Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы Рассмотрим Известные Из Школьного Курса Математики Понятия Наименьшего Общего...
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства.
Определение.Общим кратным натуральных чисел а и b называется число, которое кратно каждому из данных чисел.
Наименьшее число из всех общих кратных чисел а и b называется наименьшим общим кратным этих чисел.
Наименьшее общее кратное чисел а и b условимся обозначать К(а, b). Например, два числа 12 и 18 общими кратными являются: 36, 72, 108, 144, 180 и т.д. Число 36 - наименьшее общее кратное чисел 12 и 18. Можно записать: К(12, 18) = 36.
Для наименьшего общего кратного справедливы следующие утверждения:
1. Наименьшее общее кратное чисел а и b всегда существует и является единственным.
2. Наименьшее общее кратное чисел а и b не меньше большего из данных чисел, т.е. если а > b, то К(а, b) ³ а.
3. Любое общее кратное чисел а и b делится на их наименьшее общее кратное.
Определение.Общим делителем натуральных чисел а и b называется число, которое является делителем каждого из данных чисел.
Наибольшее число из всех общих делителей чисел а и b называется наибольшим общим делителем данных чисел.
Наибольший общий делитель чисел а и b условимся обозначать D(а, b).
Например, для чисел 12 и 18 общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 6. Число 6 - наибольший общий делитель чисел 12 и 18. Можно записать: D(12, 18) = 6.
Число 1 является общим делителем любых двух натуральных чисел а и b. Если у этих чисел нет иных общих делителей, то D(а, b) = 1, а числа а и b называются взаимно простыми.
Например, числа 14 и 15 - взаимно простые, так как D (14, 15) = 1.
Для наибольшего общего делителя справедливы следующие утверждения:
1. Наибольший общий делитель чисел а и b всегда существует и является единственным.
2. Наибольший общий делитель чисел а и b не превосходит меньшего из данных чисел, т.е. если а < b, то D (а, b) £ а.
3. Наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой общий делитель этих чисел.
Наименьшее общее кратное чисел а и b и их наибольший общий делитель взаимосвязаны: произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя чисел а и b равно произведению этих чисел, т.е. К(а, b)× D(а, b) = а× b.
Из этого утверждения вытекают следующие следствия:
а) Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел, т. е. D(а,b) = 1 Þ К(а,b)=а× b.
Например, чтобы найти наименьшее общее кратное чисел 14 и 15, достаточно их перемножить, так как D (14, 15) = 1.
б) Для того чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на m, и на n.
Это утверждение представляет собой признак делимости на числа, которые можно представить в виде произведения двух взаимно простых чисел.
Например, так как 6 = 2× 3 и D(2, 3) = 1, то получаем признак делимости на 6: для того чтобы натуральное число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3.
Заметим, что данный признак можно применять многократно. Сформулируем, например, признак делимости на 60: для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось и на 4, и на 15. В свою очередь, число будет делиться на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 3, и на 5. Обобщая, получаем следующий признак делимости на 60: для того чтобы число делилось на 60, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4, на 3 и на 5.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами?
2. Что такое «число», «цифра», «счет»?
3. В чем связь и различие счета и изме
Теоретико-множественный смысл суммы
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечен
Теоретико-множественный смысл разности
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.
Вычитание целых неотрицательных чисел определяет
Теоретико-множественный смысл произведения
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ
Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с
Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям
Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,
Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел
Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую табли
Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
4. Простые числа.
5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34];
Дополнительн
Отношение делимости и его свойства
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.
В этом случае чис
Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9.
Признаки делимости позволя
Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа.
Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет
ТЕМА 17. О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Содержание
1. Понятие дроби.
2. Положительные рациональные числа.
3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
4. Действительные ч
Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос
Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби.
На
Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.
Теоретико-множественный смысл разности.
8. Отношения «больше на» и «меньше на».
9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:
1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.
2) Стол имеет длину.
В первом предложении утверждается,
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов