Алгоритм вычитания - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Вычитание Однозначного Числа B Из Однозначного Или Двузначного Числа А, Не Пр...
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.
Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает это алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485 - 231 = 4 102 + 8 10 + 5) - (2 102 + 3 10 + 1). Чтобы вычесть из числа 4 102+8 10+5 сумму 2 102+3 10+1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:
Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2 102 вычтем из слагаемого 4 102, число 3 10 - из слагаемого 8 10, а число 1 - из слагаемого 5, тогда: (4 102+8 10+5) – 2 102 - 3 10 - 1 = = (4 102 - 2 102) + (8 10 - 3 10)+(5-1).
Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4-2) 102 + (8 - 3) 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4 - 2, 8 – 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 102 + 5 10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение (4 - 2) 102 + (8 - 3) 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:
_ 485
231
Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:
– способе записи числа в десятичной системе счисления;
– правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;
– свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;
– таблице сложения однозначных чисел.
Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: 760 - 326 =(7 102+6 10 + 0) - (3 102 + 2 10 + 6).
Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать тогда будем иметь выражение: (7 102 + 5 10 + 10) - (3 102 + 2 10 + 6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7- 3) 102 + (5- 2) 10 + (10 - 6) и 4 102 + 3 10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.
Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.
Пусть даны два числах х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 и у = bn × 10 n + b n – 1 × 10 n – 1 + …+ b1 × 10 + b0 . Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что
х - у=(аn - bn) × 10 n +( а n – 1 - b n – 1 )× 10 n – 1 + …( а0 - b0) (1)
Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что всех k выполняется условие аk ³ bk . Если же это условие не выполняете то берем наименьшее k, для которого аk < bk. Пусть m - наименьше индекс, такой, что m > k и аm ¹ 0, а аm – 1 =... = аk+1 = 0. Имеетместоравенство аm×10 m = (аm– 1) ×10 m+ 9×10 m -1 + ... + 9×10 k + 1 + 10 ×10 k (например, если m=4, k=1, аm=6, то 6· 104 = 5·104 + 9·103 + 9·102 + 10·10). Поэтому в равенстве (1) выражение (аm - bm) ×10 m+ ... + (аk - bk) ×10 k можно заменить на (аm - bm- 1 )×10 m+ ( 9 - bm – 1) ×10 m-1 + (9 - bk + 1) ×10 k +1 + (аk + 10 - bk)×10 k . Из того, что аk < bk < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + аk - bk < 10, а из того, что 0 < bs£ 9, вытекает неравенство 0 < 9 - bs < 10, где k + 1 £ s £ т - 1. Поэтому в записи х –у = =(аn - bn) × 10 n + … + ( аm - bm- 1 )×10 m + (9 - bm-1)×10 m–1+ …+ (9 - bk + 1)×10 k+1 + (аk + 10 - bk)×10 k + …+( а0 - b0)все коэффициенты с индексом, меньшим т, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам аn - bn , …, аm- bm - 1, через n шагов придем к записи разности х -у в виде х – у = сп × 10 n + сп - 1 × 10 n -1 …+ с0, где для всех k выполняется неравенство 0 < с k < 10. Если при этом окажется, что сп = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Алгоритм вычитания
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами?
2. Что такое «число», «цифра», «счет»?
3. В чем связь и различие счета и изме
Теоретико-множественный смысл суммы
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечен
Теоретико-множественный смысл разности
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.
Вычитание целых неотрицательных чисел определяет
Теоретико-множественный смысл произведения
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ
Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с
Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям
Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,
Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую табли
Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
4. Простые числа.
5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34];
Дополнительн
Отношение делимости и его свойства
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.
В этом случае чис
Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9.
Признаки делимости позволя
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства
Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа.
Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет
ТЕМА 17. О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Содержание
1. Понятие дроби.
2. Положительные рациональные числа.
3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
4. Действительные ч
Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос
Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби.
На
Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.
Теоретико-множественный смысл разности.
8. Отношения «больше на» и «меньше на».
9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:
1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.
2) Стол имеет длину.
В первом предложении утверждается,
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов