рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Образование
- /
- Теоретико-множественный смысл разности
Реферат Курсовая Конспект
Теоретико-множественный смысл разности
Теоретико-множественный смысл разности - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы В Аксиоматической Теории Вычитание Натуральных Чисел Определено Как Операция,...
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а.
Вычитание целых неотрицательных чисел определяется аналогично. Выясним, каков смысл разности таких чисел, если а = n(А), b = n(В).
Теорема. Пусть А - конечное множество и В - его собственное подмножество. Тогда множество АВ тоже конечно, причем выполняется равенство п(АВ) = п(А) -п(В).
Доказательство. Так как по условию В - собственное подмножество множества А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке.
Разность АВ на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и АВ не пересекаются и их объединение равно А. Поэтому число элементов в множестве А можно найти формуле п(А) = n(В) +n(АВ), откуда, по определению вычитания как операции, обратной сложению, получаем, что n(АВ) =n(А) - n(В).
Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций разность натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а = n(А), b = n(В) и В Ì А: а - b = n(А) - n(В) = n (АВ), если В Ì А.
Аналогичное истолкование получает вычитание нуля, а также вычитание а из а. Так как А =А, АА =0,то а-0=а и а-а=0.
Взаимосвязь вычитания чисел и вычитания множеств позволяет обосновать выбор действия при решении текстовых задач. Выясним, например, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «У школы росло 7 деревьев, из них 4 березы, остальные липы. Сколько лип росло у школы?»
В задаче рассматриваются три множества: множество А всех деревьев; множество В берез, оно является подмножеством множества А; и множество С лип - оно представляет собой дополнение множества В до А. В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Так как по условию n(А) = 7, n(В) = 4 и В Ì А, то n(С) = n(АВ) = = n(А) - n(В) = 7- 4. Разность 7 - 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 7 - 4=3. Следовательно, у школы росло 3 липы.
Рассматриваемый подход к сложению и вычитанию целых неотрицательных чисел позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Выясним, например, теоретико-множественный смысл правила:
«Если а, b , с - натуральные числа и а > с, то (а + b ) - с = (а - с) + b».
Пусть А, В и С - такие множества, что n(А) = а, n(В) = b и А Ç В = Æ, С Ì А (См. рисунок).
Нетрудно доказать, что для данных множеств А, В и С имеет место равенство (А È В)С = (АС) È В. Но n((А ÈВ)С) = = n(А È В) - n(С) = (а + b) - с, а n((АС) ÈВ) = n(АС) + n(В) = (а - с) + b. И следовательно, (а + b ) - с = (а - с) + b, если а > с.
С теоретико-множественной позиции можно рассмотреть и смысл отношений «больше на» и «меньше на».
В аксиоматической теории определение отношения «меньше на» («больше на») естественным образом вытекает из определения отношения «меньше». Действительно, из того, что а < b тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b, имеем, что «а меньше b на с» или «b больше а на с».
Если а = n(А), b = n(В) и установлено, что а < b, то, исходя из теоретико-множественного смысла отношения «меньше», в множестве В можно выделить собственное подмножество В1, равномощное множеству А, и непустое множество ВВ1. Если число элементов в множестве ВВ1 обозначить через с (с ¹ 0), то в множестве В будет столько же элементов, сколько их в А, и еще с элементов: n(В) = n(В) + n(ВВ1) или b = а + с, что означает, что «а меньше b на с» (или «больше а на с»).
Итак, с теоретико-множественной точки зрения «а меньше b на с» (или «b больше а на с») означает, что если а = п (А), b = п(В), то в множестве В содержится столько элементов, сколько их в А, и еще с элементов.
Так как с = n(ВВ1), где В1 Ì В, п(В) = b, п(В1 ) = а, то, по определению разности, с = а - b. Следовательно,чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее.
Взаимосвязь действий над множествами с действиями над числами, теоретико-множественный смысл отношений «меньше на» и «больше на» позволяют обосновывать выбор действий при решении задач с этими отношениями.
Рассмотрим, например, такую задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 больше. Сколько на столе ложек?» Легко видеть, что она решается при помощи сложения. Почему?
В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве требуется найти при условии, что в нем на 2 элемента больше, чем в первом. Отношение «больше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, и еще 2 элемента (См. рис.).
А
 |
В1 ВВ1
В
Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, и еще 2. Используя правило подсчета элементов в объединении непересекающихся множеств, получаем: n(В) = n(В1) + n(ВВ1) = 5+2. Так как 5 + 2 = 7, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 7 ложек.
Рассмотрим еще одну задачу: «На столе 5 чашек, а ложек на 2 меньше. Сколько на столе ложек?» Выясним, почему она решается при помощи вычитания.
В задаче речь идет о двух множествах: множестве чашек (А) и множестве ложек (В). Известно, что в первом множестве 5 элементов, т.е. n(А) = 5. Число элементов во втором множестве надо найти при условии, что в нем на 2 элемента меньше, чем в первом. Отношение «меньше на 2» означает, что в множестве В элементов столько же, сколько их в А, но без двух (См. рис.).
А
 |
А1 АА1
В
Применимо к тем множествам, о которых идет речь в задаче, это означает, что ложек на столе столько же, сколько чашек, но без двух. Таким образом, n(В) = n(А1) = = n(А) - n(А А1) = 5 - 2. Так как 5 - 2 = 3, то получим ответ на вопрос задачи: на столе 3 ложки.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы
При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретико-множественный смысл разности
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.037 сек.
Новости и инфо для студентов