Доказательство.

но

линейно зависимы

2°. Теорема о базисном миноре.

Рассмотрим матрицу R.

Определени 2.Число называется рангом матрицы , если

1) минор порядка , отличный от нуля.

2) Все миноры –го порядка равны нулю.

Т.о., рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Минор –го порядка, отличный от нуля, называется базисным минором, строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисными строками и базисными столбцами.

Теорема 2(теорема о базисном миноре): Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов).

Доказательство (рассуждение для строк).

Покажем, что базисные строки линейно независимы

Если первая, например, строка – линейная комбинация остальных, то вычитая в базисном миноре из первой строки линейную комбинацию остальных, получим нулевую строку базисный минор нулевой – противоречие.

Докажем, что строка является линейной комбинацией остальных. Т.к. при переменах строк и столбцов определитель сохраняет свойство равенства (неравенства) нулю, то будем считать, что базисный минор составлен из первых r строк и r столбцов.

Рассмотрим определитель порядка

Здесь Если то две одинаковые строки или столбца и определитель равны нулю. то это минор порядка равен нулю. Итак определитель равен нулю и .

Разложим его по столбцу. Отметим, что

и коэффициенты не зависят от выбора , т.е.

что означает, что –ая строка является линейной комбинацией первых r.

Теорема 3. (необходимое и достаточное условие равенству нулю определителя):

Определитель –го порядка равен нулю его строки (столбцы) линейно зависимы.