истории возникновения понятия натурального числа.
2. Порядковые и количественные натуральные числа. Счет.
3. Теоретико-множественный смысл количественного натурального числа и нуля.
4. Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
Теоретико-множественный смысл суммы.
6. Законы сложения.
Признаки делимости.
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
23. Простые числа. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
24. Понятие дроби.
Положительные рациональные числа.
ТЕМА 18. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО КАК МЕРА ВЕЛИЧИНЫ. ИЗМЕРЕНИЕ ВЕЛИЧИН
Содержание
1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины.
3. Смысл суммы и разности.
4. Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
Основная литература [7, 9-11, 26, 33, 34, 38];
Дополнительная литература [10, 14, 71, 77, 79]
Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.
Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.
1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот :А = В Û т(А) = т(В); А < В Û т(А) < т(В); А > В Û т(А) > т(В).
Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.
2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В достаточно сложить численные значения величин А и В: А + В = С Þ т(А +В)= т(А) + т(В).
– Конец работы –
Используемые теги: Непротиворечивая, система, аксиом, называется, независимой, если, аксиом, этой, системы, является, следствием, других, аксиом, этой, системы0.172
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов