Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

Например,

+ 7238

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степенейдесяти с коэффициентами: 341 + 7238 = (3·10² + 4·10 + 1) + (7·10³ + 2·10² + 3·10 + 8).

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единиц десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполи на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: 3·10² + 4 ·10 + 1 + 7·10³ + 2·10² + 3 ·10 + 8.

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: 7·10³ + 3·10² + 2·10² + 4·10 + 3·10 + 1 + 8. Согласно свойству ассоциативности, произведем группировку: 7·10³ + (3·10² + 2·10²) + (4·10 + 3·10) + (1 + 8). Вынесем за скобки в первой выдела группе число 10², а во второй - 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

7·10³ + (3 + 2) ·10² + (4 + 3) ·10 + (1 + 8).

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: 7·10³ + 5·10² + 7·10 + 9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748 + 436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: (7·10² + 4·10 + 8) + (4·10² + 3·10 +6). Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: (7 + 4) · 10² + (4 + 3) · 10 + (8 + 6). Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но сумма 7 + 4, 8 + 6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде 1·10 + 4: (7 + 4) ·10² +(4+3) ·10 +(1·10 + 4).

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: (7 + 4) ·10² + (4 + 3 + 1) ·10 + 4. Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7 + 4 в виде 1·10 + 1, получаем: (1 · 10 + 1) ·10² + 8·10 + 4. Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184.

Выведем алгоритм сложения многозначных чисел в общем виде.

Пусть даны числа: х = а_n × 10ⁿ + а _{n – 1} × 10 ^{n – 1} + …+ а₁ × 10 + а₀ и у = b_n × 10ⁿ + b _{n – 1} × 10^{n – 1} + …+ b₁ × 10 + b₀, т.е. рассмотрим случай, когда количество цифр в записи чисел х и у одинаково, х + у = (а_n × 10ⁿ + а _{n – 1} × 10^{n – 1} + …+ а₁ × 10 + а₀) + (b_n × 10ⁿ + b _{n – 1} × 10 ^{n – 1} + …+ b₁ × 10 + b₀) = (а_n + b_n) × 10ⁿ +( а _{n – 1} + b _{n – 1} )× 10^{n – 1} + …( а₀ + b₀) - преобразо­вания выполнены на основе свойств ассоциативности и коммутативности сложения, а также дистрибутивности умножения относительно сложения. Сумму (а_n + b_n) × 10ⁿ +( а _{n – 1} + b _{n – 1} )× 10 ^{n – 1} + …( а₀ +b₀), вообще говоря, нельзя рассматривать как десятичную запись числа х + у, так как коэффициенты перед степенями 10 могут быть больше 9. Лишь в случае, когда все суммы а_{k +} b_k, не превосходят 9, операцию сложения можно считать законченной. В противном случае выбираем наименьшее k, для которого а_k + b_k ³ 10. Если а_k + b_k ³ 10, то из того, что 0 £ а_k £ 9 и 0 £ b_k £ 9, следует неравенство 0 £ а_k + b_k £ 18 и поэтому а_k + b_k можно представить в виде а_k + b_k = 10 + с_k, где 0 £ с_k £ 9. Но тогда (а_k + b_k)× 10^k = (10 + с_k)× 10^k = 10^{k +1} + с_k × 10 ^k. В силу свойств сложения и умножения в (а_n + b_n) × 10ⁿ +(а _{n – 1} + b _{n – 1} )× 10^{n – 1} + …( а₀ +b₀) слагаемые (а _{k + 1}+ b _k+1) × 10^{k +1}+ (а_k + b_k)× 10^k могут быть заменены на (а _{k + 1}+ b _k+1 + 1)× 10^{k +1} + с_k × 10^k. После этого рассматриваем коэффициенты а_n + b_n, а _{n – 1} + b _{n – 1} , + … а _{k + 1}+ b _k+1 + 1, выбираем наименьшее s, при котором коэффициент больше 9, и повторяем описанную процедуру. Через n шагов придем к выражению вида: х + у = (с_п + 10) × 10ⁿ + …+ с₀, где с_п¹ 0, или х + у =10^{n + 1} + с_п × 10ⁿ + … + с_0, и где для всех п выполняется равенство 0 £ с_п < 10. Тем самым получена десятичная запись числа х + у.

В случае когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответст­вующие разряды находилось друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде а₀ + b₀ = 1 ·10 + с₀, где с₀ - однозначное число; записываютс₀, в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткампервого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1 + 0 = 1.

Замечание. В этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».