рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел - раздел Образование, Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы В Аксиоматической Теории Деление Определяется Как Операция, Обратная Умножени...

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная умножению, поэтому между делением и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, зная произведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

а× b = с

 

а = с : b b = с : а

Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с : b и с : а.

Произведение а× b = с с теоретико-множественной точки зрения представляет собой число элементов в объединении b попарно непере­секающихся множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т.е. с = а× b = n(А1 È А2 È ...È Аb), где n(А1) = n(А2) = ... = n(Аb). Так как множества А1, А2, ...,Аb попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество - назовем его А, - в котором с элемен­тов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А1, А2, ...,Аb . Тогда частное с : а - это число подмно­жеств в разбиении множества А, а частное с : b - число элементов в каждом подмножестве этого разбиения.

Мы установили, что с теоретико-множественной точки зрения де­ление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b - число элементов в каждом подмножестве, то частное а : b - это число таких подмножеств;

b — число подмножеств, то частное а : b - это число элементов в каждом подмножестве.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложи­ли в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?»

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления - 12:3. Вы­числив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится?», - то для решения выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12:3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос зада­чи - понадобится 4 коробки.

Используя теоретико-множественный подход к действиям над целы­ми неотрицательными числами, можно дать теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число: если частные а: с и b : с существуют, то (а + b):с = а: с + b:с. Пусть а = n(А) и b = n(В), причем А Ç В = Æ. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а : с подмножеств, а множество В - из b : с подмножеств, то А È В состоит из а : с + b :с подмножеств. Это и значит, что (а + b):с=а : с + b : с.

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассматривается как число равночисленных подмножеств в разбиении множеств А и В.

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если а : b = с, то можно гово­рить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Если же а = nА), b = n(В) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b, то в множестве В можно выделить собственное под­множество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству.

Так как с - это число подмножеств в разбиении множестваВ, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве - а элементов, то с = b : а.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке?»

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что n (А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. n (В).

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (См. рисунок). Поскольку в каждомиз подмножеств содер­жится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3+3 или 3 × 2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

А

 

В

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на нату­ральное число b с остатком - это значит найти такие натуральные целые неотрицательные числа q и r, что а = b q + r, где 0 £ r < b.

Пусть а = n(А) и множество разбито на множества А1, А2, ...,Аq,R так, что множества А1, А2, ...,Аq равночисленны, а множество R содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А1, А2, ...,Аq. Тогда, если n(А1) = n(А2) = ... = n(Аq), а n(R) = r, то а = b q + r, где 0 £ r < b, причем число q равночисленных множеств является неполным частным при делении а на b, а число элементов в R - остатком при этом делении.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА. ТЕОРЕТИКО–МНОЖЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО И ОТНОШЕНИЯ «МЕНЬШЕ»

Цель. Показать взаимосвязь действия над числами и операций над множествами, уметь на этой основе обосновывать выбор действий при решении текстовых задач в начальной школе.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если никакая из аксиом этой системы не является следствием других аксиом этой системы

При аксиоматическом построении теории по существу все утверж дения выводятся путем доказательства из аксиом Поэтому к системе аксиом предъявляются... Система аксиом называется непротиворечивой если из нее нельзя логически... Если система аксиом не обладает этим свойством она не может быть пригодной для обоснования научной теории...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Количественные натуральные числа. Счет
Аксиоматическая теория описывает натуральное число как эле­мент бесконечного ряда, в котором числа располагаются в определенном порядке, существует первое число и т.д. Другими словами, в аксиоматик

Вопросы для самоконтроля
1. Назовите виды множеств, дайте им характеристику. Какие можно производить операции над множествами? 2. Что такое «число», «цифра», «счет»? 3. В чем связь и различие счета и изме

Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел.
Основная литература[17, 18, 23, 33, 34]; Дополнительная литература [4, 29, 34, 55] Введение. Введя понятие отрезка натурального ряда, мы выяснил

Теоретико-множественный смысл суммы
Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечен

Теоретико-множественный смысл разности
В аксиоматической теории вычитание натуральных чисел определено как операция, обратная сложению: а – b = с Û ($ сÎN) b + с = а. Вычитание целых неотрицательных чисел определяет

Теоретико-множественный смысл произведения
Определение умножения натуральных чисел в аксиоматической теории основывается на понятии отношения «непосредственно следовать за» и сложении. В школьном курсе математики используется другое определ

ТЕМА 14. ПОЗИЦИОННЫЕ И НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ ИСЧИСЛЕНИЯ
Содержание 1. Позиционные и непозиционные системы счисления. 2. Запись числа в десятичной системе счисления. Основная литература [17, 18, 33, 34, 35];

Язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними называют системой счисления.
Называть числа и вести счет люди научились еще до появления письменности. В этом им помогали, прежде всего, пальцы рук и ног. Издревле употреблялся еще такой вид инструментального счета, как деревя

Запись числа в десятичной системе счисления
Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записям

Алгоритм сложения
Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел,

Алгоритм вычитания
Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.
1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры умен

Алгоритм умножения
Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую табли

Алгоритм деления
Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти

Обобщением различных случаев деления целого неотрицательного числа а на натуральное число b является следующий алгоритм деления уголком.
1. Если а =b, то частное q = 1, остаток r = 0. 2. Если а >b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
4. Простые числа. 5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел. Основная литература [7, 9-13, 23, 33, 34]; Дополнительн

Отношение делимости и его свойства
Определение.Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что а = bq. В этом случае чис

Признаки делимости
Рассмотренные в свойства отношения делимости позволяют доказать известные признаки делимости чисел, записанных в десятич­ной системе счисления, на 2, 3, 4, 5, 9. Признаки делимости позволя

Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
Рассмотрим известные из школьного курса математики понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя натуральных чисел, сформулируем их основные свойства, опустив все доказательства

Простые числа
Простые числа играют большую роль в математике - по существу они являются «кирпичами», из которых строятся составные числа. Это утверждается в теореме, называемой основной теоремой арифмет

Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
Рассмотрим сначала способ, основанный на разложении данных чисел на простые множители. Пусть даны два числа 3600 и 288. Представим их в каноническом виде: 3600 = 24×3

ТЕМА 17. О РАСШИРЕНИИ МНОЖЕСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Содержание 1. Понятие дроби. 2. Положительные рациональные числа. 3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 4. Действительные ч

Понятие дроби
Пусть требуется измерить длину отрезка х с помощью единичного отрезка е (рис. 1). При измерении оказалос

Положительные рациональные числа
Отношение равенства является отношением эквивалентностинамножестве дробей, поэтому оно порождает на нем классы эквивалентности. В каждом таком классе содержатся равные междусобой дроби. На

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,
("а, b Î Q+) а + b= b + а; ("а, b, с Î Q+) (а + b)+ с = а + (b+ с) Прежде чем сформулировать определе

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
Впрактической деятельности широко используются дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Их называют десятичными. Определение. Десят

Действительные числа
Одним из источников появления десятичных дробей является деление натуральных чисел, другим - измерение величин. Выясним, например, как могут получиться десятичные дроби при измерении длины отрезка.

Теоретико-множественный смысл разности.
8. Отношения «больше на» и «меньше на». 9. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа. 10. Из истории возникновения и развития способов записи натуральных чисел и нуля.

Множество положительных рациональных чисел как расширение множества натуральных чисел.
27. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей. 28. Действительные числа.     МОДУЛЬ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧ

Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»: 1) Многие окружающие нас предметы имеют длину. 2) Стол имеет длину. В первом предложении утверждается,

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги