Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно, - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы ("а, B î Q+) А + B= B + А;
...
("а, b Î Q+) а + b= b + а;
("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с)
Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка Х выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е1 и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е1?
Так как Х=Е, то nХ=mЕ, а из того, что Е =Е1 следует, что qЕ=рЕ1. Умножим первое полученное равенство на q, а второе – на m. Тогда (nq)Х = (mq)Е и (mq )Е= (mр)Е1, откуда (nq)X= (mр)Е1. Это равенство показывает, что длина отрезка х при единице длины выражается дробью, азначит, =, т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.
Определение.Если положительное число а представлено дробью, а положительное рациональное число b дробью , то их произведением называется число а b , которое представляется дробью.
Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания.Доказательство этих свойств основываетсяна определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.
Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множествеQ+.
Определение. Пусть а иb - положительные рациональные числа. Считают, что число b меньше числа а, если существует такое положительное рациональное число с, что а = b + с.
В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b < а, а> b.
Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.
1. Отношение «меньше» на множестве Q+ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q+ упорядоченным множеством.
2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда m < р.
3. Если рациональные числа а и b представлены дробямии (т.е. дробями, имеющими разные знаменатели), то а < b в том и только в том случае, когда т q < nр.
4. В множестве положительных рациональных чисел нет наименьшего числа.
5. Между любыми двумя различными числами а и b из Q+ заключено бесконечно много чисел этого же множества. Это свойство называют свойством плотности множества Q+.
6. В множестве положительных рациональных чисел нет наибольшего числа.
Вычитание положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная сложению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а - b = с тогда и только тогда, когда а = b + с.
Разность а - b положительных рациональных чисел существует тогда и только тогда, когда b < а. Если разность а - b существует, то она единственна.
Используя определение и условие существования разности, можно получить правило вычитания положительных рациональных чисел,представленных дробями и , где т < р : /
Деление положительных рациональных чисел определяется как операция, обратная умножению, т.е. это такая операция, которая удовлетворяет условию: а:b=с тогда и только тогда, когда а = bс.
Из этого определения и правила нахождения произведения положительных рациональных чисел можно получить правило деления положительных рациональных чисел, представленных дробямии :.
Из этого правила следует, что частное положительных рациональных чисел всегда существует.
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как элемент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик
Вопросы для самоконтроля
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами?
2. Что такое «число», «цифра», «счет»?
3. В чем связь и различие счета и изме
Теоретико-множественный смысл суммы
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечен
Теоретико-множественный смысл разности
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.
Вычитание целых неотрицательных чисел определяет
Теоретико-множественный смысл произведения
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ
Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с
Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям
Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,
Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел
Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую табли
Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
4. Простые числа.
5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел.
Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34];
Дополнительн
Отношение делимости и его свойства
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq.
В этом случае чис
Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятичной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9.
Признаки делимости позволя
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства
Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа.
Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет
ТЕМА 17. О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Содержание
1. Понятие дроби.
2. Положительные рациональные числа.
3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.
4. Действительные ч
Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос
Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби.
На
Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.
Теоретико-множественный смысл разности.
8. Отношения «больше на» и «меньше на».
9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.
Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:
1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.
2) Стол имеет длину.
В первом предложении утверждается,
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов