рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Образование
- /
- Алгоритм умножения
Реферат Курсовая Конспект
Алгоритм умножения
Алгоритм умножения - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Умножение Однозначных Чисел Можно Выполнить, Основываясь На Определении Этого...
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.
Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.
Умножим, например, столбиком 428 на 263.
´ 263
+ 2568
856__
Видим, что для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по - особому, поместив единицы числа 2568 под десятками числа 1284, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - это результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.
Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на многозначное, необходимо уметь:
- умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;
- складывать многозначные числа.
Сначала рассмотрим умножение многозначного числа на однозначное.
Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чисел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4 ×102 + 2 ×10 + 8 и тогда 428×3 = (4×102 + 2 ×10+ 8)×3. На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4 × 102+ (2×10)×3 + 8 ×3. Произведения в скобках могут быть найдены по таблице умножения однозначных чисел: 12×102 + 6 ×10 + 24. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12×102 + 6 ×10 + 24 - коэффициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 ·10 + 2, а число 24 в виде 2·10 + 4. Затем в выражении (1·10 + 2) ·102 + 6·10 + (2·10 + 4) раскроем скобки: 1·103+2·102+6·10+2·10+4. На основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые 6·10 и 2·10 и вынесем 10 за скобки: 1·103 + 2·102 + (6 + 2) ·10+4. Сумма 6+2 есть сумма однозначных чисел и может быть найдена по таблице сложения: 1 · 103 + 2·102 + 8 ·10 + 4. Полученное выражение есть десятичная запись числа 1284, т. е. 428·3 = 1284.
Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:
- записи чисел в десятичной системе счисления;
- свойствах сложения и умножения;
- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.
Выведем правило умножения многозначного числа на однозначное в общем виде.
Пусть требуется умножить х = аn × 10 n + а n – 1 × 10 n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 на однозначное число у:
х × у = (аn × 10n + аn – 1 × 10n – 1 + …+ а1 × 10 + а0) × у = (аn × у) × 10n +( аn – 1 × у) × 10n – 1 + … + а0 × у причем преобразования выполнены на основании свойств умножения. После этого, используя таблицу умножения, заменяем все произведения аk × у, где 0 £ k £ n, соответствующими значениями аk × у = b k ×10 + с и получаем: х× у = (bп×10 + сп ) + (bп - 1×10+ сп - 1 ) ×10п - 1 + ... +(b1×10 + с1 ) ×10 + (b0×10 + с0) = bп ×10п + 1 + (сп + bп - 1) ×10 п + ... + (с1 + b0) ×10 + с0. По таблице сложения заменяем суммы сk + bk - 1, где 0 £ k £ n и k = 0, 1, 2, ..., n, их значениями. Если, например, с0 однозначно, то последняя цифра произведения равна с0 . Если же с0 = 10 + m0, то последняя цифра равна m0 , а к скобке (с1 + b0) надо прибавить 1. Продолжая этот процесс, получим десятичную запись числа х × у.
Описанный процесс позволяет сформулировать в общем видеалгоритм умножения многозначного числа 
на однозначное число у.
1. Записываем второе число под первым.
2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Еслипроизведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и переходим к следующему разряду (десятков).
3. Если произведение цифр единиц числа х на число у большеили равно 10, то представляем его в виде 10q1 + с0, где с0 – однозначное число; записываем с0 в разряд единиц ответа и запоминаем q1 - перенос в следующий разряд.
4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляемк полученному произведению число q1 и повторяем процесс, описанный пп. 2 и 3.
5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.
Как известно, умножение числа х на число вида 10k сводится к приписыванию к десятичной записи данного числа k нулей. Покажем это. Умножим число х = аn × 10n + аn – 1 × 10n – 1 + …+ а1 × 10 + а0 на 10k : (аn × 10n + аn – 1 × 10n – 1 + …+ а1 × 10 + а0) × 10 k = аn × 10n+ k + аn – 1 × 10n+ k – 1 + …+ а0 × 10k . Полученное выражение является суммой разрядных слагаемых числа 
, так как равно an × 10n+ k + аn – 1 × 10n+ k – 1 + …+ а0 × 10k + 0 ×10k-1 + 0× 10k–2+ …+ 0× 10 + 0.
Например,
347·103=(3·102+4·10+7)·103=3·105+4·104+7·103=3·105+4·104+7·103+0·102+0·10+0= =347000
Заметим еще, что умножение на число у× 10 k , где у – однозначное число сводится к умножению на однозначное число у и на число 10 k . Например, 52×300 = 52×(3×102) = (52×3) ×102 = 156×102 = 15600.
Рассмотрим теперь алгоритм умножения многозначного числа на многозначное. Обратимся сначала к примеру, с которого начинали, т.е. к произведению 428×263. Представим число 263 в виде суммы 2×102 + 6×10 + 3 и запишем произведение 428×(2×102 + 6×10 + 3). Оно, согласно дистрибутивности умножения относительно сложения, равно 428×(2×102) + 428×(6×10) + 428×3. Отсюда, применив ассоциативное свойство умножения, получим: (428×2) ×102 + (428×6) ×10 + 428×3. Видим, что умножение многозначного числа 428 на многозначное число 263 свелось к умножению многозначного числа 428 на однозначные числа 2,6 и 3, а также на степени 10.
Рассмотрим умножение многозначного числа на многозначное в общем виде.
Пусть х и у - многозначные числа, причем у = bm × 10m + bm – 1 × 10m – 1 + …+ b0. В силу дистрибутивности умножения относительно сложения, а также ассоциативности умножения можно записать:
х× у = х× (bm × 10m + bm – 1 × 10m – 1 + …+ b0) = (х× bm) × 10 m + (х× bm – 1 )× 10m – 1 + …+ b0× х. Последовательно умножая число х на однозначные числа bm, bm – 1, …, b0, а затем на 10 m, 10 m – 1, …, 1, получаем слагаемые, сумма которых равна х× у.
Сформулирует в общем виде алгоритм умножения числа х = на число у = 
.
1. Записываем множитель х под ним второй множитель у.
2. Умножаем число х на младший разряд b0 числа у и записываем произведение х × b0 под числом у.
3. Умножаем число х на следующий разряд b1 числа у и записываем произведение х × b1, но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению х × b1 на 10.
4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х × bk.
5. Полученные k + 1 произведения складываем.
Изучение алгоритма умножения многозначных чисел в начальном курсе математики, как правило, проходит в соответствии с выделенными этапами. Различия имеются только в записи. Например, при обосновании случая умножения многозначного числа на однозначное пишут:
428 × 3 = (400 + 20 + 8) × 3 == 400× 3 + 20× 3 + 8× 3 == 1200 + 60 + 24 = 1284.
Основой выполненных преобразований являются:
- представление первого множителя в виде суммы разрядных слагаемых (т.е. запись числа в десятичной системе счисления);
- правило умножения суммы на число (или дистрибутивность умножения относительно сложения);
- умножение «круглых» (т.е. оканчивающихся нулями) чиселна однозначное число, что сводится к умножению однозначных чисел.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Алгоритм умножения
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.018 сек.
Новости и инфо для студентов